高三总复习文科函数的单调性、奇偶性(上课用)

营口开发区第一高中 2014 高考文科数学复习学案

2.4 函数的单调性 一、基础知识梳理: 1.函数的单调性定义: 2.单调区间: 3.一些基本函数的单调性 (1)一次函数 y ? kx ? b (2)反比例函数 y ?
k x

(3)二次函数 y ? ax2 ? bx ? c (4)指数函数 y ? a x ?a ? 0, a ? 1? (5)对数函数 y ? log a x ?a ? 0, a ? 1? 二、基础能力强化: 1.下列函数中,在 内是减函数的是( (? ?, 0) A. y ? 1 ? x 2 2. f ( x) ?
x 在( 1? x

) C. y ?
1 x2

B. y ? x 2 ? 2 x )

D. y ?

x x ?1

A. 上是增函数 (? ?, 1 ) ? ( 1, ? ?) C. 是增函数 (? ?, 1 )和( 1, ? ?)

(? ?, 1 ) ? ( 1, ? ?) B. 是减函数

D. 是减函数 (? ?, 1 )和( 1, ? ?) )

1? 内递减,在 3.函数 y ? 2 x 2 ? (a ? 1) x ? 3 在区间 ?? ?, 内递增,则 a 的值是( ( 1, ? ?)

A.1

B.3

C.5

D.-1

? ?? 上是增函数,在区间 ?? ?, ? 2? 上是减函数,则 f (1) = 4.函数 f ( x) ? 4 x 2 ? mx ? 5 在区间 ?? 2,

( A.-7

) B.1 C.17 D.25 )

(? ?, 4 ]上是减函数,那么实数 a 的取值范围是( 5.函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间

a ? ?3

B. a ? ?3

C. a ? 5 )

D. a ? 3

(2a ? 1 )x ? b 是 R 上的增函数,则有( 6.设函数 f ( x) ?

A. a ?

1 2

B. a ?

1 2

C. a ? ?

1 2

D .a ?

1 2

?a x ( x ? 0) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 成立,则 a 7.已知函数 f ( x) ? ? ,满足对任意 x1 ? x2 ,都有 x1 ? x2 ?(a ? 3) x ? 4a ( x ? 0)

的取值范围是(



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? 1? A. ? 0, ? ? 4?

B. (0,1)

?1 ? 1? C. ? , ?4 ?

D. (0,3)

三、课堂互动讲练: 考点一、函数单调性的证明方法: (1)定义法: (2)求导法: (3)定义的两种等价形式: 例 1:证明:函数 f ( x) = x 2 ? 1 ? x 在定义域上是减函数.

例 2:求函数 f ?x ? ? - x 3 ? 6 x 2 - 9 x ? m 的单调区间.

例 3:试讨论函数 f ( x) = x ?

a (a ? 0) 的单调性. x

考点二、复合函数的单调性: 例 1:求下列函数的单调区间,并指出其增减性。 (1) y ? log 1 (4 x ? x 2 )
2

(2) y ?

1 2 x ? 2x ? 3 2

练习:
1 2 1.函数 y ? ( ) x ? 2 x ?3 的单调递减区间是 2

; 函数 y ? log 1 (3 ? 2 x ? x 2 ) 的单调递增区间
3

是 2.已知 y ? log a (2 ? ax) 在 ?0,1? 上是减函数,则实数 a 的取值范围是( A. ?0,1? B. ?1,2 ? C. ?0,2 ?
? ?? D. ?2,



考点三、函数单调性的应用: 1.函数 f ( x) 在 上是增函数,且 a 为实数,则有( (? ?, ? ?) A. f (a) ? f (2a) B. f (a 2 ) ? f (a) C. f (a 2 ? a) ? f (a) ) D. f (a 2 ? 1) ? f (a)

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2.已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2ax ? 4(a ? 0) ,若 x1 ? x2 , x1 ? x2 ? 0 ,则( A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) D. f ( x1 )与f ( x2 ) 的大小不能确定



3 ? ? ? 上是减函数,试比较 f ( )与f (a 2 ? a ? 1) 的大小。 3.已知函数 y ? f ( x) 在 ?0, 4

4.如果函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c ,对任意实数 t 都有 f (2 ? t ) ? f (2 ? t ) ,试比较 f (1), f (2), f (4) 的大小。

( ? 1,1) 5.若 f ( x) 是定义在 上的减函数,解不等式 f (1 ? a) ? f (a 2 ? 1) ? 0 .

6.定义正实数集上的函数 f ( x) 满足以下三条: (1) f (4) ? 1 ; (2) f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ; (3) x ? y 时, f ( x) ? f ( y ) . 求满足 f (a) ? f (a ? 6) ? 2 的实数 a 的取值范围。

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7.函数 f ( x) 对任意的 a, b ? R ,都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ? 1 , 并且当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 (1)求证: f ( x) 是 R 上的增函数 (2)若 f (4) ? 5 ,解不等式 f (3m 2 ? m ? 2) ? 3 。

2.5 函数的奇偶性 一、基础知识梳理: 1.奇、偶函数的概念:

2.奇函数、偶函数的图象对称关系:

3.判断函数奇偶性的一般方法:

二、课堂互动讲练: 考点一、讨论函数的奇偶性: 例:讨论下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ? x 5 ? x 3 ? x (2) f ( x) ? ( x ? 1)
1? x 1? x

(3) f ( x) ? 1 ? x ? x ? 1
2 2

2 ? ? x ? x, x ? 0 (4) f ( x) ? ? 2 ? ?? x ? x, x ? 0

练习:
4 ? x2 | x ? 3 | ?3

(1) f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? 1 |

(2) f ( x ) ?

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(3) f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1

?x2 ? 2 , x ? 0 ? (4) f ( x) ? ?0 ,x?0 ?? x 2 ? 2 , x ? 0 ?

考点二、函数奇偶性与函数单调性的综合应用: 例 1: 定义在R上的偶函数f ( x) 满足 f ( x) ? f (2 ? x) .若 f ( x) 在 ?1,2 ? 上是减函数,则 f ( x) ( A. ?? 2,?1? 上是增函数, ?3,4 ? 上是增函数 C. ?? 2,?1? 上是减函数, ?3,4 ? 上是增函数 B. ?? 2,?1? 上是增函数, ?3,4 ? 上是减函数 D. ?? 2,?1? 上是减函数, ?3,4 ? 上是减函数 )

例 2:已知 f ( x) ? ax7 ? bx5 ? cx3 ? 6, f (?2) ? 10, 则f (2) ? 例 3:已知 y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 2 x ,则在 R 上 f ( x) 的 表达式为( A. ? x( x ? 2) 练习: 1.若函数 f ( x) ? x 3 ( x ? R) ,则函数 y ? f (? x) 在其定义域上是( A.单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数 C.单调递增的偶函数 ) D.单调递增的奇函数 ) B. x(| x | ?2) C. | x | ( x ? 2) D. | x | (| x | ?2)

2.设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,在 (??,0) 上是增函数,且 f (2a 2 ? a ? 1) ? f (3a 2 ? 2a ? 1) , 求 a 的取值范围。

3 若 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x(1 ? x) 。求当 x ? 0 时, f ( x) 的解析式。

1? 上的偶函数 f ( x) ,当 x ? 0 时, f ( x) 为增函数。若 f (1 ? m) ? f (2m) 成立,求 m 4 定义在 ?? 1,

的取值范围。

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5.已知 f ( x) 是偶函数, g ( x) 是奇函数,且 f ( x) ? g ( x) ? ( x 2 ? 1)( x ? 1) ,求 f ( x) 、 g ( x) 。

6.函数 f ( x) ?

1 2 ax ? b 是定义在 ?? 1,1? 上的奇函数,且 f ( ) ? . 2 2 5 1? x

(1)确定函数 f ( x) 的解析式; (2)用定义证明 f ( x) 在 ?? 1,1? 上是增函数; (3)解不等式 f (t ? 1) ? f (t ) ? 0

三、基础能力提高: 1.已知 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 为偶函数,则 g ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 是( A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 )

D.非奇非偶函数 )

2.已知偶函数 f ( x) 在 (??,0) 上单调递增,对于任意 x1 ? 0, x2 ? 0 ,若 | x1 |?| x2 | ,则有( A. f (? x1 ) ? f (? x2 ) B. f (? x1 ) ? f (? x2 ) C. ? f ( x1 ) ? f (? x2 ) D. ? f ( x1 ) ? f (? x2 ) )

? ? ? 上递增,有 f (?3) ? 0 ,则 x ? f ( x) ? 0 的解集是( 3.若 f ( x) 是奇函数,且在 ?0,

A. ?? 3,0? ? ?3,???

? 3? ? ?0,3? B. ?? ?,

? 3? ? ?3, ? ?? C. ?? ?,

0? ? ?0,3? D. ?? 3,

4.偶函数 y ? f ( x) 的定义域为 ? a, a 2 ? 2 ,则 a 的值为( A.-1 B.2 C.-1 或 2

?

?

) D.以上都不对

5.有下列命题: (1)偶函数的图象一定与 y 轴相交; (2)奇函数的图象一定经过原点; ( 3) 定义在 R 上的奇函数满足 f (0) ? 0 ; (4)当且仅当 f ( x) ? 0 (定义域关于原点对称)时, f ( x) 既是奇函数又是偶函数。其中,正确的命题个数为( A.1 B.2 C.3 ) D.4

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6.设 f ( x) 为定义在 ?? ?, 且 f ( x) 在 ?0, 则 f (?2), f (?? ), f (3) ? ? ? 上为增函数, ? ? ? 上的偶函数, 的大小为( ) B. f (?? ) ? f (?2) ? f (3) D. f (?? ) ? f (?2) ? f (3)

A. f (?? ) ? f (3) ? f (?2) C. f (?? ) ? f (3) ? f (?2)

7.定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 满足: f(-x)=-f(x),f (1 ? x) ? f (1 ? x) , 当 x ? ?? 1,1? 时,f ( x ) ? x 3 , 则 f (2009 ) 的值是( A.-1 B.0 ) C.1 D.2 )

8.已知定义域为 R 的函数 f ( x) 在 (8,??) 上为减函数,且 y ? f ( x ? 8) 为偶函数,则( A. f (6) ? f (7) B. f (6) ? f (9) C. f (7) ? f (9) D. f (7) ? f (10)

9.已知 f ( x) ? x 3 ? sin x ? 1 ( x ? R) , f (a) ? 2 ,则 f (?a) ? 10.已知 f ( x) ?
1 ? a 为奇函数,则常数 a = 3 ?1
x

? ? ? 上是减函数,满足 f (2) ? f (a) 的实数 a 的取值 11.若函数 f ( x) 是 R 上的偶函数,且在 ?0,

范围是 12.设函数 f ( x) 对任意实数 x, y 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且 x ? 0 时, f ( x) ? 0 , f (1) ? ?2 。 (1)求证: f ( x) 是奇函数; (2)判断 f ( x) 的单调性; (3)求 f ( x) 在 ?? 3,3? 上的最大、最小值。


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