55泰州市靖江市2012-2013学年高三(上)期中数学试卷

2012-2013 学年江苏省泰州市靖江市高三(上)期中数学试卷 一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,把答案填在答题卡的相应位置. 1. 分)已知 i 是虚数单位,复数 (5 ,则 z 虚部为 ﹣1 .

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 由复数的运算性质可得 其虚部. 解答: 解:化简可得 = = = = =﹣1﹣i, 即可的

=

=

=

=﹣1﹣i,

故其虚部为:﹣1 故答案为:﹣1 点评: 本题考查复数的化简运算和实虚部的定义,属基础题. 2. 分)若 A={x|(x﹣1) <2x﹣4},则 A∩Z 的元素个数为 0 . (5 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 求出集合 A 中不等式的解集,确定出集合 A,找出 A 与 Z 的公共部分,求出 A 与 Z 的交集,即可确定出交集中的元素个数. 2 2 2 解答: 解:由集合 A 中的不等式(x﹣1) <2x﹣4,变形得:x ﹣4x+4<﹣1,即(x﹣2) <﹣1, 得到此不等式无解,即 A=?, 则 A∩Z=?,即 A∩Z 的元素个数为 0. 故答案为:0 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
2

3. 分)设命题 p:α= (5

,命题 q:sinα=cosα,则 p 是 q 的 充分不必要 条件.

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 根据特殊角三角函数的值,当 p 成立即 α= 之当 q:sinα=cosα 成立时,不一定得出 α=

时,得 sinα=cosα=

,可得 q 成立;反

,由此即得 p 是 q 的充分不必要条件.

1

解答: 解:充分性 当“α= ”成立时,sinα= 且 cosα= ,结论“sinα=cosα”成立,

因此,充分性成立; 必要性 当“sinα=cosα”成立时,即 tanα=1,得 α= 不一定有“α= ”成立,故必要性不成立 +kπ,k∈Z

综上所述,得 p 是 q 的充分不必要条件 故选:充分不必要 点评: 本题给出 p、q 两个条件,求它们之间的充要关系,着重考查了三角函数求值和充分 必要条件的判断等知识,属于基础题.

4. 分)已知 (5

,则 a=



考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 利用换底公式对等式进行化简,便可求出 a 值. 解答: 解: , 可化为 loga2+loga3=2,即 loga6=2, 2 所以 a =6,又 a>0,所以 a= . 故答案为: . 点评: 本题主要考查对数的运算性质及其应用,考查运算能力,熟记相关公式并能灵活应用 是解决该类题目的基础.

5. 分) (5 已知 x∈R, x) sinx 与 cosx 中的较小者, m≤f x) 则 m+n= f ( 为 设 ( ≤n,



考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 计算题. 分析: 先求函数 f(x)的表达式,结合正弦函数及余弦函数的图象可求函数的值域,从而可 求 m+n 的值. 解答: 解:由题意得:f(x)= , 结合正弦、余弦函数图象可知:﹣1≤f(x)≤ ∴m=﹣1,n= , ,

2

则 m+n= 故答案为:

﹣1. ﹣1

点评: 点评:本题主要考查了正弦及余弦函数的图象及由图象求函数的最值,解决问题的关 键是要熟练掌握三角函数的图象.

6. 分)设函数 f (x)= (5

,若 f (a)=a,则实数 a 的值是 ﹣1 .

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 当 a≥0 时,由 =a,解得 a 的值,当 a<0 时,由 结论. 解答: 解:当 a≥0 时,由 当 a<0 时,由

=a,解得 a 的值,综合可得

=a,解得 a=﹣3 (舍去) .

=a,解得 a=﹣1,

故答案为﹣1. 点评: 本题主要考查利用分段函数求函数的值,体现了分类讨论的数学思想,属于基础题. 7. 分)设 a∈R,函数 f (x)=e + (5 则切点的横坐标为 ln2 .
x

是偶函数,若曲线 y=f (x)的一条切线的斜率是 ,

考点: 函数奇偶性的判断;导数的几何意义. 专题: 计算题. 分析: 先由 f(x)为偶函数求出 a 值,然后求出导数 f′(x) ,令 f′(x)= ,解出 x 即为 所求. x 解答: 解:因为 f(x)=e + 整理得(a﹣1) ( 则 f(x)=
x

是偶函数,所以总有 f(﹣x)=f(x) ,即 )=0,所以有 a﹣1=0,即 a=1.

=e +

x



,f′(x)=e ﹣

x

,令 f′(x)=e ﹣

x

= ,整理即为 2e ﹣3e

2x

x

﹣2=0,解得 e =2,所以 x=ln2. 故答案为:ln2. 点评: 本题考查函数的奇偶性及导数的几何意义,若 f(x)为偶函数,则 f(﹣x)=f(x) 恒成立.

3

8. 分)已知 α 为第四象限的角,且 (5

=



考点: 运用诱导公式化简求值;同角三角函数间的基本关系. 专题: 三角函数的求值. 分析: 先利用诱导公式求出 cosα,然后根据 α 所在的象限判断出 sinα 的正负,然后利用同 角三角函数的基本关系,根据 cosα 的值求得 sinα 的值,进而求得 tanα. 解答: 解:∵sin( +α)=cosα= α 为第四象限的角

∴sinα=﹣

=﹣

∴tanα= 故答案为:﹣

=﹣

点评: 本题主要考查了同角三角函数的基本关系以及诱导公式, 注重了对学生基础知识的掌 握.学生做题时注意 α 的范围. 9. 分)已知 =(m,n﹣1) =(1,1) (5 , (m、n 为正数) ,若 ⊥ ,则 + 的最小值是 3+2 .

考点: 基本不等式;平面向量数量积的运算. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用向量垂直的充要条件列出方程得到 m,n 满足的条件;将待求的式子 + 乘以 m+n 后展开;利用基本不等式求出最值. 解答: 解:∵ =(m,n﹣1) =(1,1) ⊥ , , ∴ ? =m+n﹣1=0 ∴m+n=1 又∵m、n 为正数 ∴ + =( + )?(m+n)=3+( +
2 2

)≥3+2

当且仅当 2m =n 时取等号 故答案为:3+2 点评: 本题考查向量共线的充要条件、 考查利用基本不等式求函数的最值需注意满足的条件 是:一正、二定、三相等. 10. 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn=(a+1)n +a,某三角形三边之比为 a2:a3: (5 a4,则该三角形最大角为 120° .
2

4

考点: 余弦定理. 专题: 计算题. 分析: 根据等差数列的性质分别求出 a1,a2,进而表示出等差数列的公差 d,由首项和公差 表示出等差数列的前 n 项和公式,与已知的前 n 项和相等即可求出 a 的值,得到三角 形三边之比,设三角形的最大角为 α,然后由余弦定理即可求出 cosα 的值,由 α 的 范围,利用特殊角的三角函数值即可求出三角形最大角 α 的度数. 解答: 解:令 n=1,得到 a1=S1=2a+1,令 n=2,得到 a1+a2=S2=5a+4, 所以 a2=3a+3,故公差 d=(3a+3)﹣(2a+1)=a+2, 所以 Sn=n(2a+1)+ (a+2)= n +(2a+1﹣
2

)n=(a+1)n +a,

2

得到 a=0,所以等差数列的首项 a1=1,公差 d=2, 所以三角形三边之比为 3:5:7,设最大的角为 α,三边分别为 3k,5k,7k, 所以 cosα= =﹣ ,又 α∈(0,180°) ,

则该三角形最大角 α 为 120°. 故答案为:120° 点评: 此题考查学生掌握等差数列的性质, 灵活运用余弦定理及特殊角的三角函数值化简求 值,是一道中档题.
2

11. 分)已知函数 f (x)=ax +bx+ 与直线 y=x 相切于点 A(1,1) (5 ,若对任意 x∈[1, 9],不等式 f (x﹣t)≤x 恒成立,则所有满足条件的实数 t 的值为 2 . 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;二次函数的性质. 专题: 导数的概念及应用. 分析: f(x)进行求导,根据它与直线 y=x 相切于点 A(1,1) 对 ,可得 f′(1)=0,可得 把点 A 代入得到方程,求出 a,b,求出 f(x)的解析式,根据题意对任意 x∈[1,9], 不等式 f (x﹣t)≤x 恒成立,根据根与系数的关系进行求解; 解答: 2 解:∵已知函数 f (x)=ax +bx+ 与直线 y=x 相切于点 A(1,1) , f′(x)=2ax+b, ∴f′(1)=1,可得 2a+b=1①,又 f(x)过点 A(1,1)可得 a+b+ =1②, 联立方程①②可得 a= ,b= , f(x)= x + x+ , ∵对任意 x∈[1,9],不等式 f (x﹣t)≤x 恒成立, 可得 f(x﹣t)= (x﹣t+1) ≤x, 化简可得,x ﹣2x(t﹣1)+(t﹣1) ﹣4x≤0,在[1,9]上恒成立, 2 2 令 g(x)=x ﹣2x(t+1)+(t﹣1) ≤0,在[1,9]上恒成立,
2 2 2 2

5





解①可得 0≤t≤4, 解②可得 4≤t≤14, 解③可得 t≥4 综上可得:t=4, 故答案为 2 点评: 考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率, 会利用导数研究函数的单调区 间以及根据函数的增减性得到函数的最值.掌握不等式恒成立时所取的条件; 12. 分) (5 已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足:a1+b1=3,a2+b2=7,a3+b3=15,a4+b4=35, 则 a5+b5= 91 . 考点: 等比数列的通项公式;等差数列的通项公式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 分别利用等差数列的首 项 a1,公差 d,等比数列的首项 b1 及公比 q 表示已知条件, 然后解方程可求 a1,b1,d,q,然后结合等差与等比的通项即可求解 解答: 解:∵a1+b1=3,① a2+b2=a1+d+b1q=7,② a3+b3= a4+b4= =15,③ =35④

②﹣①可得,4﹣d=b1(q﹣1) ③﹣②可得,8﹣d=b1q(q﹣1) ④﹣③可得,20﹣d= ∴ ∴ 解方程可求 d=2,q=3,b1=1,a1=2 ∴a5+b5=10+81=91 故答案为:91 点评: 本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的应用, 解决本题的关键是求解方程 的技巧 ,

13. 分) (5 (2007?陕西)如图,平面内有三个向量 120°, 与 的夹角为 30°, 且| |=| |=1, | |=

、 , 若

、 =λ

,其中与 +μ



的夹角为

(λ, μ∈R) 则 λ+μ ,

的值为 6 .
6

考点: 向量的线性运算性质及几何意义. 专题: 压轴题. 分析: 过 C 作 与 的平行线与它们的延长线相交,可得平行四边形,然后将向量 量 与向量 表示出即可. 与 的平行线与它们的延长线相交,可得平行四边形,

用向

解答: 解:过 C 作

由∠BOC=90°,∠AOC=30°, 由 =| |=1,| |= 得平行四边形的边长为 2 和 4,

λ+μ=2+4=6. 故答案为 6. 点评: 本题主要考查向量的线性运算和几何意义.这里要求学生一定要会画图. 14. 分)定义在 R 上的函数 y=f(x)是减函数,y=f(x﹣1)的图象关于(1,0)成中心 (5 对称,若 s,t 满足不等式 f(s ﹣2s)≤﹣f(2t﹣t ) ,则当 ,1] .
2 2

的取值范围是 [﹣

考点: 奇偶性与单调性的综合;函数的图象与图象变化. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 首先由由 f(x﹣1)的图象关于(1,0)中心对称知 f(x)的图象关于(0,0)中心 对称,根据奇函数定义与减函数性质得出 s 与 t 的关系式,然后利用线性规划的知识 即可求得结果. 解答: 解:把函数 y=f(x)向右平移 1 个单位可得函数 y=f(x﹣1)的图象 ∵函数 y=f(x﹣1)得图象关于(1,0)成中心对称 ∴函数 y=f(x)的图象关于(0,0)成中心对称,即函数 y=f(x)为奇函数 ∵f(s ﹣2s)≤﹣f(2t﹣t )=f(t ﹣2t)且函数 y=f(x)在 R 上单调递减 2 2 ∴S ﹣2S≥t ﹣2t 在 S∈[1,4]上恒成立 即(t﹣s) (s+t﹣2)≤0 ∵1≤s≤4 ∴﹣2≤2﹣s≤1,即 2﹣s≤s ∴2﹣s≤t≤s 作出不等式所表示的平面区域,如图的阴影部分的△ ABC,C(4,﹣2) 而 表示在可行域内任取一点与原点(0,0)的连线的斜率,结合图象可知 OB 直线
2 2 2

7

的斜率是最大的,直线 OC 的斜率最小 ∵KOB=1,KOC= 故 ∈[﹣ ,1] 故答案为:[﹣ ,1]

点评: 本题综合考查函数的奇偶性、单调性知识,同时考查由最大值、最小值求取值范围的 策略,以及运算能力,属中档题 二.解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (14 分) (2012?宁德模拟)已知函数 f(x)=2 +k?2 ,k∈R. (1)若函数 f(x)为奇函数,求实数 k 的值; (2)若对任意的 x∈[0,+∞)都有 f(x)>2
﹣x

x

﹣x

成立,求实数 k 的取值范围.

考点: 函数恒成立问题;函数奇偶性的性质. 专题: 综合题. ﹣x x 分析: (1)利用函数 f(x)=2 +k?2 为奇函数,建立等式,即可求实数 k 的值; (2)对任意的 x∈[0,+∞)都有 f(x)>2 成立,即 2 +k?2 >2 2x <2 对任意的 x∈[0,+∞)成立,从而可求实数 k 的取值范围. ﹣ 解答: (1)∵函数 f(x)=2x+k?2 x 为奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x) 解: ﹣x ﹣x x x ∴2 +k?2 =﹣(2 +k?2 ) 2x ∴(1+k)+(k+1)2 =0 恒成立 ∴k=﹣1 (2)∵对任意的 x∈[0,+∞)都有 f(x)>2 ﹣x ﹣x x ∴2 +k?2 >2 成立 2x ∴1﹣k<2 对任意的 x∈[0,+∞)成立 2x ∵y=2 在[0,+∞)上单调递增 ∴函数的最小值为 1 ∴1﹣k<1
8
﹣x ﹣x

x

﹣x

﹣x

成立,即 1﹣k

成立,

∴k>0 点评: 本题考查函数的奇偶性,考查恒成立问题,解题的关键是利用奇偶性的定义,利用分 离参数法求解恒成立问题.
2

16. (14 分) (2013?成都一模)已知向量 =( (1)若 f(x)=1,求 cos(x+ )的值;

sin ,1) =(cos ,cos ,

) ,f(x)= ? .

(2)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c 且满足 acosC+ c=b,求函数 f(B) 的取值范围. 考点: 余弦定理;平面向量数量积的运算;三角函数的化简求值. 专题: 计算题. 分析: (1)由两向量的坐标,利用平面向量的数量积运算法则列出 f(x)的解析式,再利 用二倍角的正弦、余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函 数,由 f(x)=1,得出 sin( + )的值,最后将所求的式子中的角提取 2,利用二 )的值代入即可求出值;

倍角的余弦函数公式化简后,将 sin( +

(2)利用余弦定理表示出 cosC,代入已知的等式,整理后代入利用余弦定理表示出 的 cosA 中,得出 cosA 的值,由 A 为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值求出 A 的度数,进而确定出 B 的范围,得出 + 的范围,利用正弦函数的图象与性质得出

此时正弦函数的值域,即为 f(B)的范围. 解答: 2 解: (1)∵ =( sin ,1) =(cos ,cos ) , , ∴f(x)= ? = 又 f(x)=1, ∴sin( + ∴cos(x+ )= , 分) (4 )=cos2( + )=1﹣2sin ( +
2

sin cos +cos

2

=

sin + cos + =sin( +

)+ ,

)= ; 分) (6

(2)∵cosC=

,acosC+ c=b,

∴a?

+ c=b,即 b +c ﹣a =bc,

2

2

2

∴cosA=

= ,

9

又∵A∈(0,π) ,∴A= 又∵0<B< ∴ < + < , ,

, (10 分)

∴f(B)∈(1, )(12 分) . 点评: 此题考查了余弦定理,平面向量的数量积运算,二倍角的正弦、余弦函数公式,两角 和与差的正弦函数公式,以及正弦函数的定义域与值域,熟练掌握定理及公式是解本 题的关键.

17. (15 分)已知数列{an}中,a1=1,前 n 项和 (1)求 a2,a3; (2)求{an}的通项公式. 考点: 数列递推式. 专题: 计算题. 分析: (1)直接利用已知,求出 a2,a3; (2)利用已知关系式,推出数列相邻两项的关系式,利用累积法,求出数列的通项 公式即可. 解答: 解: (1)数列{an}中,a1=1,前 n 项和 , 可知 ,得 3(a1+a2)=4a2, ,

解得 a2=3a1=3,由 得 3(a1+a2+a3)=5a3, 解得 a3= (2)由题意知 a1=1,

=6.

当 n>1 时,有 an=sn﹣sn﹣1= 整理得 于是 a1=1, a2= a1, a3= a2,…, an﹣1= an﹣2, ,



10

, 将以上 n 个式子两端分别相乘, 整理得: 综上{an}的通项公式为 点评: 本题考查数列的项的求法,累积法的应用,考查计算能力. .

18. (15 分)两县城 A 和 B 相距 20km,现计划在两城外以 AB 为直径的半圆弧

上选择一

点 C 建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城 A 和城 B 的 总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和,记 C 点到城 A 的距离为 x km,建在 C 处的垃圾处 理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明:垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地 点到城 A 的距离的平方成反比,比例系数为 4;对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离 的平方成反比,比例系数为 k,当垃圾处理厂建在 的中点时,对城 A 和城 B 的总影响度

为 0.065. (1)按下列要求建立函数关系式: ①设∠CAB=θ(rad) ,将 θ 表示成 y 的函数;并写出函数的定义域. ②设 AC=x(km) ,将 x 表示成 y 的函数;并写出函数的定义域. (2)请你选用(1)中的一个函数关系确定垃圾处理厂的位置,使建在此处的垃圾处理厂对 城 A 和城 B 的总影响度最小?

考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)①设∠CAB=θ(rad) ,AC=20cosθ,BC=20sinθ,结合当垃圾处理厂建在

的中

点时,对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065,则可得函数解析式,并可写出函数的定义 域; ②先利用 AC⊥BC,求出,再利用圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距 离的平方成反比,比例系数为 4;对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成 反比,比例系数为 k,得到 y 和 x 之间的函数关系,最后利用垃圾处理厂建在的中点 时,对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065 求出 k 即可求出结果. (2)先求出导函数以及导数为 0 的根,进而求出其单调区间,找到函数的最小值即 可. 解答: (1) 解: ①在直角△ ABC 中, AC=20cosθ, BC=20sinθ, y= 则

11

(0<θ< 当 x=10

) 时,y=0.065,所以 k=9 (0<θ<
2

所以 y 表示成 x 的函数为 y=
2

) ;

②由题意知 AC⊥BC,BC =400﹣x ,y=

(0<x<20)

(2)选②,则 y′=
4 2 2



令 y'=0 得 18x =8(400﹣x ) , 2 所以 x =160,即 x=4 , 4 2 2 当 0<x<4 时,18x <8(400﹣x ) ,即 y'<0,以函数为单调减函数, 4 2 2 当4 <x<20 时,18x >8(400﹣x ) ,即 y'>0,所以函数为单调增函数. 所以当 x=4 时,即当 C 点到城 A 的距离为 4 时,函数 y= (0

<x<20)有最小值. 点评: 本题主要考查函数在实际生活中的应用问题, 涉及到函数解析式的求法以及利用导数 研究函数的最值问题,属于中档题目 19. (16 分)已知函数 f(x)=|x|(x﹣a) 为实数. ,a (1)当 a=1 时,判断函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)当 a≤0 时,指出函数 f(x)的单调区间(不要过程) ; (3)是否存在实数 a(a<0) ,使得 f(x)在闭区间 求出 a 的值;若不存在,请说明理由. 考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明;函数的最值及其几何意义. 专题: 综合题. 分析: (1)利用特殊值代入法即可证明此函数既不是奇函数,又不是偶函数; (2)将函数 转化为分段函数,利用二次函数的图象和性质即可得此函数的单调区间; (3)先证明 函数 f(x)在闭区间 上取最大值为 2 时,x 必在区间[﹣1,0]上,再利用 上的最大值为 2.若存在,

(2)中的结论,通过讨论求函数在[﹣1,0]上的最大值,列方程即可解得 a 的值 解答: (1)a=1 时,f(x)=|x|(x﹣1) 解: , ∵f(1)=0,f(﹣1)=﹣2, ∴f(1)≠﹣f(﹣1) ,f(1)≠f(﹣1) , ∴f(x)既不是奇函数,又不是偶函数. (2)a=0 时,f(x)=|x|x,单调增区间为(﹣∞,+∞) a<0 时,f(x)= ,

12

单调增区间为(﹣∞, )(0,+∞) , ,单调减区间为( ,0) (3)∵a<0,∴f(﹣1)=﹣1﹣a≤2 ∴a≥﹣3 ∴f( )= ( ﹣a)≤ <2 由(2)知,f(x)在(0,+∞)上递增 ∴f(x)必在区间[﹣1,0]上取最大值 2 当 <﹣1,即 a<﹣2 时, 则 f(﹣1)=2,a=﹣3,成立 当 ≥﹣1,即 0>a≥﹣2 时, 则 f( )=2,则 a=±2 (舍)

综上,a=﹣3 点评: 本题综合考查了函数奇偶性的定义及其判断方法,分段函数的函数图象和性质,利用 单调性讨论函数的最值的方法,分类讨论的思想方法 20. (16 分) (2012?江苏三模)数列{an}的前 n 项和为 Sn,存在常数 A,B,C,使得 对任意正整数 n 都成立. (1)若数列{an}为等差数列,求证:3A﹣B+C=0; (2)若 ,设 bn=an+n,数列{nbn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn; ,求不超过 P 的最大整

(3)若 C=0,{an}是首项为 1 的等差数列,设 数的值.

考 数列递推式;数列的求和. 点: 专 等差数列与等比数列. 题: 分 (1)先根据条件都转化为首项和公差的形式,再根据等差数列的前 n 项和 Sn 所满足的 析: 条件即可得到结论. (2)先根据前 n 项和 Sn 以及通项之间的关系求出{an}的通项,进而得到数列{nbn}的通 项,再结合错位相减法即可求出 Tn; (3)先根据条件求出{an}的通项;进而根据裂项求和法求出 P 的表达式,即可得到结 论. 解 解: (1)因为{an}为等差数列,设公差为 d,由 , 答: 得 ,

13



对任意正整数 n 都成立.

所以

所以 3A﹣B+C=0.

…(4 分)

(2)因为 当 n≥2 时,

,所以

, ,

所以 2an﹣an﹣1=﹣n﹣1,即 2(an+n)=an﹣1+n﹣1, 所以 ,而 , . …(7 分)

所以数列{bn}是首项为 ,公比为 的等比数列,所以 于是 .所以 ,② 由①﹣②,得 ①,

. 所以 .…(10 分)

(3)因为{an}是首项为 1 的等差数列,由(1)知,公差 d=1,所以 an=n. 而 =

,…(14 分) 所以

, 所以,不超过 P 的最大整数为 2012.…(16 分) 点 本题主要考察由数列的递推式求数列的和,其中涉及到数列求和的错位相减法以及裂项 评: 求和法,是对数列知识的综合考察,主要考察计算能力.

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