高中数学第一章不等关系与基本不等式1.3平均值不等式课件北师大选修4_5_图文

§3 平均值不等式 学习目标 思维脉络 1.掌握定理 1 和定理 2 及其证明,并 能灵活应用. 2.理解定理 3 和定理 4 及其证明,并 能简单应用. 3.会用相关定理解决简单的最大(最 小)值问题. 1.算术平均值和几何平均值 (1)正数 a 与 b 的算术平均值是+2,几何平均值是 . (2)a,b,c∈R+,则它们的算术平均值是+3+,几何平均值是 3 . (3)对于 n 个正数 a1,a2,…,an(n≥2),我们把数值1+2+ …+ 和 12…分别称为这 n 个正数的算术平均值与几何平均值. 2.平均值不等式 定理 适用范围 定理 1 a,b∈R 定理 2 a,b∈R+ 定理 3 a,b,c∈R+ 定理 4 a,b,c∈R+ a1,a2,…, an∈R+ 符号语言 文字语言 a2+b2≥2ab + 2 ≥ 两个正数的算术 平均值不小于它 们的几何平均值 a3+b3+c3≥3abc ++≥3 abc 3 三个正数的算术 平均值不小于它 们的几何平均值 1 + 2 + … + n 个正数的算术 平均值不小于它 ≥ a1a2…an 们的几何平均值 等号成立 的条件 a=b a=b a=b=c a=b=c a1=a2=… =an 名师点拨 1.定理2的常见变形 (1)ab≤2+2 2;(2)ab≤ + 2 2 ; (3) + ≥2(ab>0);(4) + 2 2 ≤ 2+2 2; (5)a+b≤ 2(2 + 2).(等号成立的条件均为 a=b) 2.利用平均值不等式求最值 对两个正实数a,b. (1)若它们的和S是定值,则当且仅当x=y时,它们的积P取得最大值; (2)若它们的积P是定值,则当且仅当x=y时,它们的和S取得最小值. 对于三个正数a,b,c. (1)a+b+c≥33 abc,当三个正数的积为定值时,它们的和有最小值; (2)abc≤ a+b+c 3 3 ,当三个正数的和为定值时,它们的积有最大值. 利用平均值不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”,即: (1)各项或各因式均为正; (2)和或积为定值; (3)各项或各因式能取得相等的值. 【做一做 1】 给出下列结论: ①若 x≠0,则 x+4≥2 ·4=4; ②若 a>0,b>0,则lg+2lg ≥ lg·lg; ③当 x∈ 0, π 2 时,sin x+si9n的最小值为 6; ④若 a∈R,则 a2+14≥a.其中正确的结论的序号是 . 解析:对于①,只有当 x>0 时,才有 x+4≥2 ·4=4 成立,故①错 误; 对于②,虽然有 a>0,b>0,但 lg a 和 lg b 不一定都是正数,因此不 一定有lg+lg 2 ≥ lg·lg,故②错误; 对于③,虽然当 x∈ 0, π 2 时,sin x>0, 所以 sin x+si9n≥2 sin·si9n=6,但其中的等号成立的条件是 sin x=si9n,即 sin x=3,这显然是不可能的,因此不能说 sin x+si9n的最 小值为 6,故③错误; 对于④,因为 a2+14=a2+ 1 2 2≥2·a·12=a,当且仅当 a=12时等号成立, 所以④正确. 答案:④ 【做一做2】 若正数a1,a2,a3满足a1a2a3=8,则有( ) A.a1+a2+a3≥2 B.a1+a2+a3≥6 C.a1+a2+a3≥6 2 D.a1+a2+a3≥2 2 解析:由三个正数的平均不等式可得1+32+3 ≥ 3 123 = 3 8=2,当且仅当 a1=a2=a3=2 时等号成立,于是 a1+a2+a3≥6. 答案:B 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的 打“×”. (1)函数 y=x+1的最小值是 2. (2)式子 x2+1 + 1的最小值为 3. (3)若+3+ ≥ 3 abc,则必有 a>0,b>0,c>0.( ) (4)若 a,b∈R,则2+2 2 ≥ + 2 2 . () () () 答案:(1)× (2)× (3)× (4) 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 利用平均值不等式求最值 【例 1】求解下列各题: (1)已知 x,y∈R+,且 x+2y=1,求1 + 1的最小值; (2)已知 a>0,b>0,且 a2+22=1,求 a 1 + 2的最大值; (3)已知 x∈R+,求函数 y=x(1-x2)的最大值. 分析根据题设条件,合理变形,创造出能应用平均值不等式的条 件和形式,然后应用平均值不等式求解. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解(1)因为 x+2y=1, 所以1 + 1 = +2 + +2=3+2 + ≥3+2 2 ·=3+2 2, 当且仅当2 = ,x+2y=1, 即 x= 2-1,y=1- 22时,等号成立. 所以当 x= 2-1,y=1- 22时,1 + 1取最小值 3+2 2. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 (2)a 1 + 2=a 2 1 2 + 2 2 = 2a· 1 2 + 2 2 ≤ 2 2 2 + 1 2 + 2 2 = 342, 当且仅当 a= 1 2 + 22,即 a= 23,b= 22时,等号成立,此时 a 1 + 2 有最大值342. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 (3)因为 y=x(1-x2), 所以 y2=x2(1-x2)2=2x2(1-x2)(1-x2)·12. 因为 2x2+(1-x2)+(1-x2)=2, 所以 y2≤12 22+1-2+1-2 3 3 = 247, 当且仅当 2x2=1-x2=1

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