2018学年高中数学人教A版必修4课件:2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 精品_图文

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 [提出问题] 已知两个向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2). 问题 1:若 i,j 是两个互相垂直且分别与 x 轴,y 轴的正半 轴同向的向量,则 a,b 如何用 i,j 表示? 提示:a=x1i+y1j,b=x2i+y2j. 问题 2:|a|,|b|分别用坐标怎样表示? 提示: |a|= |b|= ?x1i+y1j?2= 2 x2 + y 1 1; ?x2i+y2j?2= 2 x2 + y 2 2. 问题 3:能用 a,b 的坐标表示 a· b 吗? 提示:a· b=(x1i+y1j)· (x2i+y2j) =x1x2i2+(x1y2+x2y1)i· j+y1y2j2 =x1x2+y1y2. 问题 4:垂直的条件和向量夹角能用坐标表示吗? 提示:能. [导入新知] 1.平面向量数量积的坐标表示 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b= x1x2+y1y2 ,即两个 向量的数量积等于 它们对应坐标的乘积的和 . 2.两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b? x1x2+y1y2=0 . 3.三个重要公式 2 (1)向量模的公式:设 a=(x1,y1),则|a|= x2 + y 1 1. (2)两点间的距离公式:若 A(x1,y1),B(x2,y2),则| AB |= ?x2-x1?2+?y2-y1?2 . (3)向量的夹角公式: 设两非零向量 a=(x1, y1), b=(x2, y2), x1x2+y1y2 2 2 2 2 x + y x + y 1 1 2 2 a 与 b 的夹角为 θ,则 cos θ= . [化解疑难] 向量的模的坐标运算的实质 向量的模即为向量的长度,其大小应为平面直角坐标系中两 点间的距离,如 a=(x,y),则在平面直角坐标系中,一定存在 点 A(x,y),使得 OA =a=(x,y),∴| OA |=|a|= x2+y2,即|a| 为点 A 到原点的距离.同样若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB =(x2 -x1,y2-y1),∴| AB |= ?x2-x1?2+?y2-y1?2,即平面直角坐标 系中任意两点间的距离公式.由此可知向量的模的运算实质即为 平面直角坐标系中两点间的距离的运算. [例 1] (1)(山东高考)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 OA = ( - 1 , t) , OB = (2,2) ,若∠ ABO = 90° ,则实数 t 的值为 ________. (2)已知向量 a=(1,3),b=(2,5),c=(2,1), 求:①2a· (b-a);②(a+2b)· c. [解] (1)5 (2)①∵2a=2(1,3)=(2,6),b-a=(2,5)-(1,3)=(1,2), ∴2a· (b-a)=(2,6)· (1,2)=2×1+6×2=14. ②∵a+2b=(1,3)+2(2,5)=(1,3)+(4,10)=(5,13), ∴(a+2b)· c=(5,13)· (2,1)=5×2+13×1=23. [类题通法] 数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量的数量积运算, 前提是牢记有关的运算法则和 运算性质.解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表 示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式 展开,再依据已知计算. (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目, 只需把握 图形的特征,并写出相应点的坐标即可求解. [活学活用] 已知向量 a 与 b 同向,b=(1,2),a· b=10. (1)求向量 a 的坐标; (2)若 c=(2,-1),求(b· c)· a. 答案:(1)(2,4) (2)0 [例 2] (1)若向量 a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1), 则|a-b|的最小值为________. (2)若向量 a 的始点为 A(-2,4),终点为 B(2,1),求: ①向量 a 的模; ②与 a 平行的单位向量的坐标; ③与 a 垂直的单位向量的坐标. [解] (1) 2 (2)①∵a= AB =(2,1)-(-2,4)=(4,-3), ∴|a|= 42+?-3?2=5. a 1 ②与 a 平行的单位向量是± =± (4,-3), |a| 5 ?4 3? ? 4 3? 即坐标为?5,-5?或?-5,5?. ? ? ? ? ③设与 a 垂直的单位向量为 e=(m, n), 则 a· e=4m-3n=0, m 3 ∴n= . 4 又∵|e|=1,∴m2+n2=1. 3 ? ?m=5, 解得? ?n=4, 5 ? ?3 4? ∴e=?5,5?或 ? ? 3 ? ?m=-5, 或? ?n=-4, 5 ? ? 3 4? e=?-5,-5?. ? ? [类题通法] 求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算: 利用|a|2=a2, 将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的 问题. (2)坐标表示下的运算: 若 a=(x,y),则 a· a=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|= x2+y2. [活学活用] 设 x,y∈R,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且 a ⊥c,b∥c,则|a+b|= A. 5 C.2 5 B. 10 D.10 ( ) 答案:B [例 3] 已知平面向量 a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y), 且 a∥b,a⊥c. (1)求 b 与 c; (2)若 m=2a-b, n=a+c, 求向量 m, n 的夹角的大小. [解] (1)∵a∥b,∴3x=4×9,∴x=12. ∵a⊥c,∴3×4+4y=0, ∴y=-3,∴b=(9,12),c=(4,-3). (2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4), n=a+c=

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