《直线的点斜式方程》ppt课件7


一、复习
1、简述在直角坐标系内确定一条直线的几何要素。
答(1)已知直线上的一点和直线的倾斜角(斜率) 可以确定一条直线。 (2)已知两点可以确定一条直线。

2、在直角坐标系中,已知直线上两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 1 如何表示直线的斜率?

y2 ? y1 k? x2 ? x1

二、直线的点斜式方程
在直角坐标系中,给定一个点 P0 ( x0 , y0 ) 和斜率 k ,我们能否将直线上所有点的 坐标P(x, y)满足的关系表示出来?
y P

l
P 0

O

x

直线经过点 P0 ( x0 , y0 ),且斜率 为 k ,设点 P( x, y) 是直线 l 上不同于点 P 的任意一点, 0 因为直线 l 的斜率为 k , 由斜率公式得 k ? y ? y0 x ? x0
即 y ? y0 ? k ( x ? x0 )
(1)

y ? y0 ? k ( x ? x0 ) (1)
由以上推导可知:
1、过点 P0 ( x0, y0 ) ,斜率为 k 的直线 每一点的坐标都满足方程(1)。

l

上的

坐标满足方程(1)的每 一点是否都在过点P0 ( x0, y0 ), 斜率为 k 的直线 l 上?

设点 P ( x1 , y1 )的坐标 x1 , y1 满足方程 1
(1),即

y1 ? y0 ? k ( x1 ? x0 )

若 x1 ? x0,则 y1 ? y0 ,说明点 P1 与点 P0 重合, 可得点 P1 在直线上 l 。
y

P1 P 0
O

L

x

若 x1 ? x0 ,则 ,这说明过点 P1 和点 P0 的直线的斜率为 k ,可得点 P1 在过点 p0 ( x0 , y0 ) ,斜率为 k 的直线 l 上
y

y1 ? y0 k? x1 ? x0

P 0
P1
O

x1

x0

x

以上分析说明:方程(1)恰为过 点 P0 ( x0 , y0 ),斜率为 k 的直线 l 上 的任一点的坐标所满足的关系式, y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 我们称方程(1) 为过 k P ( x,斜率为 点 的直线 0 0 , y0 ) l 的方程。这个方程我们叫做直线 的点斜式方程,简称点斜式。

00 当直线L的倾斜角为 时,直

线的方程是什么?
tan 0? ? 0 即 k ? 0 ,这时直线与 x轴平行或 此时,

重合,直线的方程就是 y ? y0 ? 0, 或 y ? y0
y

P 0

l
x

O

若直线的倾斜角为 90? 呢?直线用点斜式怎 么表示?为什么?
y

l
P 0

O

x

此时,直线没有 斜率,直线与y轴 平行或重合,它 的方程不能用点 斜式表示。直线 的方程为 x ? x0 ? 0 或 x ? x0

直线 l经过点 P0 (?2,3) ,且倾斜 0 角 ? ? 45,求直线 l的点斜式方 程,并画出直线 l。
解:直线经过点 P (?2,3) , 0 ? 斜率 k ? tan 45 ? 1 ,代入 点斜式方程得
y

P1

y ?3 ? x ? 2
画图时,只需取直线上的另 一点 P ( x1 , y1 ), 例如 1 取 x1 ? ?1, y1 ? 4 ,得 P1 的 坐标为(-1,4)过点 P , P 0 1 的直线即为所求。

P0

4 3 2 1

-3 -2

-1 O

x

答案:
1、写出下列直线的点斜式方程: (1)经过点A(3,-1),斜率是 2 ; (2)经过点B( ? 2 ,2),倾斜 角是 30 0 (3)经过点C(0,3),倾斜角是

(1)

y ?1 ? 2( x ? 3)
3 y ? 2 ? ( x ? 2) 3

(2)
0
0
0

(3)

y?3

(4)经过点D(-4,-2),倾斜角是 120

(4)

y ? 2 ? ? 3( x ? 4)

你都作对了吗?

2、填空题


1)已知直线的点斜式方程是 y ? 2 ? x ? 1

1 那么此直线的斜率是_______,倾斜角是 0 __________。 45
(2)已知直线的点斜式方是 y ? 2 ? 3( x ?1)

3 那么此直线的斜率是__________,倾斜 0 角是____________。 60

三、直线的斜截式方程

问题:一次函数的表达式是怎样的?
把 y ? kx ? b (k ? 0, b 是常数)叫做一次函数。 3、把下列点斜式方程化为一次函数形式: (1) (2)

y ? 2 ? x ?1

y ? x ?1
y ? x?5

y ?3 ? x ? 2 (3) y ? 2 ? 3( x ? 1)
3 ( x ? 2) (4) y ? 2 ? 3
你都化对了吗?

y ? 3x ? 3 ? 2

3 6 y? x? ?2 3 3

如果直线 l 的斜率为 k ,且与 y 轴的交 点为 (0, b) ,代入直线 的点斜式方程得:

y ? b ? k ( x ? 0) ,即 y ? kx ? b 这个方

程叫做直线的斜截式方程,简称斜截式。其中

b 叫做直线 l 在 y 轴上的截距。
由此可见,直线的斜截式由斜率 上的截距确定。

k 和直线在 y 轴

练习 1、写出下列直线的斜截式方程:

3 3 x?2 (1)斜率是 ,在 y 轴上的截距是 ?2; y ? 2 2 (2)斜率是 ? 2 ,在 y 轴上的截距是 4 ; y ? ?2 x ? 4

2、判断下列各对直线是否平行或垂直:
1 1 (1) l1 : y ? x ? 3 , l2 : y ? x ? 2 2 2 5 3 (2) l1 : y ? x , l2 : y ? ? x 3 5

l1 // l2 l1 ? l2

四、小结:
1.点斜式方程

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

当斜率不存在时不适用

2.斜截式方程

y ? kx ? b

当斜率不存在时不适用

3.当斜率不存在时

x ? x0 ? 0 或 x ? x0

4.求直线方程的题目,最后结果化为斜截式 或都移项到等式左边,使右边为0 5.b是直线与y轴交点的纵坐标,叫做直线在y轴上的 截距。截距可为正,为负,为零,是属于R的。 6.直线在y轴上的截距为0时,是与x轴垂直 或过原点 7.求过两点的直线方程,先用斜率公式 求得斜率,再用点斜式求


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