10基本初等函数知识点总结

基本初等函数知识点总结
一、指数函数的概念
(1) 、指数函数的定义 一般地,函数 y ? a ( a ? 0 ,且 a ? 1 )叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定
x

义域是 R 。 (2) 、因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数,所以在底数 a ? 0 且 a ? 1 的前提 下, x ? R 。 (3) 、指数函数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1 )解析式的结构特征
x

1、底数:大于 0 且不等于 1 的常数。 2、指数:自变量 x 。 3、系数: 1 。

二、指数函数的图象与性质
一般地,指数函数 y ? a ( a ? 0 ,且 a ? 1 )的图象与性质如下表:
x

a
性质

a ?1

0 ? a ?1

? ?? 定义域是 R ,值域是 ? 0,
1? ,即 x ? 0 时 y ? 1 过点 ? 0,
当 x ? 0 时, y ? 1 当 x ? 0 时, 0 ? y ? 1 在 R 上是增函数 当 x ? 0 时, 0 ? y ? 1 当 x ? 0 时, y ? 1 在 R 上是减函数

三、幂的大小比较方法
比较幂的大小常用方法有: (1) 、比差(商)法; ( 2) 、函数单调性法; (3) 、中间值法: 要比较 A 与 B 的大小,先找一个中间值 C ,再比较 A 与 C 、 B 与 C 的大小,由不等式的 传递性得到 A 与 B 之间的大小。

四、底数对指数函数图象的影响
(1) 、对函数值变化快慢的影响 1、 当底数 a ? 1 时, 指数函数 y ? a 是 R 上的增函数, 且当 x ? 0 时, 底数 a 的值越大,
x

函数图象越“陡” ,说明其函数值增长得越快。 2、当底数 0 ? a ? 1 时,指数函数 y ? a 是 R 上的减函数,且当 x ? 0 时,底数 a 的值
x

越小,函数图象越“陡” ,说明其函数值减小得越快。 (2) 、对函数图象变化的影响

指数函数 y ? a x 与 y ? b x 的图象的特点: 1、 a ? b ? 1 时,当 x ? 0 时,总有 0 ? a x ? b x ? 1 ;当 x ? 0 时,总有 a x ? b x ? 1 ;当

x ? 0 时,总有 a x ? b x ? 1 。
2、 0 ? a ? b ? 1 时,当 x ? 0 时,总有 a x ? b x ? 1 ;当 x ? 0 时,总有 a x ? b x ? 1 ;当

x ? 0 时,总有 0 ? a x ? b x ? 1 。

五、对数的概念
(1) 、对数:一般地,如果 a x ? N ( a ? 0 ,且 a ? 1 ) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的 对数,记作 x ? log a N ,其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数。 (2) 、常用对数:我们通常把以 10 为底的对数叫做常用对数,为了简便, N 的常用对 数 log10 N 简记为 lg N 。 (3) 、 自然对数: 我们通常把以无理数 e( e ? 2.71828 为了简便, N 的自然对数 log e N 简记为 ln N 。 ) 为底的对数称为自然对数,

六、对数的基本性质
根据对数的定义,对数 log a N ( a ? 0 , a ? 1 )具有如下性质: 1、 0 和负数没有对数,即 N ? 0 ; 2、 1 的对数是 0 ,即 log a 1 ? 0 ; 3、底数的对数等于 1 ,即 log a a ? 1 ; 4、对数恒等式:如果把 ab ? N 中的 b 写成 log a N ,则 a
loga N

?N。

七、对数运算性质
如果 a ? 0 且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么 (1) 、 log a ? MN ? ? log a M ? log a N ; (2) 、 log a

M ? log a M ? log a N ; N

(3) 、 log a M n ? n log a M ( n ? R ) 。

八、换底公式

设 log a N ? x , 则 a x ? N , 两 边 取 以 b 为 底 的 对 数 , 则 有

logb N ? logb a x ? x logb a ? log a N ? logb a ,又 logb a ? 0 , log a N ?
到对数的换底公式。 换底公式的两个推论:

logb N ,由此得 logb a

log am N n ?

n 1 。 log a N , log a b ? m logb a

九、对数函数
(1) 、对数函数的定义 一般地,我们把函数 y ? log a x ( a ? 0 ,且 a ? 1 )叫做对数函数,其中 x 是自变量,

? ?? 。 函数的定义域为 ? 0,
(2) 、一个函数是对数函数的条件 1、系数为 1 ;2、自变量 x 出现在真数的位置上,且 x ? 0 ;3、底数 a ? 0 ,且 a ? 1 。 (3) 、常用对数函数与自然对数函数 1、常用对数函数:以 10 为底的对数函数 y ? lg x 为常用对数函数。 2、自然对数函数:以无理数 e 为底的对数函数 y ? ln x 为自然对数函数。

十、对数函数的图象与性质
一般地,对数函数 y ? log a x ( a ? 0 ,且 a ? 1 )图象与性质如下表:

a
性质

a ?1

0 ? a ?1

? ? ? ,值域是 R 定义域是 ? 0,
0 ? ,即 x ? 1 时 y ? 0 过点 ?1,
当 x ? 1时, y ? 0 当 0 ? x ? 1 时, y ? 0 当 x ? 1时, y ? 0 当 0 ? x ? 1 时, y ? 0

? ? ? 上是增函数 在 ? 0,

? ? ? 上是减函数 在 ? 0,

十一、幂函数
一般地,函数 y ? x 叫做幂函数,其中 x 是自变量, ? 是常数。
?

十二、幂函数的图象
幂函数 y ? x? 在第一象限的图象特征:

, 0 ? , ?11 (1) 、 ? ? 1 ,图象过点 ? 0, ? ,下凸递增,如 y ? x3 。 , 0 ? , ?11 (2) 、 0 ? ? ? 1 ,图象过点 ? 0, ? ,上凸递增,如 y ? x 。
, (3) 、 ? ? 0 ,图象过点 ?11 ? ,下凸递减,且向两坐标轴无限逼近,如 y ? x 。
?1

1 2

十三、常见的幂函数的性质
? ? ? 上都有定义,并且图象都通过点 ?11 , (1) 、所有的幂函数在 ? 0, ?; ? ? ? 上为增函数; (2) 、若 ? ? 0 ,则幂函数的图象过原点,并且在区间 ? 0, ? ? ? 上是减函数,在第一象限内,当 x 从右 (3) 、若 ? ? 0 ,则幂函数图象在区间 ? 0,
边趋向于原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴,当 x 趋向于 ?? 时,图象在 x 轴上方无 限地逼近 x 轴; (4) 、当 ? 为奇数时,幂函数为奇函数;当 ? 为偶数时,幂函数为偶函数。

十四、函数零点的概念
对于函数 y ? f ? x ? ,我们把使 f ? x ? ? 0 得实数 x 叫做函数 y ? f ? x ? 的零点。 由函数零点的概念可知,函数 y ? f ? x ? 的零点就是方程 f ? x ? ? 0 的实数根,也就是 函数 y ? f ? x ? 的图象与 x 轴的交点的横坐标。

十五、函数零点的判定(存在性定理)
一般地,如果函数 y ? f ? x ? 在区间 ? a,b? 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有

f ? a ? ? f ? b ? ? 0 ,那么,函数 y ? f ? x ? 在区间 ? a,b ? 内有零点,即存在 c ? ? a,b ? ,使
得 f ? c ? ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ? x ? ? 0 的根。 以上结论称为零点存在性定理,它是判断函数 y ? f ? x ? 的零点是否存在的方法。

十六、二分法
一般地,对于图象在区间 ? a,b? 上连续不断且 f ? a ? ? f ? b ? ? 0 的函数 y ? f ? x ? ,通 过不断地把函数 f ? x ? 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而

得到零点近似值的方法叫做二分法。


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