高一数学课件:二倍角的正弦、余弦、正切4_图文

二倍角的正弦、余弦、正切
文登高职 王爱东

复习导入

回忆两角和与差的正弦、余弦、正切公式
- cos ?? ? b ? ? cos ? cos b sin ? sin b
sin?? ? b ? ? sin? cos b ?cos? sin b

- tan??

?

b

?

?

tan ? ? tan b 1 - tan ? tan b

能否通过上述公式利用单角表示:sin2?,cos2? ,tan2? ?
cos?? ? ? ? ? cos? cos? ? sin ? sin ?
sin?? ? ? ? ? sin? cos? ? cos? sin?

tan?? ? ? ? ? tan? ? tan?
1? tan? ? tan?

(一) 二倍角公式

二倍角公式:

sin2? ? 2sin? cos? S2?

cos 2? ? cos2 ? ? sin2 ? C2?

tan 2?

?

2 tan? 1? tan2 ?

T2?

问题(1) 对于C2? 能否有其它表示形式?
cos 2? ? 2cos2 ? ?1

cos 2? ? 1? 2sin2 ?

(一) 二倍角公式

二倍角公式:

sin2? ? 2sin? cos? S2?

cos 2? ? cos2 ? ? sin2 ? C2?

tan 2?

?

2 tan? 1? tan2 ?

T2?

问题(2) 公式的特征与记忆

(1)左边角是右边角的二倍

(2)左边是2? 的三角函数的一次式,右边是? 的三角函数的
二次式 。即----左到右:升幂缩角;右到左:降幂扩角

(3)二倍角的正弦是单项式,余弦是多项式,正切是分式

(一) 二倍角公式

二倍角公式:

sin2? ? 2sin? cos? S2?

cos 2? ? cos2 ? ? sin2 ? C2?

tan 2?

?

2 tan? 1? tan2 ?

T2?

问题(3) 二倍角的含义

二倍角具有相对性

(一) 二倍角公式
二倍角公式:

sin2? ? 2sin? cos? S2?

cos 2? ? cos2 ? ? sin2 ? C2?

tan 2?

?

2 tan? 1? tan2 ?

T2?

问题(4) 公式成立的条件

? C2? : ? R

? S2? : ? R

T2?



?

?

k?
2

??
4

,且?

?

k?

?

? ,?k ? Z?
2

1、应用公式求三角函数值

例1.已知 sin?

?5 13

,?

?

?? ?

?
2

,?

?? .求sin2? ?

,cos2? ,

tan2? 的值.

解:

sin? ? 5
13

,?

?

?? ?

?
2

,?

?? ?

?cos? ? ? 1? sin2 ? ? ? 1? ( 5 )2 ? ? 12

13

13

sin 2? ? 2sin?cos? ? 2? 5 ? (?12) ? ?120

13 13 169

cos2? ? cos2? ? sin2 ? ? (?12)2 ? ( 5 )2 ? 119

13 13 169

tan 2? ? sin 2? ? ?120 ? 119 ? ?120 cos2? 169 169 119

1、应用公式求三角函数值

练习.1、已知: cos ?

?

?

4 5

,?

?

? ??

?

,

3?
2

? ??

求: sin 2?, cos2?, tan 2?

练习.2、已知:tan? ? 1

求:tan

2?

,

2 co

t

2?

练习.3、 求:2 sin2 ? ?1 的值
12

2、应用倍角公式证明三角关系式

例2.证明:

sin 2? ? sin?

2cos2? ? 2sin2 ? ? cos?

? tan?

证明:左边 ?

2sin?cos? ? sin?

2(cos2? ? sin2 ? ) ? 2sin2 ? ? cos?

? sin? (2cos? ?1) ? tan? =右边 cos? (2cos? ?1)

练习: 证明:cos4 ? ? sin4 ? ? cos?

2

2

3、应用公式化简三角函数式

1
例3.化简:

-

1

1- tan? 1+ tan?

解:原式 ?

1+ tan?

-

1- tan?

(1- tan? )(1+ tan? ) (1- tan? )(1+ tan? )

? 1+ tan? -1+ tan? ? 2 tan? ? tan 2? (1- tan? )(1+ tan? ) 1- tan2 ?

??
练习.化简:sin co s 22

课堂小结
1、本节课学习的二倍角公式是在两角 和的三角函数公式的基础上导出的,记 忆时注意联想相应的公式。 2、二倍角公式适用于二倍角与单角的 三角函数间的互化问题。广泛应用于三 角函数式的求值,化简,证明,应灵活 理解“二倍角”的含义,熟悉公式的逆 用,并注意公式成立的条件。

作业
1、(课外作业)P265练习A 2、3 P265习题A
2、复习本单元内容,写出总结提纲

再见


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