3.1.2 瞬时速度与导数_图文

3.1.2 瞬时速度与导数

复习:函数的平均变化率
已知函数 y ? f ( x) 在点 x

? x0

及其附近有定义,

?y ? y ? y0 ? f ( x) ? f ( x0 ) ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 令 ?x ? x ? x0 ,
则当 ?x ? 0 时,比值 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? ?x ?x 叫做函数 y ? f ( x) 在 x0 到x0 ? ?x 之间的平均变化率

引例
已知物体运动位移和时间关系为

s ? f ?t ?

从t0到t0 ? ?t这段时间内函数的平均变化率为

v ?

?s f ? t0 ? ?t ? ? f ? t0 ? ? ?t ?t

s
s ? f ?t ?
?t
?s

即为物体运动的平均速度。

那么物体在某一时刻t0的 (瞬时)速度是什么呢?

t
t 0 t0 ? ?t

问题情境:
跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程 中,不同时刻的速度是不同的。假设t 秒后运动 员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试 确定t=2s时运动员的(瞬时)速度。 (1)计算运动员在2s到2.1s(t∈[2,2.1])内的 平均速度。
H (2.1) ? H (2) v? ? ?13.59(m / s) 2.1 ? 2
(2)计算运动员在2s到2+⊿t s(t∈[2,2+⊿t])

内的平均速度。

时间区间 [2,2.1] [2,2.01] [2,2.001] [2,2.0001] [2,2.00001] [2,2.000001]

△t 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001

平均速度 -13.59 -13.149 -13.1049 -13.10049 -13.100049 -13.1000049

观察 当?t趋近于0时, 平均速度v有什么样的变化趋势 ?

时间区间 △t 平均速度 [1.9,2] -0.1 -12.61 [1.99,2] -0.01 -13.051 [1.999,2] -0.001 -13.0951 [1.9999,2] -0.0001 -13.09951 [1.99999,2] -0.00001 -13.099951
我们发现,当?t趋近于0 时, 即无论t从小于2 的一边, 还是从大于 2一边趋近于 2时, 平均速度都趋近于一 个确定的值? 13.1.
该常数可作为运动员在2s时的瞬时速度。

当?t趋近于0时,上式右边趋近于 ? 9.8t 0 ? 6.5 这就是说,在时刻 t 0,运动员的速度是( ? 9.8t 0 ? 6.5)m / s

h(t 0 ? ?t) ? h(t 0) ?t 2 2 [10 ? 4.( 9 t 0 ? ?t) ? 6.( 5 t 0 ? ?t) ] ? [10 ? 4.9t 0 ? 6.5t 0 ] ? ?t 2 ? 2 ? 4.9t 0 ? ?t ? 4.( 9 ?t) ? 6.5?t ? ?t ? ?9.8t 0 ? 6.5 ? 4.9?t

一般地,对任一时刻 t 0,也可以计算出瞬时速 度:

瞬时速度
设物体作直线运动所经过的路程为s=h(t)。 以t0为起始时刻,物体在?t时间内的平均速度为

?? ?tt)) ? ? ff ((tt00)) ? s ff ((tt00 ? ? s ? ? ? ? v? 。?? ? v 。 ? ?tt ? tt ?
?s 所以当?t?0时,比值 ?t 趋近于一个常数l

就是物体在t0时刻的瞬时速度,即 f (t0 ? ?t ) ? f (t0 ) 当?t ? 0时, ? 一个常数l ?t

函数的瞬时变化率: 函数y=f(x),在x0及其附近有意义,自变量 在x=x0附近改变量为△x

则函数值相应的改变△y= f(x0+△x)-f(x0).
平均变化率为 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 )
?x ?x

当△x

0 时,

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ?x ?x

常数 l

常数 l 称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) lim ?l 上述过程记作 ? x ?0 ?x

一般地,函数 y ? f ?x ?在x ? x0处的瞬时变化率是 f ?x0 ? ?x ? ? f ?x0 ? lim , 我们称它为函数 ?x ?0 ?x y ? f ?x ?在x ? x0处的 导数
' ' '

f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? 记作 f ? x0 ? 或 y |x ? x0 即 f ? x0 ? ? lim . ?x ?0 ?x

如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点导数都存在,就说f(x) 在开区间 (a,b)内可导.这时,对于开区间 (a,b)内每一个确定的 ' f ? x? 值 x,都对应着一个确定的导数 这样就在开区间(a,b) 内构成了一个新的函数,我们把这一新函数叫做 f(x) 在开区间 (a,b)内的导函数,简称为导数,记作

f ( x) 或 y (或y )
?y f ( x ? ?x) ? f ( x) y ? f ( x) ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
' '

'

'

' x



例1.求y=x2在点x=1处的导数
解:

?y ? f (1? ?x) ? f ?1? ? (1? ?x)2 ?12 ? 2?x ? (?x)2
?y 2?x ? (?x) ? ? 2 ? ?x ?x ?x
2

?y ? f ?1? ? lim ? lim (2 ? ?x) ? 2 ?x ? 0 ?x ?x ? 0
'

由定义求导数(三步法)
步骤: (1)求函数的增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 );
f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ?y ( 2)求 平 均 变 化 率 ? ; ?x ?x ?y ? ( 3)取 极 限 , 得 导 数 f ( x0 ) ? l i m . ?x ? 0 ?x (求极限时,若经整理后分母不含 ?x ,则令其为0即可)

变式1.求y=x2+2在点x=1处的导数 解:?y ? [(1 ? ?x) ? 2] ? (1 ? 2) ? (?x) ? 2?x
2 2 2

?y 2?x ? (?x) ? ? 2 ? ?x ?x ?x ?y ' ?当?x ? 0时, ? 2 ? y | x ?1 ? 2 ?x
2

1 2 例2.火箭竖直向上发射,火箭的运动方程为h(t)=100t- gt , 2
,试问熄火后多长时间火箭向上的速度为0?

解:设熄火后t时刻火箭向上的速度为0
在t到t+?t的平均变化率为

1 1 2 2 [100(t ? ?t ) ? g (t ? ?t ) ] ? [100t ? gt ] 2 2 ?t 1 100?t ? gt ? t ? ?t ? g (?t ) 2 2 ? ?t

1 =100-gt- 2

g△t。

当△t→0时,上式趋近于100-gt。
可见t时刻的瞬时速度h’(t)=100-gt。

令h’(t)=100-gt=0,解得

100 100 t? ? ? 10.2( s) g 9.8
所以火箭熄火后约10.2s向上的速度变为0.

1 例3 :已知函数y ? x在x ? x0处附近有定义, 且y ' |x ? x0 ? , 2 求x0的值.
解 :? ?y ? x0 ? ?x ? x0 ,
? ?y ? ?x ? x0 ? ?x ? x0 ( x0 ? ?x ? x0 )( x0 ? ?x ? x0 ) ? ?x ?x ( x 0 ? ? x ? x 0 ) 1 . x 0 ? ?x ? x 0

?y ?当?x ? 0时, ? ?x

1 1 ? , x0 ? ?x ? x0 2 x0

1 1 1 由y'| x ? x0 ? , 得 ? ,? x0 ? 1. 2 2 x0 2

例4.质点M按规律s(t)=at2+1作直线运动,若质点M在t=2时的瞬 时速度为8m/s,求常数a的值。

解:因为△s=a(t+△t)2+1-(at2+1) =2at△t+a(△t)2,

所以

?s ?t

=2at+a△t,

当△t→0时,s′=2at, 由题意知t=2时,s′=8,即4a=8,解得a=2.

例5.已知y=ax2+bx+c,求y′及y′|x=2。
解:△y=a(x+△x)2+b(x+△x)+c-(ax2+bx+c) =(2ax+b)△x+a(△x)2,

? y =(2ax+b)+a△x, ?x
当△x→0时,y′= 2ax+b, 当x=2时,y′|x=2=4a+b。

小结: 函数的瞬时变化率、导数 函数f(x)在x0处的瞬时变化率就是在x=x0处的导数 求导数的一般步骤


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