高一人教A版数学必修4课件:3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

第三章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

题型1 二倍角公式的简单应用

例1

已知

α tan 2

=2,求:

?
(1)tan?α
?

+π4

??的值;
?

6sin (2)3sin

α α

+cos -2cos

α α

的值.

分析:本题考查二倍角公式以及弦化切方法的简单应用.

α 解析:(1)∵tan 2 =2,

α ∴ tan α=1-2tatann22α2 =21×-24=-43,

∴tan???α+π4 ???=1t-antaαn +αttaannπ4π4

=t1a-n taαn+α1=-143++431=-17.

(2)由(1)知, tan α=-43,

∴ 6sin 3sin

α+cos α-2cos

αα=63ttaann

α+1 α-2

=63??????--4343??????+-12=76.

点评:二倍角是两个角间的相对关系.2x 是 x 的二

倍角 x 是2x的二倍角.2x是x4的二倍角. ?跟踪训练

1.(1)已知 cos

α

=-1123,α

∈??π
?

,3π2

??,
?

求 sin 2α ,cos 2α ,tan 2α 之值.

(2)已知 tan???x+π4 ???=2,则ttaann2xx的值为________.

解析:(1)∵cos α=-1132,α∈???π,23π???, ∴sin α=- 1-cos2α=- 1-???-1123???2=-153, ∴sin 2α=2sin αcos α=2×???-153???×???-1123???=112609, cos 2α=1-2sin2α=1-2×???-153???2=111699, tan 2α=csions 22αα=111290. (2)94

题型2 利用二倍角公式化简与求值
例 2 已知 sin θ +cos θ = 22,0<θ<34π , 求 sin 2θ ,cos 2θ 的值. 解析:∵0<sin θ+cos θ= 22<1,且 0<θ<3π4 , ∴π2 <θ<34π,2θ∈???π,3π2 ???, 将 sin θ+cos θ= 22,两边平方得 sin 2θ=-12,

∴cos 2θ=-

1-sin22θ=-

3 2.

点评:注意利用(sin θ±cos θ)2=1±sin 2θ的关系解题.

?跟踪训练

2.已知

cos???x-π4

???= 102,x∈???π2

,3π4

?
?.
?

(1)求 sin x 的值;

(2)求

sin???2x+π3

??的值.
?

解析:方法一 (1)因为 x∈???π2 ,3π4 ???, 所以 x-π4 ∈???π4 ,π2 ???, 于是 sin???x-π4 ???= 1-cos2???x-π4 ???=7102. sin x=sin??????x-π4 ???+π4 ??? =sin???x-π4 ???cosπ4 +cos???x-π4 ???sinπ4 =7102× 22+102× 22=54.

方法二 由题意得 22cos x+ 22sin x=102, 即 cos x+sin x=15. 又 sin2x+cos2x=1,从而 25sin2x-5sin x-12=0, 解得 sin x=45或 sin x=-53. 因为 x∈???π2 ,3π4 ???, 所以 sin x=45.

(2)∵x∈???π2 ,3π4 ???,

∴cos x=- 1-sin2x=- 1-???45???2=-53.

sin 2x=2sin xcos x=-2245,cos 2x=2cos2x-1=-275.

∴sin???2x+π3 ???=sin 2xcosπ3 +cos 2xsinπ3 =-24+507

3 .

题型3 利用二倍角公式化简与证明
例 3 已知 tan2β =tan2α +cos12α .求证: cos 2α -2cos 2β =1. 分析:本题考查利用二倍角公式证明.首先要降幂, 然后才可以寻找到二倍角的形式,进而寻找到它们 的关系. 证明:∵1+tan2β=1+tan2α+cos12α,

∴cos12β=cos22α,∴cos2α=2cos2β, ∴1+co2s 2α=1+cos 2β, ∴1+cos 2α=2+2cos 2β, ∴cos 2α-2cos 2β=1.
点评: 有条件的等式证明,常常先观察条 件式及欲证式中左右两边的三角函数式的 区别与联系,灵活使用条件变形即可得 证.

?跟踪训练

3.求证:(sin

x+cos

x-1)(sin
sin 2x

x-cos

x+1)=tanx2.

分析:本题考查利用二倍角公式证明.①直接利用二倍

角公式将原式化为x2的三角函数形式;②首先看分母,利

用“1”与三角函数的关系,将已知条件化简后再向右边靠近.

证明:证法一

(sin x+cos x-1)(sin x-cos x+1)
sin 2x

=???2sin2xcos2x-2sins2ix2n??????22xsin2xcos2x+2sin2x2???

=4sin2x2???cosx2-sisnin2x2x??????cosx2+sinx2???

=42ssiinn2xx2ccooss

x x



sin2x2 xx

sin2cos2

=csoinsx2x2=tan2x.

证法二

(sin x+cos x-1)(sin x-cos x+1)
sin 2x

=(sin

x+cos x-1)(sin x-cos (sin x+cos x)2-1

x+1)

=((ssiinn

x+cos x+cos

x-1)(sin x+1)(sin

x-cos x+cos

x+1) x-1)

=sin sin

x-cos x+cos

x+1 x+1

=22ssiinnx22xccoossx2x2++22csoins22x2x2

=csoinsx2x2=tan2x.

点评:无条件的等式证明,常用综合法(由因 导果)和分析法(执果索因),证明的形式有化繁 为简、左右归一、变更论证等.不论采用什么 证明方式和方法,都要认真分析等式两边三角 函数的特点、角度和函数关系,找出差异,寻 找证明的突破口.

题型4 二倍角公式与其他知识的综合问题

例4

已知 α,β

∈???-π2

,π2

??,tan
?

α

与 tan

β



方程 x2+3 3x+4=0 的两根,求α +β .

分析:本题考查三角函数公式在方程中的应用问题.

利用韦达定理求得根与系数的关系代入求解是常用

方法之一.

解析:由韦达定理有???tan α+tan β=-3 3, ??tan α·tan β=4,

∴tan α<0,tan β<0. ∴tan(α+β)=1t-antaαn +αttaann ββ=-1-3 43= 3. ∵α,β∈???-π2 ,π2 ???,且 tan α<0,tan β<0, ∴α,β∈???-π2 ,0???, ∴-π<α+β<0, ∴α+β=-2π3 .

?跟踪训练 4.在半圆形钢板上截取一块矩形材料,当截取 的矩形的长和宽与半圆的半径之比为多少时,所 截矩形的面积最大?
解析:如下图所示,设∠AOB=θ,且 θ 为锐角,半圆 的半径为 R,则面积最大的矩形 ABCD 必内接于半圆 O,
且两边长分别为|AB|=Rsin θ,

|DA|=2|OA|=2Rcos θ.
则这个矩形的面积为
S 矩形 ABCD=|AB|·|DA|=Rsin θ·2Rcos θ=R2sin 2θ. 所以,当 sin 2θ=1(θ 为锐角),即 θ=45°时,矩形
ABCD 的面积取得最大值 R2. 即当这个矩形的长和宽与半圆的半径的比是 2∶1∶ 2 时,所截矩形的面积最大.


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