云南省保山市第一中学高中数学 3.2.2指数型、对数型函数模型的应用实例课件 新人教版必修1_图文

第2课时 指数型、对数型 函数模型的应用实例 (1)能够利用给定的指数(或对数函数)模型或建立确定 函数模型解决实际问题; (2)能够收集图表数据信息,建立拟合函数解决实际 问题; (3)进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方 法,对给定的函数模型进行简单的分析评价. 2003年5月8日,西安交通大学医学院紧急启动“建立非 典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目,马知恩教授 率领一批专家昼夜攻关,于5月19日初步完成了第一批成果, 并制成了供决策部门参考的应用软件。这一数学模型利用实际 数据拟合参数,并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算 仿真,结果指出,将患者及时隔离对于抗击非典至关重要.分 析报告说,就全国而论,非典病人延迟隔离1天,就医人数将 增加1000人左右;若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜 伏病人,将增加患病人数100人左右;若4月21日以后,政府不 采取隔离措施,则高峰期病人人数将达60万人。这项研究在充 分考虑传染病控制中心每日发布的数据,建立了非典流行趋势 预测动力学模型和优化控制模型,并对非典未来的流行趋势做 了分析预测。 例1.按复利计算利息的一种储蓄,本金为a元,每期利率 为r,设本利和为y,存期为x,写出本利和y随存期x变化 的函数式。如果存入本金1000元,每期利率2.25%,试计 算5期后的本利和是多少? 思路分析 复利是计算利率的一个方法,即把前一期的利息和本金加 在一起做本金,再计算下一期的利息,设本金为P,每期 利率为r,本利和为y ,存期为x, 则复利函数式为 y=p(1+r)x. 解:1期后本利和为: y1 ? a ? a ? r ? a(1 ? r) 2 y ? a(1 ? r) 2期后本利和为: 2 ?? x y ? a(1 ? r) x期后,本利和为: 将a=1000元,r=2.25%,x=5代入上式: y ? 1000 ? (1 ? 2.25%)5 ? 1000 ?1.02255 由计算器算得:y = 1117.68(元) 例2. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题,认识人 口数量的变化规律,可以为有效控制人口增长提供依据。 早在1798年,英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus, 1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型: y ? y0 e r表示人口的年平均增长率. rt 其中t表示经过的时间, y 0 表示t=0时的人口数, 下表是1950~1959年我国的人口数据资料: 年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人数 /万 人 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207 (1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长 率(精确到0.0001),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时 期具体人口增长模型,并检验所得模型与实际人口数据是否相符; (2)如果按表的增长趋势,大约在哪一年我国的人口达到13亿? 解:(1)设1951~1959年的人口增长率分别为 r1 ,r2 ,r3 ,r4 ,r5 ,r6 ,r7 ,r8 ,r9 . 由 55196(1 ? r1 ) ? 56300 可得1951的人口增长率为 r1 ? 0.0200 同理可得,r2 ? 0.0210 r3 ? 0.0229 r4 ? 0.0250 r7 ? 0.0276 r5 ? 0.0197 r8 ? 0.0222 r6 ? 0.0223 r9 ? 0.0184 于是, 1951~1959年期间,我国人口的年均增长率为 r ? (r1 ? r2 ? r3 ? r4 ? r5 ? r6 ? r7 ? r8 ? r9 ) ? 9 ? 0.0221 令 y0 ? 55196, 则我国在1950~1959年期间的人口 0.0221t y ? 55196e , t ? N. 增长模型为 根据表格中的数据作出散点图,并作出函数的图象. 0.0221t y ? 55196e ,t ?N 由图可以看出,所得模型 与1950~1959年的实际人口数据基本吻合. 0.0221t y ? 55196e , t ? N. (1)将y=130000代入 由计算器可得 t ? 38.76. 所以,如果按上表的增长趋势,那么大约在1950年后的第 39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看 到,如果不实行计划生育,而是让人口自然增长,今天我 国将面临难以承受的人口压力. 练习:科学研究表明:在海拔x(km)处的大气压强 是y(105Pa), y与x之间的函数关系式是 y=cekx (c,k为常量) 在海拔5 (km)处的大气压强为0.5683 (105Pa) , 在海拔5.5 (km)处的大气压强为0.5366 (105Pa), (1)问海拔6.712 (km)处的大气压强约为多少? (精确到0.0001) (2)海拔为h米处的大气压强为0.5066(105Pa), 求该处的海拔h 解:(1)把x=5,y=0.5683,x=5.5,y=0.5366 代入函数表达式y=cekx ,得: 5k ? ?0.5683 ? c ?e ? 5.5 k 0.5366 ? c ? e ? ? ?k ? ?0.115 ?? ?c ? 1.01 ? y ? 1.01? e?0.115 x (105 Pa) 把 x=6.712代入上述函数式,得 ? y ? 1.01? e?0.115?6.712 ≈0.4668 (105Pa) 答:6.712(km)高空的大气压强为0.4668(105Pa). (2)由1.01·e-0.115x=0.5066 0.5066 ??0.115 x ? ln 1.01 解得x=6(km

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