新人教A版高中数学(必修5)2.1《数列的概念与简单表示法》(第2课时)word教案

课题: §2.1 数列的概念与简单表示法
授课类型:新授课 (第2课时) ●三维目标 知识与技能:了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同;会根据数列的递推公
式写出数列的前几项;理解数列的前 n 项和与 an 的关系
过程与方法:经历数列知识的感受及理解运用的过程。 情感态度与价值观:通过本节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的兴趣。 ●教学重点 根据数列的递推公式写出数列的前几项 ●教学难点 理解递推公式与通项公式的关系 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [复习引入] 数列及有关定义 Ⅱ.讲授新课 数列的表示方法 1、 通项公式法
如果数列?an ?的第 n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式
就叫做这个数列的通项公式。

如数列

的通项公式为



的通项公式为



的通项公式为



2、 图象法 启发学生仿照函数图象 的画法画数列的图形.具体方法是以项数 为横坐标,相应的

项 为纵坐标,即以

为坐标在平面直角坐标 系中做出点(以前面提到的数列

为例,做出一个数列的图象),所得的数列的图形是一群孤立的点,因为横坐
标为正整数,所以这些点都在 轴的右侧,而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以 直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势. 3、 递推公式法 知识都来源于实践,最后还要应用于生活 用其来解决一些实际问题.
新疆 王新敞
奎屯

观察钢管堆放示意图,寻其规律,建立数学模型.

模型一:自上而下:



1

层钢管数为

4;即

:1

?

4=1+3 [

第 2 层钢管数为 5;即:2 ? 5=2+3

第 3 层钢管数为 6;即:3 ? 6=3+3

第 4 层钢管数为 7;即:4 ? 7=4+3

第 5 层钢管数为 8;即:5 ? 8=5+3

第 6 层钢管数为 9;即:6 ? 9=6+3

第 7 层钢管数为 10;即:7 ? 10=7+3

若用 an 表示钢管数,n 表示层数,则可得出每一层的钢管数为一数列,且 an ? n ? 3(1

≤n≤7) 运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型,运用这一关系,会 很快捷地求出每一层的钢管数 这会给我们的统计与计算带来很多方便。
新疆 王新敞
奎屯
让同学们继 续看此图片,是否还有其他规 律可循?(启发学生寻找规律) 模型二:上下层之间的关系 自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多 1。

即 a1 ? 4 ; a2 ? 5 ? 4 ?1 ? a1 ?1 ; a3 ? 6 ? 5 ? 1 ? a2 ? 1

依此类推: an ? an?1 ? 1(2≤n≤7)
对于上述所求关系,若知其第 1 项,即可求出其他项,看来,这一关系也较为重 要。 定义:
递推公式:如果已知数列 ?an ?的第 1 项(或前几项),且任一项 an 与它的前一项 an?1(或前
n 项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 递推公式也是给出数列的一种方法。 如下数字排列的一个数列: 3,5,8,13,21,34,55,89
递推公式为: a1 ? 3, a2 ? 5, an ? an?1 ? an?2 (3 ? n ? 8)
数列可看作特殊的函数,其表示也应与函数的表示法有联系,首先请学生回忆函数的表示法:

列表法,图象法,解析式法.相对于列表法表示一个函数,数列有这样的表示法:用 表

示第一项,用 4、列表法

表示第一项,……,用

表示第 项,依次写出成为

.简记为 .

[范例讲解]

例3

?

设数列

?a

n

?

满足

? ???an

a1 ? 1

?1?

1

写出这个数列的前五项。
(n ? 1).

an?1

解:分析:题中已给出?an ? 的第

1

项即 a1

? 1 ,递推公式: an

?1?

1 an?1

解:据题意可知: a1

? 1, a2

?1? 1 a1

? 2, a3

?1? 1 a2

?

2 3



a4

?1? 1 a3

?

5 3

,

a5

?8 5

[补充例题]

例 4 已知 a1 ? 2 , an?1 ? 2an 写出前 5 项,并猜想 an .

法一: a1 ? 2 a2 ? 2 ? 2 ? 22 a3 ? 2 ? 22 ? 23 ,观察可得 an ? 2n

法二:由 an?1 ? 2an

∴ an ? 2an?1

即 an ? 2 a n ?1

∴ an ? an?1 ? an?2 ? ??? a2 ? 2n?1

an?1 an?2 an?3

a1

∴ an ? a1 ? 2n?1 ? 2n
Ⅲ.课堂练习 课本 P36 练习 2 [补充练习]
1.根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前五项,并归纳出通项公式
(1) a1 =0, an?1 = an +(2n-1) (n∈N);

(2)

a1 =1,

a n?1



2a n an ?

2

(n∈N);

(3) a1 =3, an?1 =3 an -2 (n∈N).

解:(1) a1 =0, a2 =1, a3 =4, a4 =9, a5 =16, ∴ an =(n-1) 2 ;

(2)

a1

=1, a2



2 3

, a3



1 2

?

2 4

,

a4



2 5

,

a5



1 3

?

2 6

,



a

n



n

2 ?

1

;

(3) a1 =3=1+2? 30 , a2 =7=1+2? 31 , a3 =19=1+2? 32 ,

a4 =55=1+2 ? 33 , a5 =16 3=1+2? 34 , ∴ an =1+2·3 n?1 ;
Ⅳ.课时小结 本节课学习了以下内容:
1.递推公式及其用法; 2.通项公式反映的是项与项数之间的关系,而递推公式反映的是相邻两项(或 n
项)之间的关系. Ⅴ.课后作业

●板书设计 ●授后记
[]

5、关于坚持的名言,

你既然期望辉煌伟大的一生,那么就应该从今天起,以毫不动摇的决心和坚定不移的信念,凭自己的智慧和毅力,去创造你和人类的快乐。——佚名 6、最可怕的敌人,就是没有坚强的信念。——罗曼·罗兰 7、只要持续地努力,不懈地奋斗,就没有征服不了的东西。——塞内加 8、无论是美女的歌声,还是鬓狗的狂吠,无论是鳄鱼的眼泪,还是恶狼的嚎叫,都不会使我动摇。——恰普曼 9、书不记,熟读可记;义不精,细思可精;惟有志不立,直是无着力处。——朱熹 10、既然我已经踏上这条道路,那么,任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 11、坚强的信念能赢得强者的心,并使他们变得更坚强。——白哲特 12、三军可夺帅也,匹夫不可夺志也。——佚名 13、立志不坚,终不济事。——朱熹 14、富贵不能淫,贫贱不能移,威武不能屈。——孟子 15、关于坚持的名言,意志目标不在自然中存在,而在生命中蕴藏。——武者小路实笃 关于坚持不懈的 50 条励志名人名言 16、意志若是屈从,不论程度如何,它都帮助了暴力。——但丁 17、只要有坚强的意志力,就自然而然地会有能耐、机灵和知识。——陀思妥耶夫斯基 18、功崇惟志,业广惟勤。——佚名 19、能够岿然不动,坚持正见,度过难关的人是不多的。——雨果 20、立志用功如种树然,方其根芽,犹未有干;及其有干,尚未有枝;枝而后叶,叶而后花。——王守仁 21、谁有历经千辛万苦的意志,谁就能达到任何目的。——米南德 22、不作什么决定的意志不是现实的意志;无性格的人从来不做出决定。——黑格尔 23、执着追求并从中得到最大快乐的人,才是成功者。——梭罗 24、有了坚定的意志,就等于给双脚添了一对翅膀。——乔·贝利 25、有百折不挠的信念的所支持的人的意志,比那些似乎是无敌的物质力量有更强大的威力。——爱因斯坦


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