agks7660com:2019-2020学年高中数学 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义教案 新人教版必修4.doc

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2019-2020 学年高中数学 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含 义教案 新人教版必修 4
一、教学目标 1.知识与技能目标 理解平面向量的数量积的定义及几何意义; 熟练掌握平面向量数量积的性质; 掌握关于 平面向量数量积的几类重要题型. 2.过程与能力目标 通过对数量积的定义及运算性质的应用,加深学生对知识的理解与掌握,同时,通过对 数量积的几类重要问题的解答,培养学生的归纳能力,运算能力,应用所学知识解决问题的 能力. 3.情感与态度目标 通过本节课的学习,激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神,体会学习的 快乐.体会各学科之间是密不可分的.培养学生思考问题认真严谨的学习态度. 二、教学重、难点 1.教学重点 平面向量的数量积的定义、几何意义及其性质. 2.教学难点 平面向量数量积的定义及运算性质的理解和平面向量数量积的应用. 三、教学准备 多媒体、彩色粉笔 四、教学过程新课 (一)创设情景,引入新课 问题:如图所示,一辆小车,在力 F 的作用下, 产生位移 S,那么请问力 F 在这个运动过程中所做的功? (1)力 F 所做的功 W:W= (2)这个公式有什么特点?请完成下列填空: W(功)是 量,F(力)是 量,S(位移)是 (3)你能用文字语言表述“功的计算公式”吗? 答:功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积. 思考:如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量,能否把“功”看成这两个向量的一种 运算的结果呢? (二)探究新知 探究一:明晰向量数量积的定义 1、 数量积的定义: 已知两个非零向量 a 和 b ,把数量 a b cos? 叫做 a 与 b 数量积(或内积) ,记作 a ? b 规定:零向量与任意向量的数量积都为零,即 0 ? a ? 0 a为任意向量 量,θ 是 .

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?

? ?

?

?

? ?

? ?

??

?

注意: “ a ? b ”中间的“· ”不可以省略,也不可以用“ ? ”代替. 2、提出问题 (1)向量数量积是一个向量还是一个数量? (2)影响数量积大小的因素有哪些? (3)学生讨论完成下表 θ 的范围 0°≤θ <90° θ =90° 90°<θ ≤180°

? ?

a · b 的与 0 的关系
探究二:向量数量积的几何意义 1、 给出“投影”定义 师引导学生思考:(1)初中学过投影吗?(2) b 在 a 方向上的投影应该怎么做?红色线段 又表什么?(3)计算投影? 作图:

如图,我们把│ b │cosθ (│ a │cosθ )叫做向量 b 在 a 方向上( a 在 b 方向上)的 投影,记做:OB1=│ b │cosθ 2、 提出问题:向量数量积的几何意义是什么? 数量积 a · b 等于 a 的长度︱ a ︱与 b 在 a 的方向上的投影︱ b ︱cos ? 的乘积 探究三:探究数量积的运算性质 1、 (1)我们讨论了数量积的正负,那么我们这里就具体的讨论一些特殊的夹角:

? ? 0?,a与b 同向,a ? b ? a b ;

?

?

? ?

? ?

? ? 180?,a与b 反向,a ? b ? - a b

?

?

? ?

? ?

? ? 90?, a ? b , a ? b ? 0
(2)我们这里都是由两个向量的夹角来讨论数量积的,那如果我们已知两个向量的数量积

?

? ? ?

? ? ? ? ? ? a ?b 根据定义 a ? b ? a b cos? ? cos? ? ? ? 由此我们就可以得出 ? 的值. ab
当 a ? b ? 0 时, cos ? ? 0 ? ? ? 90? . 总结(1) (2)知 a ? b ? a ? b ? 0 .

及模长,怎样得出它们的夹角呢?

? ?

?

?

? ?

(3)特别地, a ? a ? a 或 a ?

? ?

?2

?

? ? ? ? ? a ? a , 这里 a ? a常记为 a 2 .

(4)请判断 a ? b 与 a b 的大小关系. 分析: ? a ? b ? a b cos? , cos? ? 1 ,

? ?

? ?

? ?

? ?

? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a b cos? ? a b .
这些就是数量积的性质.在课堂上以上性质以探究形式出现,让同学们积极思考,踊 跃回答并总结其各自的应用。 2、小结数量积的性质 性质:若 a 和 b 均为非零向量 (1) a ⊥ b ? a · b =0 (垂直) (2) a 与 b 同向时, a · b =︱ a ︱·︱ b ︱,

a 与 b 反向 时, a · b =-︱ a ︱·︱ b ︱
特别地: a · a =︱ a ︱ , (3)cosθ =
2

a=

a ? a (长度)

a ?b a ?b

(夹角)

(4)︱ a · b ︱ ≤︱ a ︱·︱ b ︱(注意等号成立的条件) (三)巩固新知 例 1 已知 a ? 5, b ? 4 , a与b 的夹角 ? =120°,求 a ? b . 解:根据数量积的定义:

?

?

?

?

? ?

? ? ? ? a ? b ? a b cos?
= 5 ? 4 ? cos 120 ? =5 ? 4 ? ? ? =-10. 例 2 已知 a ? b ? ?8, a ? 2, b ? 8, 求 a 与 b 的夹角 ? .

? 1? ? ? 2?

? ? ? ? ? ? ? ? ? 解: ? a ? b ? a b cos? ? ? a ?b ?8 1 cos? ? ? ? ? ?? 2?8 2 a b

?

?? ? 0o ,180o ?? ? 120o

?

?

注意:例 2 中强调θ 的取值范围 例 3 已知△ABC 中, AB = a , AC = b ,当 a · b <0 或 a · b =0 时,试判断

△ABC 的形状.

解: ? a ?b ? 0 ? cos ?A ? a ?b ab ?0

? ?A ? (90?,180?)
∴Δ ABC 是钝角三角形

?a ?b ? 0
? ?A ? 90?
∴Δ ABC 是直角三角形 (四)巩固练习 1、在△ABC 中 BC=8,CA=7, ?C ? 60 求 BC ? CA
0

2、︱ a ︱=4, a 与 b 的夹角为 30°,求 a 在 b 方向上的投影

? ? ? ? ? ? 3、已知a ? b ? 6 3, a ? 2, a与b 的夹角? ? 30o , 求 b .
(五)归纳小结 (1)平面向量的数量积; (2)平面向量的数量积的几何意义; (3)平面向量数量积的重要性质 (六)布置作业 课本:习题 2.4 第 1、2、3 题


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