1.1变化率与导数 1.1.3导数的几何意义

1.1.3

导数的几何意义
整体设计

教材分析 本节课是在学习了变化率、 导数概念等知识的基础上, 结合函数图象来研究导数的几何 意义,是导数概念的延伸,是导数知识的重要内容.探究和理解导数的几何意义,就是从几 何的角度分析问题, 利用割线和切线的辩证关系, 通过逐步逼近的方法和“以直代曲”思想 的运用,在给切线以新的定义的同时,产生了导数的几何意义.本节的学习为研究变量和函 数提供了重要的方法,为今后学习函数单调性创造了条件. 课时分配 1 课时. 教学目标 1.知识与技能目标 通过实验探究,理解导数的几何意义,体会导数在刻画函数性质中的作用. 2.过程与方法目标 培养学生分析、抽象、概括等思维能力;通过“以直代曲”思想的具体运用,使学生达 到思维方式的迁移,培养学生科学的思维习惯. 3.情感、态度与价值观 渗透逼近和“以直代曲”思想,能激发学生的学习兴趣,培养学生不断发现、探索新知 识的精神,引导学生从有限中认识无限,体会量变和质变的辩证关系,感受数学思想方法的 魅力. 重点难点 重点:导数的几何意义及“数形结合,以直代曲”的思想方法. 难点:发现、理解及应用导数的几何意义. 教学过程 引入新课 提出问题:平面几何中,我们怎样判断一条直线是否是圆的切线? 学情预测:学生一定回答:与圆只有一个公共点的直线就叫做圆的切线. 提出问题: 能否将它推广为一般曲线的切线定义?直线与曲线只有一个公共点就是相切 吗?

学情预测: 学生可能无从入手, 教师可通过帮助学生回忆以前学过的曲线与切线来引导. 活动设计:教师引导学生,举例如下:

活动成果:师生共同得出如下结论:有些曲线虽然和直线只有一个交点,但不是相切而
北京天梯志鸿教育科技有限责任公司

是相交,有些曲线在某点处和直线相切,但整体上却和直线有多个交点.所以,对于一般曲 线,我们必须重新寻求曲线切线的定义. 提出问题:曲线在一点处的切线应该怎样定义呢? 活动设计:教师演示多媒体

结论:当点 B 沿曲线趋近于点 A 时,割线 AB 绕点 A 转动,它的最终位置为直线 AD, 这条直线 AD 叫做此曲线在点 A 处的切线. 设计意图 初中平面几何中有圆的切线的定义:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切.这 时,直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点.但是,圆是一种特殊的曲线,这种定义并 不适用于一般曲线的切线,如上面的例子.这样,学生对于切线的认识产生了疑问,也就激 发了学生的探索欲望. 探究新知 提出问题:导数的概念及其本质是什么?写出它的表达式. 活动设计:一位学生板书,其他学生在练习本上写出,教师订正如下: 导数 f′(x0)的本质是函数 f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率, 即 f′(x0)= lim
?x ? 0

f?x0+Δx?-f?x0? . Δx

教师:导数的本质是从代数(数)的角度来诠释,若从图形(形)的角度来探究导数的几何 意义,应从哪儿入手呢?试回忆求导数 f′(x0)的基本步骤. 学生:求导数 f′(x0)的基本步骤分三步: 第一步:求 Δy; Δy 第二步:求平均变化率 ; Δx f?x0+Δx?-f?x0? 第三步: 当 Δx 趋近于 0 时, 平均变化率 无限趋近于的常数就是 f′(x0). Δx 教师:若从“形”的角度探索导数的几何意义,是否也可以分下面三个步骤? 第一步:Δy 的几何意义是当 x0+Δx 与 x0 所对应的函数值的差量,即纵坐标之差; f?x0+Δx?-f?x0? 第二步:平均变化率 的几何意义是割线 AB 的斜率.其中 A(x0,f(x0)), Δx B(x0+Δx,f(x0+Δx)); 第三步:Δx→0 时,割线 AB 有什么变化?Δx→0,B(x0+Δx,f(x0+Δx))→A(x0,f(x0)), 当 Δx→0 时,A,B 之间的差距越来越小. 教师:结合前面的多媒体演示,你有什么发现? f?x0+Δx?-f?x0? 学生: 既然平均变化率 的几何意义是割线 AB 的斜率, 那么当 Δx→0 时, Δx 割线 AB 的斜率逐渐变为曲线 f(x)上过 A 点的切线的斜率. 教师:当 Δx→0 时,割线 AB 有一个无限趋近的确定位置,这个确定位置上的直线叫做
北京天梯志鸿教育科技有限责任公司

曲线在 x=x0 处的切线. 活动成果:师生共同得出如下结论: 当 Δx→0 时,割线 AB→切线 AD,则割线 AB 的斜率→切线 AD 的斜率.即 f′(x0)= lim
?x ? 0

f?x0+Δx?-f?x0? =切线 AD 的斜率, Δx

所以,函数 f(x)在 x=x0 处的导数 f′(x0)的几何意义就是函数 f(x)的图象在 x=x0 处的 切线 AD 的斜率. 设计意图 通过复习回顾、 分析讨论、 动手实践, 使学生经历探究“导数的几何意义”的建构过程, 从而准确理解“导数的几何意义”,掌握“数形结合,类比探讨”的数学思想方法. 理解新知 提出问题:已知 f(x)=x2,求曲线 y=f(x)在 x=2 处的切线的斜率. 活动设计:学生先独立思考,再自由发言,老师点评,然后要求学生在练习本上写出过 程. 活动成果: 思路分析: 为求得过点(2,4)的切线的斜率, 可从经过点(2,4)的任意一条直线(割线)入手. ?2+Δx?2-4 解:设 P(2,4),Q(2+Δx,(2+Δx)2),则割线 PQ 的斜率 kPQ= =4+Δx. Δx 当 Δx 无限趋近于 0 时,kPQ 无限趋近于常数 4,即 f′(2)= lim (4+Δx)=4.
?x ? 0

从而曲线 y=f(x)在点 P(2,4)处的切线斜率为 4. 结合具体函数,理解导数的几何意义,会求过曲线上一点的切线的斜率.设计意图 运用新知 例 1 求曲线 y=f(x)=x2+1 在点 P(1,2)处的切线方程. 思路分析:求切线方程,在知道切点的情况下,求出过点 P 的切线斜率即可. 解:k= lim
?x ? 0

f?1+Δx?-f?1? ?1+Δx?2+1-12-1 = lim = lim (2+Δx)=2. Δx Δx ?x ? 0 ?x ? 0

因此,所求切线方程为 y-2=2(x-1),即 y=2x. 点评:利用导数求切线方程,是导数几何意义的重要应用.求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤: ①求出 P 点的坐标; ②求出函数在点 x0 处的变化率 f′(x0)= lim f(x0))的切线的斜率; ③利用点斜式求出切线方程. 1 8 例 2 已知曲线 y= x3 上的一点 P(2, ),求:(1)点 P 处切线的斜率;(2)点 P 处的切线 3 3 方程. 思路分析:本题是例题的巩固和延伸,基本方法一致,但在解析式的化简上有难度. 1 [?2+Δx?3-23] 3 1 解:(1)k= lim = lim (12+6Δx+Δx2)=4. Δx 3 ?x ?0 ?x ? 0 8 (2)因此,所求切线方程为 y- =4(x-2),即 12x-3y-16=0. 3
?x ? 0

f?x0+Δx?-f?x0? =k,得到曲线在点(x0, Δx

北京天梯志鸿教育科技有限责任公司

点评:利用导数的几何意义求斜率、求切线方程的基本方法和步骤比较固定,但因函数 的不同,运算难度也不同,待学习完导数公式后,此类问题运算难度将大幅度降低. 例 3 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h(x)=-4.9x2+6.5x+10,根据图 象,请描述、比较曲线 h(t)在 t0、t1、t2 附近的变化情况.

思路分析: 根据导数的几何意义, 曲线在某点处的瞬时变化率, 即函数在该点处的导数, 也是通过该点的曲线的切线的斜率值. 解:我们用曲线 h(t)在 t0、t1、t2 处的切线,刻画曲线 h(t)在上述三个时刻附近的变化情 况. (1)当 t=t0 时,曲线 h(t)在 t0 处的切线 l0 平行于 x 轴,所以,在 t=t0 附近曲线比较平坦, 几乎没有升降. (2)当 t=t1 时,曲线 h(t)在 t1 处的切线 l1 的斜率 h′(t1)<0,所以,在 t=t1 附近曲线下降, 即函数 h(x)=-4.9x2+6.5x+10 在 t=t1 附近单调递减. (3)当 t=t2 时,曲线 h(t)在 t2 处的切线 l2 的斜率 h′(t2)<0,所以,在 t=t2 附近曲线下降, 即函数 h(x)=-4.9x2+6.5x+10 在 t=t2 附近单调递减. 从图中可以看出,直线 l1 的倾斜程度小于直线 l2 的倾斜程度,这说明曲线在 t1 附近比 在 t2 附近下降的缓慢. 点评:通过对曲线 h(t)在 t0、t1、t2 附近的变化情况的分析,图象在 t0 到 t2 的区间内一直 是单调递减,只是下降的缓慢程度有所不同.我们也能得出如下结论: 从求函数 f(x)在 x=x0 处导数的过程可以看到,当 x=x0 时,f′(x0)是一个确定的数.这 样, 当 x 变化时, f′(x)便是 x 的一个函数, 我们称它为 f(x)的导函数(简称导数), 记作: f′(x) 或 y′,即 f′(x)=y′= lim
?x ? 0

f?x+Δx?-f?x? . Δx

通过本例,学生学习了导函数的概念,明确了函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)与导函 数 f′(x)之间的区别与联系:函数在一点 x0 处的导数 f′(x0),就是在该点的函数值的改变 量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数;函数的导函数 f′(x),是指函数 f(x)在定 义域的某一区间内任意点处的瞬时变化率,是随 x 的变化而变化的,是变数.设计意图 巩固练习 1.曲线 y=x2 在 x=0 处的( ) A.切线斜率为 1 B.切线方程为 y=2x C.没有切线 D.切线方程为 y=0 2 2.已知曲线 y=2x 上的一点 A(2,8),则点 A 处的切线斜率为( ) A.4 B.16 C.8 D.2 3.曲线 y=x3+x-2 在 P 点处的切线平行于直线 y=4x-1,则此切线方程为( ) A.y=4x B.y=4x-4 C.y=4x+8 D.y=4x 或 y=4x-4
北京天梯志鸿教育科技有限责任公司

4.设 f(x)为可导函数,且满足条件 lim 处的切线的斜率为( A.2 1 C. 2 答案:1.D 变练演编 ) B.-1 D.-2 2.C 3.D 4.D

?x ? 0

f?1?-f?1-x? =-1,则曲线 y=f(x)在点(1,1) 2x

1 变式 1.已知曲线 y= x3 上的一点 Q,以 Q 为切点的切线斜率为 9,求点 Q 的坐标. 3 1 变式 2.已知曲线 y= x3,求与直线 x+4y+8=0 垂直,并与该曲线相切的直线方程. 3 1 1 变式 3.已知曲线 y= x3,求过 R(1, )的切线方程. 3 3 活动设计:学生先独立思考,独立完成,再进行交流、互相质疑. 学情预测:对于变式 3,大部分学生可能只想到一种情况. 活动成果:变式 1.(3,9)或(-3,-9). 变式 2.12x-3y-16=0 或 12x-3y+16=0. 2 变式 3.y=x- 或 3x-12y+1=0. 3 设计意图 从多个方面设计利用曲线上一点的横坐标, 求以该点为切点的切线斜率问题. 对于“过 这一点”和“以该点为切点”的说法要区别开. 达标检测 1.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是( ) A.在点 x=x0 处的函数值 B.在点(x0,f(x0))处的切线与 x 轴所夹锐角的正切值 C.曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率 D.点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率 2.已知曲线 y=x2-1 上的两点 A(2,3),B(2+Δx,3+Δy),当 Δx=1 时,割线 AB 的斜 率是__________,当 Δx=0.1 时,割线 AB 的斜率是__________,曲线在点 A 处的切线方程 是__________. 3.如果函数 f(x)在 x=x0 处的切线的倾斜角是钝角,那么函数 f(x)在 x=x0 附近的变化 情况是__________. 4.在曲线 y=x2 上过哪一点的切线,(1)平行于直线 y=4x-5; (2)垂直于直线 2x-6y+5=0;(3)与 x 轴成 135° 的倾斜角; (4)过点 R(1,-3)与已知曲线相切. 答案:1.C 2.1 1 y=4x-5 3.逐渐下降 3 9 1 1 4.(1)(2,4);(2)(- , );(3)(- , );(4)2x+y+1=0,6x-y-9=0. 2 4 2 4 课堂小结 本节课主要围绕着“利用函数图象直观理解导数的几何意义”和“利用导数的几何意 义解释实际问题”两个教学重心展开.先回忆导数的实际意义、数值意义,由数到形,自然 引出从图形的角度研究导数的几何意义; 然后, 类比“平均变化率——瞬时变化率”的研究
北京天梯志鸿教育科技有限责任公司

思路,运用逼近思想定义了曲线上某点的切线,再引导学生从数形结合的角度思考,获得导 数的几何意义——“导数是曲线上某点处切线的斜率”. 布置作业 课本习题 1.1A6,B3,补充练习 3、5、6. 补充练习 1.一木块沿某一平面自由下滑,测得下滑的水平距离 s 与时间 t 之间的函数关系为 s 1 = t2,则 t=2 秒时,此木块在水平方向上的瞬时速度为( 8 A.2 B.1 1 C. 2 ) 1 D. 4 )

1 3 2.已知曲线 y= x2-2 上一点 P(1,- ),则过点 P 的切线的倾斜角为( 2 2 A.30° C.135° B.45° D.165°

4 3.已知曲线 y= 在点 P(1,4)处的切线与直线 l 平行且距离为 17,则直线 l 的方程为 x ( ) A.4x-y+9=0 或 4x-y+25=0 C.4x+y+9=0 或 4x+y-25=0 B.4x-y+9=0 D.以上都不对

1 4 .曲线 y = 与 y = x2 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形的面积为 x __________. 1 5. 曲线 y=x3 在点(a, a3)(a≠0)处的切线与 x 轴、 直线 x=a 所围成的三角形的面积为 , 6 则 a 的值为__________. 6.已知曲线 C:y=x3. (1)求曲线 C 上横坐标为 1 的点处的切线方程; (2)第(1)小题中的切线与 C 是否还有其他的公共点? 3 答案:1.C 2.B 3.C 4. 5.± 1 6.(1)3x-y-2=0;(2)有. 4 设计说明 本节内容是在学习了“变化率问题、 导数的概念”等知识的基础上, 研究导数的几何意 义,由于新教材未涉及极限,于是尽量采用形象直观的方式,让学生通过动手作图,自我感 受整个逼近的过程,并用形象的几何画板及 Flash 展示动态的过程,让学生更加深刻地体会 导数的几何意义及“以直代曲”的思想. 在利用导数的几何意义研究实际问题时, 某点附近 的曲线可以用过此点的切线近似代替, 即“以直代曲”, 从而达到“以简单的对象刻画复杂 对象”的目的, 并通过两个例题的研究, 让学生从不同的角度完整地体验导数与切线斜率的 关系,并感受导数应用的广泛性.本节课注重以学生为主体,每一个知识、每一个发现及设 法由学生自己得出.课堂上给予学生充足的思考时间和空间,让学生在动手操作、动笔演算 等活动后,再组织讨论,教师只是在关键处加以引导. 备课资料 补充练习:求函数 f(x)=x3 的导数. 3 解:任取 x0∈R,Δx≠0.f(x0)=x3 0,f(x0+Δx)=(x0+Δx) ,

北京天梯志鸿教育科技有限责任公司

3 3 Δy ?x0+Δx? -x0 2 = =3x2 0+3x0(Δx)+(Δx) , Δx Δx

f′(x0)= lim

?x ? 0

Δy 2 2 = lim [3x2 0+3x0(Δx)+(Δx) ]=3x0. Δx ?x ?0

用 x 代替 x0 即得函数 y=x3 的导数为(x3)′=3x2. 【例】 求曲线 f(x)=x3 在点(1,1)处的切线方程与法线方程. 思路启迪:按照导数的几何意义,只要求出函数 f(x)=x3 在点 x=1 处的导数即为该曲 线在点(1,1)处的切线斜率,再利用直线的点斜式方程即可求出切线与法线方程. 规范解法:根据导数的几何意义可知,所求切线的斜率为 k1=f′(1). 由于 f′(x)=(x3)′=3x2,因此 k1=f′(1)=3. 于是所求切线方程为 y-1=3(x-1),即 3x-y-2=0. 1 所求法线的斜率为 k2=- . 3 1 从而所求的法线方程为 y-1=- (x-1),即 x+3y-4=0. 3 (设计者:张春生)

北京天梯志鸿教育科技有限责任公司


相关文档

高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.3导数的几何意义优化练习
(全国通用版)高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.3导数的几何意义课件
高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.3导数的几何意义优化练习
高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.3导数的几何意义课件新人教A版选修1_1
2019高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.3导数的几何意义优化练习
高中数学 第三章 变化率与导数 3.2 导数的概念及其几何意义学案北师大版1-1 精
高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.3导数的几何意义学案新人教A版选修1_1
第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.3导数的几何意义优化练习新人教A版选修2-2
高中数学导数及其应用1.1变化率与导数1.1.3导数的几何意义课时达标训练新人教A版
高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.3导数的几何意义课件新人教A版选修22
电脑版