安徽省马鞍山市第二中学2013届高三上学期期中考试(数学理)

马鞍山市第二中学 2012—2013 学年度第一学期期中素质测试

高 三 理 科 数 学 试 题
命题人唐万树 审题人聂晓峰
一、选择题(每小题 5 分, 从四个选项中选出一个正确的选项,共 50 分.) 1、已知复数 z 的实部是 2,虚部是-1,若 i 为虚数单位,则
3 5 1 5 1 5 3 5 1 3

1? i z

?

A、

?

i

B、

?

i

C、 1 ?

i

D、

1 3

?i

2、已知集合 A ? { x | x ? 2}, B ? ? { x | | x ? 1 | ? 2}, 则 A∩B= A、{x|0<x<3} B、{x|-1<x<3} C、{x|0≤x<3} D、{x|-1<x<2}

3、设 f (x)是 R 上的奇函数,且 x∈(-∞, 0)时,f (x)= x (x-1),则 f (2) = A、-6 B、1 C、-2 D、2

4、数列 { a n } 满足: 点 ( n , a n ?1 ) 在函数 f ( x ) ? 2 x 的图像上( n ? N , n ? 2 ),则 { a n } 的前 10 项 和为 A、4092 5、给出下面结论: (1)命题 p : " ? x ? R , x ? 3 x ? 2 ? 0 " 的否定为 ? p : " ? x ? R , x ? 3 x ? 2 ? 0 " ;
2 2

B、2047

C、2046

D、1023

(2)若 ? p 是 q 的必要条件,则 p 是 ? q 的充分条件; (3)“ M ? N ”是“ ln M ? ln N ”成立的充分不必要条件. 其中正确结论的个数是 A、3
2

B、2

C、1

D、0

6、若方程 | x ? 4 x | ? m 有实数根,则所有实数根的和可能为 A、-2,-4,-6 B、-4,-5,-6 C、-3,-4,-5 D、-4,-6,-8

7、向量 a= (cosθ, sinθ),b= ( 3 , 1),则|2a-b|的最大值为 A、3 B、4 C、5 D、6

?x ? 1 ? 8、已知 x , y 满足 ? x ? y ? 5 记目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 7,最小值为 1,则 ?ax ? by ? c ? 0 ?
a : b : c 的值是 A、3:(-2):4

B、(-3):2:4

C、4:1:(-5)

D、(-4):1:5

9、如图, 正六边形 A B C D E F 的中心在坐标原点, A , D 在 x 轴上,直线 y ? kx ? t ( k 为常数)与
y

六边形交于 M , N 两点,若记 ? O M N 的面积为 S ? f ( t ) . 则对 f ( t ) 的奇偶性判断正确的是 A、奇函数 C、既不是奇函数也不是偶函数
2

F

N E

A M

O B C

D

x

B、偶函数 D、与 k 的取值有关
s in a 3 ? s in a 7
2

10、等差数列 { a n } 的公差 d ? (0,1) ,且

s in ( a 3 ? a 7 )

? ? 1, 当 n ? 1 0 时,数列 { a n } 的前 n 项

和为 S n 取得最小值,则该数列的首项 a 1 的取值范围是 A、 [ ?
5? 8 ,? 9? 16 ]

B、 ( ?

5? 8

,?

9? 16

)

C、 [ ?

5? 4

,?

9? 8

]

D、 ( ?

5? 4

,?

9? 8

)

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)
?

11、计算 ?

4 0

cos x dx ?

12、若实数 ? , ? 满足 ?

?
2

?? ?

?
2

, 0 ? ? ? ? , 则 2 ? ? ? 的取值范围是

13、定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 ( x ? 3) f ? ( x ) ? 0, 若 a ? f ( ? lo g 2 3), b ? f (( )
3

1

0 .5

),

c ? f (ln 4 ), 则 a , b , c 的大小关系是

14、在 ? A B C 中, A D ? B C ? 0 , | A B | ? 5, | B C | ? 1 0 , B D ?
??? ???? ? ???? (1 ? m ) A C ,则 A P ? A D 的值是

???? ????

??? ?

????

????

??? ? ??? ? 2 ???? D C , 点 P 满足 A P ? m A B ? 3

15、给出下面命题: (1)在函数 y ? c o s ( x ?
?
4 ) cos( x ?

?
4

) 的图像中,相邻两个对称中心的距离为 ? ;

(2)在 ? A B C 中,若 3 sin A ? 4 co s B ? 6, 4 sin B ? 3 co s A ? 1, 则角 C 为 1 5 0 ;
o

(3)定义域为 R 的偶函数 f ( x ) 满足 f (1 ? x ) ? ? f ( x ), 则 f ( x ) 的图像关于点 ( , 0 ) 对称;
2

1

(4)向量 a , b 不共线, m a ? n b 与 a ? 2 b 共线(其中 m , n ? R 且 n ? 0 ), 则

?

?

?

?

?

?

m n

? ?2 .

其中真命题的序号是

三、解答题(共 75 分) 16、(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ( 3 s in ? x ? c o s ? x ) c o s ? x ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)在 ? A B C 中,角 A , B , C 的对边长分别是 a , b , c 满足:
( 2 a ? c ) co s B ? b co s C ,求函数 f ( A ) 的取值范围.

1 2

( ? ? 0 ) 的最小正周期为 4 ? .

17、(本题满分 12 分) 若从数值上看,一个矩形的半周长比其面积小 3. (Ⅰ)求该矩形面积的取值范围; (Ⅱ)求该矩形周长的取值范围.

18、(本题满分 12 分) 在数列{an}中, a1=1, an+1=( n ? 1 )an + n ?n1 .
n
2

an (Ⅰ)设 b n ? n ,求数列{bn}的通项公式;

(Ⅱ)求数列{an}的前 n 项和 Sn.

19、(本题满分 12 分) 星球电子公司于 2008 年底建成了太阳能电池生产线,自 2009 年 1 月份产品投产上市, 一年来公司营销状况反映出每月的利润 y(万元)与月份 x 之间的函数关系为:
y ? ?
? 2 6 x ? 5 6 , ( x ? N , 1 ? x ? 5) ?210 ? 20 x, ( x ? N ,5 ? x ? 12)

(Ⅰ)2009 年第几个月该公司利润最大?最大利润是多少? (Ⅱ)若公司前 x 个月的平均利润 ? ?
s x ( s 是前 x 个月的利润和)达到最大时,公司下个月就采

取各种措施,以保持盈利水平。 求 ? (万元)与 x 之间的函数关系式,并指出该公司在 2009 年的第几个月就应该采取保持利润的措施.

20、(本题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? e
2x

? ax .

(I) 求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ) 若存在实数 x ? ? ? 1,1 ? ,使得 f ( x ) ? a 成立,求实数 a 的取值范围.

21、(本题满分 14分) 首项为正数的数列 ? a n ? 满足 a n ? 1 ?
1 4 ( a n ? 3), n ? N ? .
2

(I) 证明:若 a 1 为奇数,则对一切 n ? 2, a n 都是奇数; (II)若对一切 n ? N 都有 a n ? 1 ? a n ,求 a 1 的取值范围.
*

马鞍山市第二中学 2012—2013 学年度第一学期期中素质测试
高 三 数 学 答 题 卷
一、选择题(50 分) 题号 答案 二、填空题(25 分) 11. 14. 三、解答题(75 分) 16. (本题满分 12 分) 解: (I) 12. 15. 13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(Ⅱ)

17. (本题满分 12 分) 解: (I)

(Ⅱ)

-5-

18. (本题满分 12 分) 解: (I)

(Ⅱ)

19. (本题满分 12 分) 解: (I)

(Ⅱ)

-6-

20. (本题满分 13 分) 解:(I)

(Ⅱ)

-7-

21. (本题满分 14 分) 解: (I)

(Ⅱ)

-8-

-9-

参考答案
一、选择题(50 分) 题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 A 5 B 6 D 7 B 8 D 9 B 10 C

二、填空题(25 分) 11. 14.
9
2 2

12. 15.

[ ? 2? , ? )

13.

c?b ? a



三、解答题(12 分+12 分+12 分+12 分+13 分+14 分) 16. 解: (Ⅰ) f ( x ) ?
?T ? 2? 2?
3 s in ? x c o s ? x ? c o s ? x ?
2

1 2

? s in ( 2 ? x ?

?
6

)

? 4 ? ,? ? ?

1 4

,? f ( x ) ? s in (
4? 3

1 2

x?

?
6 2?
3

)
]( k ? Z )

? f ( x ) 的单调递增区间为 [ 4 k ? ?

, 4k? ?

………. 6 分

(Ⅱ)? ( 2 a ? c ) co s B ? b co s C
? 2 sin A co s B ? sin C co s B ? sin B co s C
2 s in A c o s B ? s in ( B ? C ) ? s in A , ? c o s B ? 1 2 ,? B ?

?
3

……. 9 分
?
2

? f ( A ) ? s in (
1 2

1 2

A?

?
6

), 0 ? A ?

2? 3

,?

?
6

?

A 2

?

?
6

?

? f ( A) ? (

,1)

………………………..

12 分

17. 解:设矩形的相邻两边长分别为 a , b . 依题意得: a ? b = a ? b ? 3 ( a ? 0, b ? 0 ) (Ⅰ)由 a ? b = a ? b ? 3 ( a ? 0, b ? 0 ) ? 2 a b ? a b ? 3
? a b ?2
? ab ? 9

a b ?3 ? 0

? (

a b ?3 ) ( a b ? 1 ) ?

a b? 3 o r

a(舍) ? ?1 b

故矩形的面积取值范围是 [9, ? ? ) ;
a?b ? ab ? (a ? b )
2

………………… 6 分
? a?b ? (a ? b) 4
2

(Ⅱ)由

ab ?

及 a ? b ? ab ? 3

?3

2 4 解得: a ? b ? 6 o r a ? b ? ? 2 (舍) ? a ? b ? 6 ,

故,该矩形周长的取值范围是 [1 2 , ? ? ) .

………….

12 分

- 10 -

18. 解: (Ⅰ)由已知得 b1=a1=1,且 从而 b n ? 2 ? 又 b1=1.
1 (n ? 2) 2 n ?1

a 1 a n ?1 ? n ? n n ?1 n 2

?

bn ?1 ? bn ?

1 2
n

.

,
1 (n ? N * ) . 2 n ?1

故所求的通项公式 b n ? 2 ?

……… 6 分

* (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a n ? n b n ? 2 n ? n ( n ? N ) .

2 n ?1

?
k ?1

n

2 k ? n ( n ? 1);

?
k ?1

n

k 2
k ?1

? 4?

n?2 2
n ?1

.

所以 S n ? n ( n ? 1) ? 4 ?

n?2 2
n ?1

.

……………

12 分

19 解: (Ⅰ)∵ y ? f ( x ) ? 2 6 x ? 5 6 , ( x ? N , 1 ? x ? 5) 是增函数,∴最大值 f (5 ) ? 7 4 ;
y ? f ( x ) ? 2 1 0 ? 2 0 x , ( x ? N , 5 ? x ? 1 2 ) 是减函数,∴最大值 f (6 ) ? 9 0 ;

∴2009 年第 6 个月该公司利润最大,最大利润是 90(万元)…… 6 分

( x ? N , 1 ? x ? 5) ?1 3 x ? 4 3, ? (Ⅱ) ? ? ? ? 64 x ?200 ? 10( x ? ), ( x ? N , 6 ? x ? 1 2 ) x ? s

………………..9 分

∵ ? ? g ( x ) ? 1 3 x ? 4 3 , ( x ? N , 1 ? x ? 5) 是增函数,∴最大值 g (5) ? 2 2 ;
? ? g ( x) ? 200 ? 10( x ?
64 x ) , ( x ? N , 6 ? x ? 1 2 ) 的最大值 g (8) ? 4 0 ;

∴2009 年第 9 个月该公司应该采取保持利润的措施

……12 分

- 11 -

20. 解: (Ⅰ) f ? ( x ) ? 2 e 2 x ? a , (ⅰ)当 a ? 0 时, f ? ( x ) ? 0 ,
? f ( x ) 的单调递增区间是( ? ? , ? ? ).

(ⅱ) 当 a ? 0 时,令 f ? ( x ) ? 0 , 得 x ? 当x ?
1 2 ln a 2 1 2 ln

1 2

ln 1 2

a 2 ln a 2 1 2 ln a 2 , ? ? ) .????6

时, f ? ( x ) ? 0 ,

当x ?
a 2

时, f ? ( x ) ? 0 .

? f ( x ) 的单调递减区间是 ( ? ? ,

) , f ( x ) 的单调递增区间是 (



(Ⅱ)由 f ( x ) ? a ,? e

2x

? ax ? a,

a ( x? 1 ) ?
2x

e

2x

,

由 x ? ( ? 1,1] 得 x ? 1 ? 0 . ? a ?

e

x ?1

? 设 g (x) ?

e

2x

x ?1

,若存在实数 x ? ( ? 1,1] ,使得 f ( x ) ? a 成立,

则 a ? g ( x ) m in . …… 10 分

g ?(x) ?

e

2x

( 2 x ? 1)
2

( x ? 1)
1 2

,

由 g ?( x ) ? 0 ,

得x ? ?

1 2

,
1 2

? 当 ?1 ? x ? ?

时, g ? ( x ) ? 0 ,
1 2 1 2 2 e , ? ? ).

当?

? x ? 1 时, g ? ( x ) ? 0 , 1 2 2 e

? g ( x ) 在 ( ? 1, ?

) 上是减函数,在 ( ?

,1] 上是增函数. ? g ( x ) m in ? g ( ?

)?

?

a 的取值范围是(

???????????????

13 分

- 12 -

21. 解: (1)已知 a 1 是奇数, (I) (2)假设 a k 是奇数( k ? 1) ,记 a k ? 2 m ? 1 其中 m 为正整数, 则由递推关系得 a k ? 1 ?
ak ? 3
2

? m ( m ? 1) ? 1 是奇数。

4

由(1)(2)根据数学归纳法,对任何 n ? N ? , a n 都是奇数; ……… ,

6分

(II)由 a n ? 1 ? a n ?

1 4

( a n ? 1)( a n ? 3) 知, a n ? 1 ? a n 当且仅当 a n ? 1 或 a n ? 3 .
1? 3 4 ? 1 ,且 a k ? 1 ? a k .

当 0 ? a 1 ? 1 时,假设 0 ? a k ? 1, 则 0 ? a k ? 1 ? 当 a 1 ? 3 时,假设 a k ? 3 ,则 a k ? 1 ?
3 ?3
2

4

? 3 ,且 a k ? 1 ? a k .

根据数学归纳法, 0 ? a 1 ? 1 或 a 1 ? 3 时,对一切 n ? N ? 都有 a n ? 1 ? a n . 若 1 ? a1 ? 3 ? a 2 ? a1 ?
a n ? 1 ? a n 成立.
1 4 ( a 1 ? 1)( a 1 ? 3) ? 0 , 则 a n ? 1 ? a n 不 能 对 一 切 n ? N ? 都 有

( 也 可 由 a n ?1 ? a n ?
a1 ? 3 )

1 4

( a n ? 1 ) ( a n ? 3 ) , a n ?1 ? a n ? 知

an ? 1 或 an ? 3

? a1 ? 1 或

综合所述,对一切 n ? N ? 都有 a n ? 1 ? a n 的充要条件是 0 ? a 1 ? 1 或 a 1 ? 3 . …… 14 分

- 13 -


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