2014~2015学年郑州二中高一下学期期中数学试题

2014-2015 学年度高一下学期期中测试

模拟一

数 学
考试范围:必修四第一章三角函数、第二章平面向量;考试时间:120 分钟

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1、若α为第一象限角,则 k · 180°+α(k∈Z)的终边所在的象限是 ( )
A.第一象限 C.第一、三象限 D.第一、四象限 p p 2、函数 f ( x) = 2 sin x + tan x + m , x ? [- , ] 有零点,则 m 的取值范围是( )
3 3

B.第一、二象限

A. [2 3 ,+?) 3 、 已 知

B. (-?,2 3 ]

C. (-?,2 3 ) U (2 3 ,+?)

D. [-2 3 ,2 3 ]

f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 f ( x ) 在 ( -?,0] 上 单 调 递 增 , 设


3 3 3 a = f (sin p )b = f (cos p ), c = f (tan p ) ,则 a,b,c 的大小关系是( 5 5 5
A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.a<c<b

4、函数 f ( x) = 2 cos(w x + A.

p ? p? ) 在 ? 0, ÷ 上是减函数,则 w 的最大值为( 4 è 4?
C.2 D.3



1 3

B.1

5、已知函数 f ( x) = sin(2 x -

p )( x ? R ) 下列结论错误的是( ) 2
B.函数 f ( x ) 是偶函数

A.函数 f ( x ) 的最小正周期为 p C.函数 f ( x ) 的图象关于直线 x = 6、函数 y =

p 对称 4

D.函数 f ( x ) 在区间 [0,

p ] 上是增函数 2

sin 2 x 的图像大致为( ) 2 x + 2- x

(A)

(B)

(C)

(D)

7、已知函数 f ( x ) = A sin(w x + j ),x ? R (其中 A > 0,w > 0,

p p <j < ) ,其部分图像如下图所示, 2 2

将 f ( x ) 的图像纵坐标不变,横坐标变成原来的 2 倍,再向右平移 1 个单位得到 g ( x ) 的图像,则函数 g ( x ) 的解析式为( ) A. g ( x) = sin

p ( x + 1) 2 p C. g ( x) = sin( x + 1) 2

p ( x + 1) 8 p D. g ( x) = sin( x + 1) 8
B. g ( x) = sin
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8、函数 f ( x ) = sin ? w x + A. x = p

? è

p? ÷ ( w > 0 )的最小正周期是 p ,下面是函数 f ( x ) 对称轴的是( 4? p 2
C. x =



B. x =

p 4

D. x =

p 8


9、 已知 f ( x ) = sin ? w x + A.

? è

p? p 的一条对称轴是 x = , 则函数 f ( x ) 的最小正周期不可能是 ( ÷( w > 0 ) 4? 8
C. p D. 2p

p 9

B.

p 5

10 、函数 f ( x ) = sin(wx + j )( x ? R )(w > 0, | j |<

p p p ) 的部分图象如图所示,如 果 x1 , x2 ? (- , ) ,且 2 6 3

f ( x1 ) = f ( x2 ) ,则 f ( x1 + x2 ) 等于( )
A.

1 2 2 2

B.

3 2

C.

D. 1

11、 为得到函数 y = sin( x +

p 可将函数 y = sin x 的图象向左平移 m 个单位长度, 或向右平移 n 个 ) 的图象, 3


单位长度( m , n 均为正整数) ,则 | m - n | 的最小值是( A.

4p 5p D. 3 3 uuu r uuu r uuu r uuu r 12、 在△ABC 中, D 为 AC 的中点,BC = 3BE , BD 与 AE 交于点 F, 若 AF = l AE , 则实数 l 的值为 (
B. C. A.

p 3

2p 3



1 2

B.

2 3

C.

3 4

D.

13、已知两点 M ( 3, 2 ) , N ( -5, -5 ) A. ( -8,1) B. ? -1, - ÷

4 5 uuu r 1 uuur MP = MN ,则 P 点坐标是 ( 2 ? 3? è 2?
D. ( 8, -1)



? è

3? 2?

C. ? 1, ÷

uuu r uuu r uuu r 1 uur uur 15、在 DABC 中,D 为 AB 边上一点, AD = 2 DB , CD = CA + l CB ,则 l =( 3
A. 3 - 1 B.

)

2 3

C. 2 3 - 1

D. 2

16、 空间四边形 OABC 中, OA = a , OB = b , OC = c ,点 M 在 OA 上,且 OM = 2 MA , N 为 BC 的中点, 则 MN =(

uuu r

r uuu r

r

uuur

r

uuuu r



1r 2r 1r A. a - b + c 2 3 2

17、向量 a = (2,3) , b = ( -1, 2) ,若 ma + b 与 a - 2b 平行,则 m 等于( A. -2 B. 2 C.

r

r

2r 1r 1r B. - a + b + c 3 2 2

r r

r

r

1r 1r 2r C. a + b - c 2 2 3


2r 2r 1r D. a + b - c 3 3 2

1 2

D. -

1 2

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二、填空题
18、已知扇形 AOB(∠AOB 为圆心角)的面积为 ,半径为 2,则△ABC 的面积为 .

p cos( + a ) sin(-p - a ) 2 20、已知角 a 终边上一点 P ( -4, 3) ,则 的值为_________. 11p 9p - a ) sin( + a ) cos( 2 2 uuu r 21、已知点 A(1,3), B (4, -1) ,则与向量 AB 方向相反的单位向量的坐标为
22、已知 a , b 是平面向量,若 a ^ a - 2b , b ^ b - 2a ,则 a 与 b 的夹角是 25、已知向量 a = (1, 2) , b = (-2,3) , c = (4,1) ,若用 a 和 b 表示 c ,则 c =____。 26、已知向量 a, b 满足 b = (1, 3) , b × ( a - b) = -3 ,则向量 a在b 方向上的投影为 27、已知 a = 1 , b = 2 ,向量 a 与 b 的夹角为
评卷人 得分
? ? ?
? ? ? ?

r

r

r

(r

r

)

r

(

r

r

)

r

r



r r

r

r r r

r

r



r

r

r

r

r r p ,则 a × b = 3



三、解答题(第 17 题 10 分,其余每小题 12 分.)

, 28、已知角 a 的终边经过点 P( - 4 ,3) (1)求

sin(p - a ) + cos(- a ) 的值; tan (p + a )

(2)求 sin a cos a + cos 2 a - sin 2 a + 1 的值.

33、已知向量 a 、 b 满足 : a = 1, b = 4, 且 a 、 b 的夹角为 60 0 .

?

?

?

?

?

?

(1)求 ? 2 a - b ÷ · ? a + b ÷ ;

? è

?

?

? ?? ? è

?

? ?

(2)若 ? a + b ÷ ^ ? l a - 2 b ÷ ,求 l 的值.

?? è

?

? ?

? è

?

?

? ?

34、设两个向量 e1 , e2 ,满足 e1 = 1, e2 = 1, e1 , e2 满足向量 a = ke1 + e2 , b = e1 - ke2

ur uu r

ur

uu r

ur uu r

r

ur uu r r

ur

uu r


若 e1 与 e2 的数量积用

ur

uu r

r r 含有 k 的代数式 f ( k ) 表示.若 a = 3 b .
(1)求 f ( k ) ;

r r ur uu r a (2)若 e1 与 e2 的夹角为 60° ,求 k 值; (3)若 与 b 的垂直,求实数 k 的值.

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29、 已知函数 y = cos 2 x + a sin x - a 2 + 2a + 5 有最大值 2 ,求实数 a 的值.

31、函数 f ( x) = A sin(w x + f ) ( A > 0, w > 0,| f |< (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期及解析式;

p ) 部分图象如图所示. 2

(Ⅱ)设 g ( x) = f ( x) - cos 2 x ,求函数 g ( x) 在区间 x ? [0, ] 上的最大值和最小值.

p 2

32、如图,摩天轮上一点 P 在 t 时刻距离地面高度满足 y = A sin(wt + j ) + b , A > 0, w > 0, j ? [ -p , p ] , 已知某摩天轮的半径为 50 米,点 O 距地面的高度为 60 米,摩天轮做匀速转动,每 3 分钟转一圈,点 P 的 起始位置在摩天轮的最低点处. (1)根据条件写出 y (米)关于 t (分钟)的解析式; (2)在摩天轮转动的一圈内,有多长时间点 P 距离地面超过 85 米?

36、如图,O,A,B 三点不共线, OC = 2OA , OD = 3OB ,设 OA = a , OB = b 。 (1)试用 a, b 表示向量 OE ; (2)设线段 AB,OE,CD 的中点分别为 L,M,N,试证明 L,M,N 三点共线。

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参考答案 一、单项选择

1、 【答案】C 【解析】 当 k 为偶数, 设 k=2m ( m ? Z ) , 则 k ×180o + a = m × 360o + a , 则在第一象限; 当 k 为奇数,设 k=2m+1 ( m ? Z ) ,则 k ×180o + a = m × 360o + 180o + a

(

)

,则在第三象

限; 故选 C 考点:本题考查象限角 点评:解决本题的关键是终边相同的角的表示方法 2、 【答案】D p p p p 【 解 析 】 若 函 数 在 x ? [- , ] 有 零 点 , 则 应 满 足 f ( - ) f ( ) ? 0 , 又
3 3

p p p f (- ) = 2 sin( - ) + tan( - ) + m = -2 3 + m, 3 3 3 p p p f ( ) = 2 sin + tan + m = 2 3 + m, 则 ( -2 3 + m) × (2 3 + m) ? 0, 3 3 3
- 2 3 ? m ? 2 3.
考点:1、三角函数求值;2、函数的零点. 3、 【答案】C 【解析】∵ f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且 f ( x ) 在 ( -?,0] 上单调递增, ∴ f ( x ) 在 [ 0, +? ) 上单调递减,且 b = f ? - cos

3

3





? è

2p 5

2p ? ? ÷ = f ? cos 5 ? è


? ÷, ?
, 且

2p ? c = f ? - tan 5 è 0 < cos

2p ? ? ? ÷ = f ? tan ÷ 5 ? ? è





2p ? ? a = f ? sin ÷ 5 ? è

2p 2p 2p ,∴ c<a<b,故选 C. < sin < tan 5 5 5

4、 【答案】D. 【解析】要求 w 的最大值,只需考虑 w >0 的情况. 因为 0< x <

p p p p p < wx + < w + , 要使 得 函数 f ( x) = 2 cos(wx + ) 为单调递减的, 需 满足 : 4 4 4 4 4 p p w + ? p ,解之得 w ? 3 ,所以 w 的最大值为 3,故应选 D. 4 4
考点:余弦函数的单调性. 5、 【答案】C 【解析】原函数利用诱导公式化简为: f ( x ) = sin ? 2 x -

p ,所以 4

? è

p? ÷ = - cos 2 x ,此函数为最小 2?

答案第 1 页,总 10 页

正周期为 p 的偶函数,所 以 A,B 正 确 ,函数的对称 轴 由 : 2 x = kp ( k ? Z ) 得到 :

x=

kp p ( k ? Z ) ,显然,无论 k 取任何整数, x ? ,所以 C 错误,答案为 C. 2 4

考点:1.诱导公式;2.三角函数的性质. 6、 【答案】A 【解析】首先根据函数解析式可知 y =

sin 2 x 为 ( -?, +? ) 上的奇函数,且 f ( 0 ) = 0 , 2 x + 2- x

1 时, 排除 C,D,当 x = 100

sin 2
1 100

1 100
-

+2

1 100

> 0 ,显然排除 B,综上答案为 A.

考点:1.函数的性质;2.特殊值排除法. 7、 【答案】B 【 解 析 】 根 据 图 像 可 知 : A = 1, T = 4 (1 + 1) = 8 =

2p p 解得 w= ,所以 w 4

p p p p ?p ? p f ( x ) = sin ? x + j ÷ 由 + j = + 2kp ( k ? Z ) 且 - < j < 解得 : j = ,所 以 4 2 2 2 4 è4 ? p? p? ?p ?p f ( x ) = sin ? x + ÷ 将其横坐标变为原来的 2 倍,得到 y = sin ? x + ÷ ,再向右平 4? 4? è4 è8
移一个单位得到: g ( x ) = sin ?

p p ?p ( x - 1) + ? ÷ = sin ( x + 1) ,所以答案为 B. 4? 8 è8

考点:1.三角函数的图像;2.三角函数图像变换. 8、 【答案】D 【 解析 】因 为函数的最小正周期为 p ,所 以

x=

kp p p + ,当 k = 0 时, x = ,故选 D. 2 8 8

2p p p = p , w = 2 , 由 2 x + = kp + 得 w 4 2

考点:正弦函数图象和性质. 9、 【答案】D 【 解 析 】 因 为 函 数 f ( x ) = sin ? w x +

? è

p? p ÷ ( w > 0 )的一条对称轴是 x = ,所以 4? 8



p p p 2p 2p p + = kp + , k ? Z ,即 w = 8k + 2 ,所以 T = = = ? 2p ,故 8 4 2 w 8k + 2 4k + 1

选 D. 考点:三角函数图象与性质. 10、 【答案】B.

T p p p 【解析】由图可知, = - ( - ) = ? T = p ? w = 2 ,又∵ 2 3 6 2

-

p p + 6 3 =p , 2 12

答案第 2 页,总 10 页

∴ f ( x ) 过点 ( 而 x1 + x2 = -

p p p p ,1) ,即 sin(2 ? + j ) = 1 ? j = ,∴ f ( x) = sin(2 x + ) , 12 12 3 3

p p p p p p 2p 3 . + = ,∴ f ( x1 + x2 ) = f ( ) = sin(2 ? + ) = sin = 6 3 6 6 6 3 3 2

考点: A sin(wx + j ) 的图象和性质. 11、 【答案】B. 【解析】由题意可知, m =

p p + 2k1p , k1 为非负整数, n = - + 2k 2p , k2 为正整数, 3 3 2p 2p ∴ | m - n |=| . + 2(k1 - k 2 )p | ,∴当 k1 = k2 时, | m - n |min = 3 3
考点:三角函数图象的平移. 12、 【答案】C

BE 1 EG 1 = ,所以 = ,因为 BC 3 DC 3 r EG 1 EF 1 uuur 3 uuu D 为 AC 的中点,所以 = ,所以 = ? AF = AE ,故选 C. AD 3 FA 3 4
【解析】作 EF P AC 交 BD 于 G,因为 14、 【答案】B 【解析】设 P(x,y)因为 MP = 15、 【答案】A 【解析】 由向量的运算法则 AC = AB + AD , 而点 P 在对角线 AC 上, 所以 AP 与 AC 同向, 且| AP |<| AC |,∴ AP =λ( AB + AD ),λ∈(0,1). 16、 【答案】B

uuu r

1 uuur 3? ? MN ,所以 P 点坐标是 ? -1, - ÷ 2 2? è

uur uur uuu r 1 uur uur 【解析】 CA 与 CB 作为基底,一方面 CD = CA + l CB 3
uuu r uur uuu r uur 1 uuu r uur 1 uur uur 1 uur 2 uur CD = CB + BD = CB + BA = CB + (CA - CB ) = CA + CB 3 3 3 3 另一方面

所以

l=

2 3

17、 【答案】B

【 解 析 】 因 为

uuur 1 uuu r uuur BC 的 中 点 , 则 ON = (OB + OC ) , 2 uuuu r uuur uuuu r 1 uuu r uuur 2 uuu r 1r 1r 2r MN = ON - OM = (OB + OC ) - OA = b + c - a ,选 B 2 3 2 2 3

N



考点:向量加法、减法、数乘的几何意义; 18、 【答案】D 【解析】 ma + b = (2m, 3m) + ( -1, 2) = (2m - 1, 3m + 2)

r

r

答案第 3 页,总 10 页

r r 1 a - 2b = (2, 3) - (-2, 4) = (4, -1) ,则 -2m + 1 = 12m + 8, m = 2
19、 【答案】 【 解 析 】 设 扇 形 AOB 的 弧 长 为 l , 圆 心 角 ∠ AOB 的 弧 度 数 为 φ , 则 S
AOB

扇形

= l×2= ×2φ×2= , =



∴φ=

∴S△AOB= ×2×2×sin 故答案为: . 20、 【答案】1



【解析】 ∵角 q 的终边过点 P (-4, 3) , 点 P 到原点的距离为 5, ∴ sin q = ∴ 3sin q + cos q = 3 ? -

3 4 , cos q = - , 5 5

3 5

4 = 1 ,故答案为 1. 5

考点:三角函数的定义 点评:解本题的关键是根据三角函数的定义,利用角终边上一点的坐标求出角的三角函 数值,再代入进行运算. 21、 【答案】 -

3 . 4 3 , 则 4

【 解 析 】 因 为 角 a 终 边 上 一 点 P ( -4, 3) , 所 以 tan a = -

p + a ) sin(-p - a ) - sin 2 a - sin 2 a - sin 2 a 2 = = = = tan a = 11p 9p 3p p p - sin a cos a cos( - a ) sin( + a ) cos( - a ) sin( + a ) - cos( - a ) cos a 2 2 2 2 2
cos(
考点:诱导公式. 22、 【答案】 ( - , )

uuu r uuu r uuu r AB ? 3 4 ? 【解析】与 AB = ( 3, -4 ) 向量同方向的单位向量为: uuu r = ? , - ÷ ,所以与 AB 方向相 AB è 5 5 ?
反的单位向量为: ? - , ÷ ,所以答案为: ? - , ÷ . 考点:1.向量的坐标运算;2.向量的模.

3 4 5 5

? 3 4? è 5 5?

? 3 4? è 5 5?

p 3 r r r2 r r r r2 r r r r r 【解析】因为 a ^ a - 2b ,所以 a × a - 2b = a - 2a × b = a - 2 a × b cos q = 0 ,即
23、 【答案】

r r a = 2 b cos q

(

)

(

)









r r r b ^ b - 2a

(

)







答案第 4 页,总 10 页

r r r2 r r r r r r r r b × b - 2a = b 2 - 2a × b = b - 2 a × b cos q = 0 ,即 b = 2 a cos q ,因此有
r r r a = 2 b cos q = 4 a cos2 q
cos q > 0,\ cos q =
考点:向量运算. 24、 【答案】5 【解析】由已知 x 2 + ( y - 2) 2 = 5 ,可知圆心 C (0, 2) , r = 5 , ∴ | AC |= (3 - 0) 2 + (1 - 2) 2 = 10 ,∴ | AB |= 10 - 5 = 5 ,∴ ?ACB = 450 , ∴ CA × CB = 10 ? 5 ? cos 450 = 5 . 考点:两点间距离公式、圆的标准方程、向量的数量积.

(

)

, 所 以 cos q = ±

1 p ,q = . 2 3

1 2

, 又 由

r r a = 2 b cos q



uuu r uuu r

1 2 uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur uuu uuur r uuu r 【解析】 AO = AC + CO = AC + y BC = AC + y( AC - AB )=-y AB +(1+y) AC
25、 【答案】 ( - , 0)

1 1 Q BC = 2CD ,\ y ? (0, ) ,Q AO = x AB + (1 - x) AC \ x ? (- , 0) . 2 2
26、 【答案】 ? a = (1, 2) 【解析】设 c = xa + yb ,则 ( x, 2 x ) + ( -2 y , 3 y ) = ( x - 2 y , 2 x + 3 y ) = (4,1)
?

r

r

x - 2 y = 4, 2 x + 3 y = 1, x = 2, y = -1

27、 【答案】

【解析】 b = 12 +

r

1 2

r r r r r agb 1 1 影为: a cos a, b = r = ,所以答案为: . 2 2 b
考点:1.向量的坐标运算;2.向量的数量积. 28、 【答案】1

( 3 ) = 2 且由 b × (a - b) = -3 解得:agb = 1 ,所以 a在b 方向上的投

r r r

r r

r

r

【解析】由于 a × b = a × b cos < a ,b >= 1 ? 2 ? cos 考点:平面向量数量积; 三、解答题 29、 【答案】

r

r

r

r

r r

p = 1. 3

4 4 , 15 5

答案第 5 页,总 10 页

思路点拨: (1)Q 角 a 的终边经过点 P(-4,3)∴r=5, sin a =

3 4 , cos a = 5 5

3 4 sin(p - a ) + cos(-a ) sin a + cos a 5 5 4 = = = ∴ 3 tan(p + a ) tan a 15 4 1 4 (2) sin 2a + cos 2a + 1 = sin a × cos a + 2 cos 2 a = 2 5
考点:本题考查诱导公式,三角函数定义 点评:给出角终边上一点就可以求得三角函数值,再将值代入求解 【解析】 30、 【答案】 a = -

4 3 + 21 或 3 2

y = - sin 2 x + a sin x - a 2 + 2a + 6 ,令 sin x = t , t ? [ -1,1] ,
则 y = -t 2 + at - a 2 + 2a + 6 ,对称轴为 t = 当

a , 2

a < -1 ,即 a < -2 时,[-1,1]是函数 y 的递减区间, ymax = y |t =-1 = - a 2 + a + 5 = 2 , 2 1 ± 13 , 与 a < -2 矛盾; 2

得 a 2 - a - 3 = 0, a = 当

a > 1 ,即 a > 2 时,[-1,1]是函数 y 的递增区间, ymax = y |t =-1 = - a 2 + a + 5 = 2 , 2 3 ± 21 3 + 21 ,而 a > 2 ,即 a = ; 2 2

得 a 2 - 3a - 3 = 0, a =

当 -1 ?

a 3 ? 1 ,即 -2 ? a ? 2 时, ymax = y | a = - a 2 + 2a + 6 = 2 , t= 2 4 2 4 4 ,而 -2 ? a ? 2 ,即 a = - ; 3 3

得 3a 2 - 8a - 16 = 0 , a = 4 或 a = ∴a = -

4 3 + 21 或a = . 3 2

考点:三角函数的最值. 点评:解本题的关键是利用换元法转化为关于 sin x 的二次函数,根据 sin x 的取值范围 [-1,1],利用对称轴进行分类讨论求出最大值,解出 a 的值. 【解析】 31、 【答案】 (Ⅰ) f ( x) = sin(2 x + ) ;(Ⅱ)最大值为 1 ;最小值为 -

p 6

1 . 2

答案第 6 页,总 10 页

(Ⅰ)由图可得 A = 1 ,

T 2p p p p = - = ,根据周期公式可得 w = 2 ,当 x = 时, 2 3 6 2 6

p p p f ( x) = 1 ,可得 sin(2 × + j ) = 1 ,因为 | j |< , 所以 j = ,即可求出 f ( x) 的解 6 2 6
析式.(Ⅱ)对函数 g ( x) = f ( x) - cos 2 x = sin(2 x +

p ) - cos 2 x ,化简可得 6

p p p p 5p p p p g ( x) = sin(2 x - ) ,因为 0 ? x ? ,所以 - ? 2 x - ? ,当 2 x - = ,即 x = 6 2 6 6 6 6 2 3
时,即可求出 g ( x) 的最大值;当 2 x -

p p = - ,即 x = 0 时,即可求出 g ( x) 的最小值. 6 6 T 2p p p = - = ,所以 T = p 2 3 6 2

试题解析:解: (Ⅰ)由图可得 A = 1 , 所以 w = 2 当x=

p p 时, f ( x) = 1 ,可得 sin(2 × + j ) = 1 , 6 6 p p , 所以 j = 2 6 p 6

因为 | j |<

所以 f ( x) 的解析式为 f ( x) = sin(2 x + )

(Ⅱ) g ( x) = f ( x) - cos 2 x = sin(2 x +

p ) - cos 2 x 6

p p 3 1 = sin 2 x cos + cos 2 x sin - cos 2 x = sin 2 x - cos 2 x 6 6 2 2 p = sin(2 x - ) 6
因为 0 ? x ?

p p p 5p ,所以 - ? 2 x - ? 2 6 6 6

当 2x -

p p p = ,即 x = 时, g ( x) 有最大值,最大值为 1 ; 6 2 3

答案第 7 页,总 10 页

当 2x -

p p 1 = - ,即 x = 0 时, g ( x) 有最小值,最小值为 - . . 6 6 2

考点:1.三角函数图像与性质;2.三角函数的恒等变换;3.三角函数的最值. 【解析】 32、 【答案】 (1) y = 60 - 50 cos 钟. (1) 由题设可知 A = 50 , 又每 3 分钟转一圈, 得周期 T = b = 60 , 又知 t = 0 时 y = 10 ,由待定系数法可得 j = -

2p t , (t > 0) (2)点 P 距离地面超过 85 米的时间有 1 分 3
2p 2 所以 w = p , = 3, w 3

p 2p t , (t > 0) 整理可得 y = 60 - 50 cos 2, 3
2p 2p 1 t > 85 ,即 cos t<- , 3 3 2

(2)要使点 P 距离地面超过 85 米,则有 y = 60 - 50 cos

又0 <

2p 2p 2p 4p t < 2p , (t > 0) 可得 < t< , (t > 0) ,即 1 < t < 2 ,故点 P 距离地面超 3 3 3 3

过 85 米的时间有 1 分钟. 试题解析: (1)由题设可知 A = 50 , b = 60 , 又T =

2p 2 = 3 ,所以 w = p , w 3

从而 y = 50sin(

2p t + j ) + 60 ,再由题设知 t = 0 时 y = 10 , 3 2p p t + j ) + 60 ,得 sin j = -1 ,从而 j = - , 3 2 2p t , (t > 0) . 3 2p t > 85 , 3

代入 y = 50sin(

因此, y = 60 - 50 cos

(2)要使点 P 距离地面超过 85 米,则有 y = 60 - 50 cos

即 cos

2p 1 2p 2p 2p 4p t < - ,又 0 < t < 2p , (t > 0) 解得 < t< , (t > 0) , 3 2 3 3 3 3

即1 < t < 2 所以,在摩天轮转动的一圈内,点 P 距离地面超过 85 米的时间有 1 分钟. 考点:1、求三角函数的表达式;2、待定系数法;3、解三角不等式. 【解析】 33、 【答案】 (1)-12; (2) l = 12

答案第 8 页,总 10 页

(1)由题意得 a × b = a × b cos 60o = 1? 4 ?

r r r

r r r2

) r r r r r r r r (2)∵ ( a + b ) ^ ( l a - 2b ) ,∴ ( a + b ) × ( l a - 2b ) = 0 ,
∴ 2a - b × a + b = 2a + a × b - b = 2 + 2 - 16 = -12 ∴ l a + ( l - 2 ) a × b - 2b = 0 ,∴ l + 2 ( l - 2 ) - 32 = 0 , ∴ l = 12 考点:平面向量的数量积的定义的应用,平面向量数量积的运算法则,以及向量垂直的 充要条件 点评:解决此题的关键是掌握平面向量数量积的运算法则,以及向量垂直的充要条件 【解析】 34、 【答案】 (1) f ( k ) =

(

r r

)(

r

r r r2

1 =2, 2

r2

r r

r2

k 2 +1 (2) k = 1 ; (3) k = ±1 . ( k ? 0) ; 4k r r r2 r2 试题解析: (1)根据平面向量的运算法则,由 a = 3 b 即: a = 3b 可知:

( ke + e )
1 2

ur uu r

2

ur uu r 2 ur uu r = 3 e1 - ke2 整理化简得到 f ( k ) ; (2)因为 e1 , e2 是夹角为 60° 的单位向量,

(

)

r r r r ur uu r k 2 +1 得到 e1 ge2 = f ( k ) = ,求得 k = 1 ; (3)因为 a 与 b 垂直即: a × b = 0 化简得到 4k ur uu r ur uu r (1 - k 2 ) e1 × e2 = 0 所以:1 - k 2 = 0 或 e1 ge2 = 0 进而得到 k 的方程,求得 k 的值.
ur uu r ur uu r ur 2 uruu r uu r2 uruu r uu r2 (1)(ke1 + e2 ) 2 = 3(e1 - ke2 ) 2 , k 2 e1 + 2ke1 e2 + e2 = 3 - 6ke1 e2 + 3k 2 e2 试题解析: uruu r uruu r k 2 +1 8ke1 e2 = 2 + k 2 ,\ e1 e2 = f (k ) = (k ? 0). 4k

ur uu r ur uu r 1 k 2 +1 1 (2) e1 与 e2 的夹角为 60° ,则 e1 ge2 = , f ( k ) = = , k = 1; 2 4k 2 r r ur uu r ur uu r ur uu r (3)若 a ^ b, ke1 + e2 e1 - ke2 = 0 ,则 (1 - k 2 ) e1 ge2 = 0 ,

(

)(

)

ur uu r k 2 +1 ? 0 ,\ 1 - k 2 = 0, k = ±1 . Q e1 ge2 = f ( k ) = 4k
考点:1.平面向量的运算;2.向量的数量积. 【解析】

4r 3r a+ b 5 36、 【答案】 OE = 5

r r OE OC OB a b (1)∵B,E,C 三点共线,∴ =x +(1-x) =2 x +(1-x) ,①
答案第 9 页,总 10 页

同理,∵A,E,D 三点共线,可得, OE =y a +3(1-y) b ,②

r

r

ì2 x = y , 2 4 4r 3r í a+ b 1 - x = 3(1 - y ) 解得 x= 5 , y= 5 ,∴ OE = 5 5 。 比较①,②得, ?

(2)∵

OL =

a+b 1 4a + 3b 1 2a + 3b OM = OE = ON = (OC + OD) = 2 , 2 10 , 2 2 , 6a + 12b a + 2b ML = OL - OM = 10 , 10 ,

MN = ON - OM =

∴ MN = 6 ML ,∴L,M,N 三点共线。 【解析】

答案第 10 页,总 10 页


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