mai12345:人教A版高中数学必修四课件182.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》PPT_图文

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高中数学课件
(金戈铁骑 整理制作)

2.4.2《平面向量数量积 的坐标表示、模、夹角》

教学目标
? 1.掌握平面向量数量积运算规律; ? 2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运
算规律解决有关问题;
? 3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断,会 证明两向量垂直,以及能解决一些简单问 题.
? 教学重点: ? 平面向量数量积及运算规律. ? 教学难点: ? 平面向量数量积的应用

一、复习引入

(1)a ? b ? a ? b cos?
2
(2)a ? a ? a 或 a ?

a ? a;

a ? b ? a ? b ? 0; cos? ? a ? b .
a ?b

我们学过两向量的和与差可以转化为 它们相应的坐标来运算,那么怎样用
a和b的坐标表示a ?b呢?

二、新课学习

1、平面向量数量积的坐标表示

如图,i是x轴上的单位向量,是jy轴

上的单位向量, 由于所a ?以b ? a ? b cos?
i ? i ?.1 j ? j ?.1

y A(x1,y1)
B(x2,y2)
b ja

i ? j ? j ? i ?.0

oi x

下面研究怎样用
a和b的坐标表示a ? b.
设两个非零向量=a(x1,y1),=(x2b,y2),则

a ? x1i ? y1 j b ? x2 i ? y2 j,

a ? b ? (x1i ? y1 j) ? (x2 i ? y2 j)

2

2

? x1x2 i ? x1 y2 i ? j ? x2 y1i ? j ? y1 y2 j

? x1x2 ? y1 y2

故两个向量的数量积等于它们对应

坐标的乘积的和。即

y A(x1,y1)

a ? b ? x1x2 ? y1 y2. B(x2,y2) a
bj
oi x

根据平面向量数量积的坐标表示,向量的 数量积的运算可转化为向量的坐标运算。

2、向量的模和两点间的距离公式
2
(1)a ? a ? a 或 a ? a ? a;

(1)向量的模
2
设a ? (x, y),则 a ? x2 ? y2 ,或 a ? x2 ? y2;

(2)两点间的距离公式

设A(x1, y1)、B(x2 , y2 ),



AB ? (x1 ? x2 )2 ?(y1 ? y2 )2

3、两向量垂直和平行的坐标表示 (1)垂直 a ? b ? a ? b ? 0
设a ?(x1, y1), b ? (x2 , y2 ),则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0
(2)平行
设a ?(x1, y1), b ? (x2 , y2 ),则 a//b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

4、两向量夹角公式的坐标运算
设a与b的夹角为?(0? ? ? ? 180?),
则 cos? ? a ? b
ab

设a ?(x1, y1),b ?(x2, y2 ),且a与b夹角为?,

(0? ? ? ? 180? )则cos? ?

x1x2 ? y1 y2

.

x12 ? y12 ? x22 ? y22

其中 x12 ? y12 ? 0,x22 ? y22 ? 0.

三、基本技能的形成与巩固 例1 (1)已知a ? (?1,2 ? 3),b ? (1,1),
求a ?b,a ? b,a与b的夹角? .
a ? b ? 1? 3, a ? b ? 2 4 ? 2 3 ? 2(1? 3),
cos? ? a ? b ? 1 ,? 0? ? ? ? 180? ,?? ? 60?.
a?b 2

(2)已知a ? (2,3),b ? (?2,4),

则(a ? b)(? a ? b)?

.

法一:a ? b ? (0,7), a ? b ? (4,?1)

?(a ? b)(? a ? b)? 0 ? 4 ? 7 ? (?1) ? ?7.

法二:(a

?

b)(? a

?

b)?

2
a

?

2
b

22
? a ? b ? 13 ? 20 ? ?7

练习:课本P1191、2、3.

例2已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),

试判断?ABC的形状,并给出证明.
y

证明:?AB ? (2 ?1,3 ? 2) ? (1,1)C(-2,5)

AC ? (?2 ?1,5 ? 2) ? (?3,3)

B(2,3)

?AB? AC ?1? (?3) ?1? 3 ? 0

A(1,2)

?AB ? AC

x

?三角形ABC是直角三角形.

0

练习2:以原点和A(5,2)为两个顶 点作等腰直角三角形OAB,?B=90?, 求点B的坐标.

答案:B的坐标为( 3 ,7) y B

22

A

或(7 ,? 3)

22

O

x

四、逆向及综合运用

例3(1)已知=(4,a 3),向量是垂直于b的单

位向量,a求.

b

(2)已知 a ? 10,b ? (1,2),且a // b,求a的坐标.

(3)已知a ? (3,0),b ? (k,5),且a与b的夹角为 3? ,
4

求k的值.

答案:(1)b ? (3 ,? 4)或b ? (? 3 , 4).

55

55

(2)( 2,2 2)或(? 2,? 2 2);(3)k ? ?5.

提高练习

1、已知OA ? (?3,1),OB ? (0,5),且AC // OB,

BC ? AB,则点C的坐标为

C(?3, 29) 3

2、已知A(1,2)、B(4、0)、C(8,6)、 D(5,8),则四边形ABCD的形状是矩. 形

3、已知=(a1,2),=(-3,b 2),

若k+a2与2b-4平行a,则bk=.

-1

小结 1、理解各公式的正向及逆向运用; 2、数量积的运算转化为向量的坐标 运算; 3、掌握平行、垂直、夹角及距离公 式,形成转化技能。
作业 课本P119A组5(1),9,10,11.


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