《成才之路》2014-2015学年高中数学(人教A版)必修二同步课件3.3.3、4点到直线的距离两条平行直线间的距离_图文

成才之路 ·数学
人教A版 ·必修2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第三章 直线与方程

第三章
3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离

1

预习导学

2

互动课堂

3 随堂测评 4 课后强化作业

预习导学

? ●课标展示
? 1.掌握点到直线的距离公式,明确公式中各 字母表示的含义.
? 2.掌握两条平行直线间距离的定义.
? 3.能利用点到直线的距离公式两平行直线间 的距离.

? ●温故知新
? 旧知再现
?x1-x2?2+?y1-y2?2
? 1.平面内两点P1(x1,y1),P2(x42,2 y2)间的距离 |P1P2|=______________________,其推导方 法是利用勾股定理.
? 两点A(1,-2),B(-3,2)间的距离是________.

? 3.与直线Ax+By+C=0(A、B不全为0)垂直 B的x-直Ay线+λ可=0设为________________,A与x+之By平+λ行=0 的(λ≠直C) 线可设为_______________ __________.
? 4.点到直线的距离即点到直线的垂线段任的一长点 度.
? 5.两条平行直线间的距离可转化为一条直线 上________到另一直线的距离.

? 新知导学
? 1.点到直线的距离公式
? 点P0(x|0A,x0+y0B)y到0+直C| 线l:Ax+By+C=0的距离
A2+B2
? d=________________.

? [破疑点] 点到几种特殊直线的距离:
? (1)点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|; ? (2)点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|; ? (3)点P(x0,y0)到直线y=a的距离d=|y0-a|; ? (4)点P(x0,y0)到直线x=b的距离d=|x0-b|.

? 2.两条平行直线间的距离 ? (1)定义:夹在两条平行直公线垂间线_段_________的
长叫做这两条平行直线间的距离.
? (2)求法:转化为求点到__直_线_______的距离,即在 其中任意一条直线上任取一点,这点到另一 条直线的距离就是这两条平行直线间的距 离.

(3)公式 一般地,已知两条平行直线 l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+ By+C2=0(C1≠C2).设 P(x0,y0)是直线 l2 上的任意一点,则 Ax0+By0+C2=0,即 Ax0+By0=-C2,于是 P(x0,y0)到直线 l1: Ax+By+C1=0 的距离 d=|Ax0+AB2+y0B+2C1|= |CA1-2+CB2|2. 此式就是两条平行直线 l1 与 l2 间的距离公式.

? [破疑点] (1)使用两条平行直线间的距离公 式的前提条件:
? ①把直线方程化为直线的一般式方程; ? ②两条直线方程中x,y系数必须分别相等.
? (2)求两条平行直线间的距离通常转化为其中 一条直线上任意一点到另一条直线的距离, 且两平行线间距离与其中一条直线上点的选 取无关.

? (3)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时,可利用数 形结合来解决.
? ①两直线都与x轴垂直时,l1:x=x1,l2:x= x2,则d=|x2-x1|;
? ②两直线都与y轴垂直时,l1:y=y1,l2:y= y2,则d=|y2-y1|.

? ●自我检测 ? 1.点(1,-5)到直线2x-y-2=0的距离d=
________.
[答案] 5
[解析] d=|2×12-2+?-?-51?-?2 2|= 5.

2.两平行直线 x+y+2=0 与 x+y-3=0 的距离等于( )

A.52 2

B.

2 2

C.5 2
? [答案] A

D. 2

[解析] 直线 x+y+2=0 与 x 轴的交点是 P(-2,0),点 P 到直线 x+y-3=0 的距离 d=|-21+2+0-123|=52 2,即这两条平 行线间的距离为52 2.

3.直线4x-6y=1 与 y=32x+1 之间的距离为( )

A.4

13 13

B.141313

C.

13 2

? [答案] B

D.24

[解析] 两直线变形为:3x-2y-12=0 与 3x-2y+2=0, d= |3-2+12?--22|?2= 1143=141313,故选 B.

互动课堂

●典例探究

点到直线的距离公式

的面积. [分析]

已知点 A(2,1),B(3,4),C(-2,-1),求△ABC 利用两点间的距离 根据两点式求出该 公式求出一边长 → 边所在直线方程



利用点到直线的 距离公式求高



三角形面 积可求

[解析] 设 AB 边上的高为 h,则 S△ABC=12|AB|·h.



|AB|= ?3-2?2+?4-1?2= 10.

AB 边上的高 h 就是点 C 到直线 AB 的距离.

AB 边所在直线的方程为4y--11=3x--22,即 3x-y-5=0.②

点 C( - 2 , - 1) 到 直 线 3x - y - 5 = 0 的 距 离 h =

|3×?-322+?-?-?-11?2?-5|= 10,所以 S△ABC=12|AB|·h=12× 10× 10

=5.

? [注释] ①求边|BC|及BC边上的高或求边 |AC|及AC边上的高,得出结果是一样的.
? ②此处一定要将直线的两点方程化一般方程, 便于利用点到直线的距离公式.

?

规律总结:透析点到直线的距离公式:

? (1)点到直线的距离是该点与直线上任意一点 连线的最短距离;

? (2)点到直线的距离公式适用于坐标平面内的 所有情况,特别地点在直线上时,该距离为0;
(3)求点到直线的距离的步骤:

①将直线方程化为一般式 Ax+By+C=0;

②将点(x0,y0)代入公式 d=|Ax0+A2B+y0B+2 C|,计算可得.

求点 P(3,-2)到下列直线的距离.
(1)y=34x+14;(2)y=6;(3)x=4.
? [分析] 解答本题可先把直线方程化为一般式 (特殊直线可以不化),然后再利用点到直线的 距离公式及特殊形式求出相应的距离.

[解析] (1)把方程 y=34x+14写成 3x-4y+1=0,由点到直 线的距离公式得 d=|3×3-324+×?-?-42?2?+1|=158.
(2)方法 1:把方程 y=6 写成 0·x+y-6=0,由点到直线的 距离公式得 d=|0×3+02?+-122?-6|=8.

? 方法2:因为直线y=6平行于x轴, ? 所以d=|6-(-2)|=8. ? (3)因为直线x=4平行于y轴, ? 所以d=|4-3|=1.

?

规律总结:针对这个类型的题目一般先

把直线的方程化为一般式,然后直接利用点

到直线的距离公式求得.对于与坐标轴平行

的直线x=a或y=b,求点到它们的距离时,

既可以用点到直线的距离公式,也可以直接

写成d=|x0-a|或d=|y0-b|.

两条平行直线间距离公式的应用

求与直线 2x-y-1=0 平行,且与直线 2x-y-1 =0 的距离为 2 的直线方程.
[分析] 思路 1:

设出直 由两平行直线间的距 求解 线方程 → 离公式得含参方程 → 即可

思路 2:

设直线上任意 一点的坐标



利用点到直线距 离公式列式子



化简可得所 求直线方程

[解析] 方法 1:由已知,可设所求的直线方程为 2x-y+ C=0(C≠-1),
则它到直线 2x-y-1=0 的距离 d= |C22-+??--11??| 2=|C+51|= 2,
∴|C+1|=2 5,C=±2 5-1, ∴所求直线的方程为 2x-y+2 5-1=0 或 2x-y-2 5-1 =0.

方法 2:设所求直线上任意一点 P(x,y),

则点

P



2x - y - 1 = 0

的距离为

d=

|2x-y-1| 22+?-1?2



|2x-y5-1|=2,

∴2x-y-1=±2 5,

∴所求直线的方程为 2x-y+2 5-1=0 或 2x-y-2 5-1

=0.
? [温馨提示] 利用两行平直线间的距离公式解 决含参问题时,一般有两个结果,注意加以 检验.

?

规律总结:已知两平行直线间的距离及

其中一直线的方程求另一直线的方程,一般

先根据题意设出直线方程,然后利用两平行

直线间的距离公式求解.也可以把两平行直

线间的距离问题转化为一条直线上任意一点

到另一条直线的距离问题,然后利用点到直

线的距离公式求解.

(1)两直线 3x+4y-2=0 与 6x+8y-5=0 的距离等于

()

A.3

B.7

C.110

D.12

(2)已知直线 l 与两直线 l1:2x-y+3=0 和 l2:2x-y-1= 0 平行且距离相等,则 l 的方程为________.

? [答案] (1)C (2)2x-y+1=0

? [分析] (1)求两平行线间的距离的依据是什 么?

? (2)与已知直线Ax+By+C=0平行的直线应如

[解析] (1)在 3x+4y-2=0 上取一点(0,12),其到 6x+8y -5=0 的距离即为两平行线间的距离,d=|0+86×2+128-2 5|=110.
(2)设所求的直线方程为 2x-y+c=0,分别在 l1:2x-y+3 =0 和 l2:2x-y-1=0 上取点 A(0,3)和 B(0,-1),则此两点到 2x-y+c=0 距离相等,即 2|-2+3+?-c1| ?2= 22|1++?-c| 1?2,解得 c =1,直线 l 的方程为 2x-y+1=0.

距离公式的应用
两互相平行的直线分别过 A(6,2)、B(-3,-1), 并且各自绕着 A、B 旋转,如果两条平行线间的距离为 d,
(1)求 d 的变化范围; (2)求当 d 取得最大值时的两条直线方程.

[解析] 解法 1:(1)设两条直线方程分别为 y=kx+b1 和 y=kx+b2, 则?????2-=16=k+-b31k,+b2, 即?????bb12= =23- k-61k, , 而 d=|b21-+bk12|=|91k-+3k2|,两边平方整理得 即(81-d2)k2-54k+9-d2=0, 由于 k∈R, 所以 Δ=542-4(81-d2)(9-d2)≥0, 整理得 4d2(d2-90)≤0,∴0<d≤3 10.

(2)因 d=3 10时,k=?81-5940?×2=-3, 故两直线方程分别为 3x+y-20=0 和 3x+y+10=0. 解法 2:(1)由图形可知,当两平行线均与线段 AB 垂直时, 距离 d=|AB|=3 10最大,当两直线都过 A、B 点时距离 d=0 最小,但平行线不能重合. ∴0<d≤3 10. (2)两直线方程分别是:3x+y-20=0 和 3x+y+10=0.

?

规律总结:上面我们用两种思路作了解

答,不难发现解法2比解法1简捷的多,这足

以显示数形结合的威力,在学习解析几何过

程中,一定要有意识的往形上联系,以促进

数形结合能力的提高和思维能力的发展.

? 若A(1,4),B(-3,1),过点B的直线l与点A的距 离为d.
? (1)d的取值范围为________;
? (2)当d取最大值时,直线l的方程为 ________.
? (3)当d=4时,直线l的方程为________.
? [答案] (1)[0,5] (2)4x+3y+9=0 (3)24x+ 7y+65=0

[解析] (1)用数形结合法容易得到,当直线 l⊥AB 时,d 取最大值,当 l 经过 A、B 时,d 取最小值,
∴0≤d≤5. (2)当 d=5 时,kl=-k1AB, kAB=1-4-?-13?=34, ∴l 方程 y-1=-43(x+3),即:4x+3y+9=0.

(3)设 l:y-1=k(x+3),即:kx-y+3k+1=0, 由 A(1,4)到 l 距离为 4 知 |k-41++3kk2+1|=4,∴k=-274, 故所求直线方程为:7x+24y+45=0.

●误区警示 易错点 求直线方程时,忽略斜率不存在的情况
已知直线 l 过点 A(1,2),且原点到直线 l 的距离 为 1,求直线 l 的方程.
[错解] 由题意设 l 的方程为 y-2=k(x-1),即 kx-y-k +2=0.因为原点到直线 l 的距离为 1,所以|-kk2++21|=1,解得 k =34.所以所求直线 l 的方程为 y-2=34(x-1),即 3x-4y+5=0.

? [错因分析] 符合题意的直线有两条,错解中 忽略了斜率不存在的情况,从而只得到了一 条[正直解线] .当直线 l 过点 A(1,2)且斜率不存在时,直线 l 的方
程为 x=1,原点到直线 l 的距离为 1,满足题意. 当直线 l 过点 A(1,2)且斜率存在时,由题意设直线 l 的方程
为 y-2=k(x-1),即 kx-y-k+2=0.因为原点到直线 l 的距离 为 1,所以|-kk2++21|=1,解得 k=34.所以所求直线 l 的方程为 y
-2=34(x-1),即 3x-4y+5=0. 综上所述,所求直线 l 的方程为 x=1 或 2x-4y+5=0.

? [总结] 当用待定系数法确定直线的斜率时, 一定要对斜率是否存在进行讨论,否则容易 犯解析不全的错误.

? 直线l1过点A(0,1),l2过点B(5,0),如果l1∥l2, 且l1与l2的距离为5,求l1,l2的方程.
? [解析] (1)若直线l1,l2的斜率存在,设直线 的斜率为k,由点斜式得l1的方程为y=kx+1, 即kx-y+1=0,
? 由点斜式可得l2的方程为y=k(x-5),即kx-y -5k=0,
? 因为直线l1过点A(0,1),

则点 A 到直线 l2 的距离 d= |k-2+1-?-5k1|?2=5, 所以 25k2+10k+1=25k2+25, 所以 k=152, 所以 l1 的方程为 12x-5y+5=0,l2 的方程为 12x-5y-60 =0.

? (2)若l1,l2的斜率不存在, ? 则l1的方程为x=0,l2的方程为x=5,它们之
间的距离为5,同样满足条件.
? 综上所述,满足条件的直线方程组有两组:
? l1:12x-5y+5=0,l2:12x-5y-60=0; ? 或l1:x=0,l2:x=5.

随堂测评

1.原点到直线 x+2y-5=0 的距离为( )

A.1

B. 3

C.2

D. 5

? [答案] D

[解析] d=|0+21×2+02-2 5|= 5.

2.平行直线 l1:3x-y=0 与 l2:3x-y+ 10=0 的距离等

于( )

A.1

B.0

C. 10

D.3

? [答案] A

[解析] d= |302-+?-101|?2=1.

3.已知点 M(1,4)到直线 l:mx+y-1=0 的距离等于 1,

则实数 m 等于( )

A.34

B.-34

C.-43

D.43

? [答案] C

[解析] 由题意得|m+m24+-11|=1,解得 m=-43.

? 4.过点(1,3)且与原点距离为1的直线有( ) ? A.3条 B.2条 ? C.1条 D.0条 ? [答案] B ? [解析] 画图可知符合条件的直线有两条.

? 5.点P(m,1)到直线l:2x+y-1=0的距离d= 1,则实数m的值等于________.

[答案]

5 ±2

[解析]

由题意得|2m2+2+1-121|=1,解得

m=±

5 2.

? 6.求与直线l:5x-12y+6=0平行且到l的距 离为2的直线方程.
? [分析] 设直线方程为5x-12y+m=0(m≠6), 利用平行线间的距离公式列出方程,解得m 的[解值析.] 设所求直线的方程为 5x-12y+m=0(m≠6),
∵两直线的距离为 2,
∴ |562-+m1|22=2.∴m=32 或 m=-20,
故所求直线方程为 5x-12y+32=0 或 5x-12y-20=0.

课后强化作业
(点此链接)


相关文档

《成才之路》2014-2015学年高中数学(人教A版)必修二同步课件3.3.2两点间的距离公式
《成才之路》2014-2015学年高中数学(人教A版)必修二同步课件3.1.2两条直线平行与垂直的判定
《成才之路》2014-2015学年高中数学(人教A版)必修三同步课件2.3.1、2变量之间的相关关系两个变量的线性相
《成才之路》2014-2015学年高中数学(人教A版)必修二同步课件章末总结2第二章点、直线、平面之间的位置关
《成才之路》2014-2015学年高中数学(人教A版)必修三同步课件2.2.1用样本的频率分布估计总体分布
《成才之路》2014-2015学年高中数学(人教A版)必修二同步课件1.2.1、2中心投影与平行投影空间几何体的三视
【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版)必修四课件:1.2.3 同角三角函数的基本关系式( 2014高考)
《成才之路》2014-2015学年高中数学(人教A版)必修三同步课件2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版)必修四课件:1.3.2 第2课时 正切函数的图象与性质( 2014高
【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)课件:1.4 生活中的优化问题举例( 2014高考)
学霸百科
16461182文学网 164611821php网站 164611822jsp网站 164611823小说站 164611824算命网 164611825占卜网 164611826星座网 电脑版 | 学霸百科