广东省六校2013届高三第一次联考数学(理)试题

2013 届高三六校第一次联考
理科数学 试题
命题学校:珠海一中
第一部分 选择题(共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的
1.若集合 M 是函数 y ? lg x 的定义域,N 是函数 y ? 1? x 的定义域,则 M N 等于( )

A. (0,1]

B. (0, ??)

C.?

D.[1, ??)

2.在复平面内,复数 1 ? i3 对应的点位于 ( ) 1?i
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.下列命题正确的是( )
A. ?x0 ? R, x02 ? 2x0 ? 3 ? 0

B. ?x ? N , x3 ? x2

C. x ?1是 x2 ? 1的充分不必要条件

D.若 a ? b ,则 a2 ? b2

4.已知向量 a =(x,1),b =(3,6),a ? b ,则实数 x 的值为( )

A. 1 2

B. ? 2

C. 2

D. ? 1 2

5.经过圆 C : (x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的圆心且斜率为 1 的直线方程为 ( )

A. x ? y ? 3 ? 0

B. x ? y ? 3 ? 0

C. x ? y ?1 ? 0

6. 图 1 是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,

则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是( )

A.65

B.64

C.63

D.62

D. x ? y ? 3 ? 0





53 1 368 2 4 79 3
14

45 2 6 3 78 57

图1

7.已知等比数列?an ?中,各项都是正数,且 a1,

1 2

a3 ,2a2 成等差数列,则

a8 a6

? a9 ? a7

等于(



A.1? 2

B. 1 ? 2

C. 3 ? 2 2

D. 3 ? 2 2

?x ? 0

8.

在约束条件

?? y ??x

? ?

0 y

?

s

下,当3 ? s ? 5 时,目标函数 z ? 3x ? 2y 的最大值的变化范围是()

?? y ? 2x ? 4

( A) .[6,15]

(B) .[7,15]

(C ) [6,8]

(D) .[7,8]

第二部分 非选择题(共 110 分)

二、填空题: 本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分 (一)必做题(9~13 题)

9.( ax - 1 )8 的展开式中 x 2 的系数为 70 ,则 a 的值为



x

10.下面是一个算法的程序框图,当输入的值 x 为 5 时,则其输出的结果是



开始
输入x

x?0 Y
y ? 0.5x

N x?x?3

输出 y

结束
a
? 11. 若 xdx = 1 ,则实数 a 的值是_________. 0

12.已知双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a>0,b>0) 和椭圆 x2 16

?

y2 9

=1 有相同的焦点,且双曲线的离

心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为

.

13.已知函数

f (x)

?

?a x (x ? 0), ??(a ? 3)x ? 4a(x

? 0) 满足对任意 x1

?

x2 ,都有

f (x1 ) ? x1 ?

f (x2 ) x2

?

0

成立,则 a 的取值范围是

.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)

14.

(坐标系与参数方程选做题)

在极坐标系中,直线ρ

sin(θ

π
+

)=2

被圆ρ

=4

截得的弦长

4





15.(几何证明选讲选做题)如图 4,P 是圆 O 外一点,过 P 引圆 O 的两条割线 PAB、PCD,

PA ? AB ? 5 , CD ? 3,则 PC ? ____________.

B A

P O
C

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

D

16. (本小题满分 12 分)

图4

已知函数 f ? x? ? 2sin xcos x ? cos 2x ( x ? R).

(1) 求 f ? x? 的最小正周期和最大值;

(2)

若?

为锐角,且

f

????

?

? 8

? ??

?

2 ,求 tan 2? 的值. 3

17.(本小题满分 12 分)

设函数 f (x) ? log a x( a为常数且a ? 0, a ? 1),已知数列 f (x1), f (x2 ), ? f (xn ),?是

公差为 2 的等差数列,且 x1 ? a 2 .

(Ⅰ)求数列{xn } 的通项公式;

(Ⅱ)当 a

?

1 2

时,求证: x1

?

x2

???

xn

?

1. 3

18.(本小题满分 14 分)

为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下的列联

表:

喜爱打篮球

不喜爱打篮球

合计

男生

5

女生

10

合计

50

3
已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 .
5

(1)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程); (2)能否在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的 理由;
(3)现从女生中抽取 2 人进一步调查,设其中喜爱打篮球的女生人数为? ,求? 的分布

列与期望. 下面的临界值表供参考:
P(K 2 ? k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k

2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

(参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc)2

,其中 n ? a ? b ? c ? d )

(a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19.(本小题满分 14 分) 一个几何体的三视图如右图所示,其中正视图和侧视
图是腰长为 6 的两个全等的等腰直角三角形. (Ⅰ)请画出该几何体的直观图,并求出它的体积; (Ⅱ)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为
6 的正方体 ABCD—A1B1C1D1? 如何组拼?试证明你的结论; (Ⅲ)在(Ⅱ)的情形下,设正方体 ABCD—A1B1C1D1
的棱 CC1 的中点为 E, 求平面 AB1E 与平面 ABC 所成二面 角的余弦值.

正视图

侧视图

20.(本小题满分14分)

俯视图

已知点 F ?0,1? ,直线 l : y ? ?1, P 为平面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足

为 Q ,且 QP ? QF ? FP? FQ. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程;
(2)已知圆 M 过定点 D?0, 2? ,圆心 M 在轨迹 C 上运动,且圆 M 与 x 轴交于 A 、B

两点,设

DA

? l1 ,

DB

?

l2

,求

l1 l2

?

l2 l1

的最大值.

21.(本小题满分 14 分)

已知函数 f (x) ? x2 ? ax(a ? 0) , g(x) ? ln x , f (x) 图象与 x 轴异于原点的交点 M 处

的切线为 l1 , g(x ?1) 与 x 轴的交点 N 处的切线为 l2 , 并且 l1 与 l2 平行. (1)求 f (2) 的值;
(2)已知实数 t∈R,求函数 y ? f [xg(x)+t], x ??1,e? 的最小值;

(3)令 F(x) ?g(x) ?g (' x) ,给定 x1 , x2 ? (1, ??), x 1? x2 ,对于两个大于 1 的正数?, ? , 存在实数 m 满足:? ? mx1 ? (1 ? m)x2 , ? ? (1 ? m)x1 ? mx2 ,并且使得不等式 | F (? ) ? F (? ) |?| F (x1) ? F (x2 ) | 恒成立,求实数 m 的取值范围.

2013 届高三六校第一次联考

理科数学参考答案及评分标准

一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C B A B C D

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每 小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题.

9.1或-1

10.2

11. 2 12. x2 ? y2 ? 1 43

13.

?? ?

0.

1 4

? ??

14.4 3 15.2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.(1) 解: f ? x? ? 2sin xcos x ? cos 2x

? sin 2x ? cos 2x

…… 2 分

?

? 2 ???

2 sin 2x ? 2

2 2

cos

2x

? ???

…… 3 分

?

2

sin

? ??

2

x

?

? 4

? ??

.

∴ f ? x? 的最小正周期为 2? ? ? , 最大值为 2 .
2

(2)

解:∵

f

????

?

? 8

? ??

?

2, 3

∴ cos 2? ? 1 . 3
∵? 为锐角,即 0 ? ? ? ? , 2



2

sin

? ??

2?

?

? 2

? ??

?

2. 3

∴ 0 ? 2? ? ? .

∴ sin 2? ? 1? cos2 2? ? 2 2 . 3
∴ tan 2? ? sin 2? ? 2 2 . cos 2?

…… 4 分 …… 6 分 …… 7 分 …… 8 分
…… 10 分 …… 12 分

17.(本小题满分 12 分)
解:(Ⅰ)? f (x1) ? loga a2 ? 2

d ?2

? f (xn ) ? 2 ? (n ?1) ? 2 ? 2n

即: loga xn ? 2n

xn ? a2n

--------6 分

(Ⅱ)当 a

?

1 2

时, xn

?

? 1?n ?? ?4?

1 ? ?? 1 ??n ? 1

x1 ? x2 ? ? ? xn ? 4

?4? 1? 1

4

?

1

? ?1

?

??

1

n
? ?

? ?

?

1

3 ?? ? 4 ? ?? 3

----------12 分

4

18.(本小题满分 14 分)

解:(1) 列联表补充如下:----------------------------------------3 分

喜爱打篮球

不喜爱打篮球

男生

20

5

女生

10

15

合计

30

20

合计 25 25 50

(2)∵ K 2 ? 50? (20?15 ?10? 5)2 ? 8.333 ? 7.879 ------------------------6 分 30? 20? 25? 25

∴ 在 犯 错 误 的 概 率 不 超 过 0.005 的 前 提 下 , 认 为 喜 爱 打 篮 球 与 性 别 有 关.---------------------7 分

(3)喜爱打篮球的女生人数? 的可能取值为 0,1, 2 .-------------------------9 分

其概率分别为 P(?

? 0) ?

C100C125 C225

?

7 , P(? 20

? 1) ?

C110C115 C225

?

1 , P(? 2

? 2) ?

C120C105 C225

?

3 20

--------------------------12 分

故? 的分布列为:

?

0

1

2

7

1

3

P

20

2

20

--------------------------13 分

? 的期望值为: E? ? 0? 7 ?1? 1 ? 2? 3 ? 4 ---------------------14 分

C1

20 2 20 5

19.(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)该几何体的直观图如图 1 所示,它是有一条
侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面 ABCD 是边长为 6 的 正方形,高为 CC1=6,故所求体积是
V ? 1 ? 62 ? 6 ? 72 ------------------------4 分 3
(Ⅱ)依题意,正方体的体积是原四棱锥体积的 3 倍, 故用 3 个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为 6 的正方体,

C

B

D

图1 A

其拼法如图 2 所示. ------------------------6 分 证明:∵面 ABCD、面 ABB1A1、面 AA1D1D 为全等的

C1 D1

正方形,于是

V ? V ? V C1? ABCD

C1 ? ABB1A1

C1 ? AA1D1D

故所拼图形成立.---8 分

(Ⅲ)方法一:设 B1E,BC 的延长线交于点 G, 连结 GA,在底面 ABC 内作 BH⊥AG,垂足为 H,

C

D z

图2

连结 HB1,则 B1H⊥AG,故∠B1HB 为平面 AB1E 与

C1

平面 ABC 所成二面角或其补角的平面角. --------10 分 D1

在 Rt△ABG 中, AG ? 180 ,则

E

A1

G

BH

?

6 ?12 180

?

12 5

, B1H

?

BH 2

? BB12

?

18 , 5

x

C H
D 图3 A

B1 A1
B A
B1
By

cos ?B1HB

?

HB HB1

?

2 3

,故平面

AB1E

与平面

ABC

所成二面角的余弦值为

?

2 3

.---14 分

方法二:以 C 为原点,CD、CB、CC1 所在直线分别为 x、y、z 轴建立直角坐标系(如 图 3),∵正方体棱长为 6,则 E(0,0,3),B1(0,6,6),A(6,6,0).

设向量 n=(x,y,z),满足 n⊥ EB1 ,n⊥ AB1 ,

于是

?6y ? ??? 6x

3z ? ? 6z

0 ?

0

,解得

? ? ? ??

x y

? ?

z ?

1 2

z

.

--------------------12 分

取 z=2,得 n=(2,-1,2).

又 BB1

?(0,0,6),cos ?

n,

BB1

?? n ? BB1 | n || BB1

|

? 12 18

?

2 3

故平面 AB1E 与平面 ABC 所成二面角的余弦值为 ?

2 3

.

----------------14 分

20.(本小题满分14分)
(1)解:设 P? x, y? ,则 Q? x, ?1? ,

∵ QP QF ? FP FQ ,
∴ ?0, y ?1? ??x, 2? ? ? x, y ?1? ? x, ?2? . --------------------2分 即 2? y ?1? ? x2 ? 2? y ?1?,即 x2 ? 4 y ,

所以动点 P 的轨迹 C 的方程 x2 ? 4 y . --------------------4分

(2)解:设圆 M 的圆心坐标为 M ?a,b? ,则 a2 ? 4b .



圆 M 的半径为 MD ? a2 ? ?b ? 2?2 . 圆 M 的方程为 ? x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? a2 ? ?b ? 2?2 . 令 y ? 0,则 ? x ? a?2 ? b2 ? a2 ? ?b ? 2?2 ,

整理得, x2 ? 2ax ? 4b ? 4 ? 0 .



由①、②解得, x ? a ? 2 . --------------------6分
不妨设 A?a ? 2,0?, B?a ? 2,0? ,

∴ l1 ? ?a ? 2?2 ? 4 , l2 ? ?a ? 2?2 ? 4 .--------------------8分

∴ l1 ? l2 ? l12 ? l22 ? 2a2 ?16

l2 l1

l1l2

a4 ? 64

? ? ? 2 a2 ? 8 2 ? 2 1? 16a2 ,



a4 ? 64

a4 ? 64

当 a ? 0 时,由③得, l1 ? l2 ? 2 l2 l1

1? 16 ≤2

a2

?

64 a2

1? 16 ? 2 2?8

2.

当且仅当 a ? ?2 2 时,等号成立.--------------------12分

当 a ? 0 时,由③得, l1 ? l2 ? 2 . --------------------13分 l2 l1

故当 a ? ?2 2 时, l1 ? l2 的最大值为 2 2 . --------------------14分 l2 l1
21. (本小题满分 14 分)
解: y ? f (x) 图象与 x 轴异于原点的交点 M (a, 0) , f '(x) ? 2x ? a

y ? g(x ?1) ? ln(x ?1) 图象与 x 轴的交点 N (2, 0) , g '(x ?1) ? 1 x ?1











kl1 ? kl2





a ?1,

………………………………………………2 分



f (x) ? x2 ? x,



f (2) ? 22 ? 2 ? 2

…………………………………………3 分

y ? f [xg(x)+t] ? [x ln x+t]2 ? (x ln x+t) = (x ln x)2 ? (2t ?1)(x ln x) ? t2 ? t ………………
…4 分
令 u ? x ln x ,在 x??1,e? 时, u ' ? ln x ?1 ? 0 ,

∴ u ? x ln x 在?1,e? 单调递增, 0 ? u ? e,

………………5 分

y ? u2 ? (2t ?1)u ? t 2 ? t 图象的对称轴 u ? 1? 2t ,抛物线开口向上 2





u ? 1? 2t ? 0



t?1





2

2

ym ? |u? i 2 y ?n

t ? …0 ………t………………………6 分





u ? 1? 2t ? e



t ? 1? 2e





2

2

ymin ? y |u?e ? e2 ? (2t ?1)e ? t 2 ? t ………………………………7 分

③当 0 ? 1? 2t ? e 即 1? 2e ? t ? 1 时,

2

2

2

ymin

?

y

|u ?1? 2t 2

?

(1? 2t )2 2

? (2t

?1) 1? 2t 2

?t2

?t

?

?

1 4

…………………8 分

(3)F(x) ?

g(x) ? g '(x) ? ln x ?

1 x

, F '(x) ?

1 x

?

1 x2

?

x ?1 ? 0 x2

得x ? 1

所以 F(x) 在区间 (1, ??) 上单调递增

………………………9 分

∴当x ? 1时, F(x)? F(1)? 0

①当 m ? (0,1) 时,有? ? mx1 ? (1? m)x2 ? mx1 ? (1? m)x1 ? x1 ,

? ? mx1 ? (1? m)x2 ? mx2 ? (1? m)x2 ? x2 ,

得? ? (x1, x2 ) ,同理 ? ? (x1, x2 ) , …………………10分

∴ 由 f (x) 的单调性知 0 ? F (x1) ? F (? ) 、 F (? ) ? F (x2 )

从而有| F (? ) ? F (? ) |?| F (x1) ? F (x2 ) | ,符合题设.

………………11 分

②当 m ? 0 时,? ? mx1 ? (1? m)x2 ? mx2 ? (1? m)x2 ? x2 ,

? ? (1? m)x1 ? mx2 ? (1? m)x1 ? mx1 ? x1 ,

由 f (x) 的单调性知 0 ? F (? ) ? F (x1) ? F (x2 ) ? F (? ) ,

∴| F (? ) ? F (? ) |?| F (x1) ? F (x2 ) | ,与题设不符 ……………12 分

③当 m ? 1时,同理可得? ? x1, ? ? x2 ,

得| F (? ) ? F (? ) |?| F (x1) ? F (x2 ) | ,与题设不符.

……………………13 分

∴综合①、②、③得 m ? (0,1)
说明:各题如有其它解法,按照相应的步骤给分.

……………14 分


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