河南省渑池县2012-2013学年高二数学上学期期中试题 理 新人教版


2012—2013学年渑池高中第一学期期中联考 高二理科数学试卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.

? x ? y ? 1 ? 0, ? x ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域内的点是 1.下面给出四个点中,位于 ?
2) A. (0, 0) B. (?2, ? C. (0, 2)





0) D. (2,
( )

2.已知 a 和 b 均为非零实数,且 a ? b ,则下面表达正确的是

A. a ? b
2

2

b a ? B. a b

C. a b ? ab
2

2

1 1 ? 2 2 a b D. ab
( D. 54 )

3.已知

?an ? 为等差数列,若 a3 ? a4 ? a8 ? 9 ,则 S 9 的值为
B. 27 C. 15

A. 24

4.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔 顶 A 的仰角是30°,并测得水平面上的∠ BCD=120°,CD=40m,则电 视塔的高度为 ( ) A.10 2 m C.20 3 m B.20m D.40m )

5.在 ?ABC 中, a ? x , b ? 2, B ? 45? ,若 ?ABC 有两解,则 x 的取值范围是( A. (2, ??) B. (0, 2) C. (2, 2 2) D. ( 2, 2) ( D. [ 4,??) )

6.已知 log 2 ( x ? y ) ? log 2 x ? log 2 y ,则 x ? y 的取值范围是 A. (0,1] B. [ 2,??) C. (0,4]

7.若

?x ? y ? 0 ? ?x ? y ? 0 ? y?a ?

,若 z ? x ? 2 y 的最大值为 3 ,则 a 的值是 B. 2 C. 3 D. 4

(

)

A. 1

8.已知 0 ? a ? b ,且 a ? b ? 1 ,则下列不等式中,正确的是





1

A.

log 2 a ? 0
a b ? b a

2 a ?b ?
B.

1 2

2
C.

?

1 2
{an }
的前项和为

D.

log 2 a ? log 2 b ? ?2

9.已知等差数列

Sn

,若 M 、 N 、 P 三点共线, O 为坐标原点,且

???? ???? ? ??? ? ON ? a15 OM ? a6 OP
A. 15

(直线 MP 不过点 O ),则 B. 10

S 20

等于

( D. 20



C. 40

? ? 0, ? ? 上为减函数, 10.已知 f (x) 是定义R在上的偶函数, f (x) 在

1 f ( )=0 2 ,则不
( )

f ( log 1 x)<0
等式
9

的解集为 B. (3,+?)

1 (0, ) 3 A. 1 (0, ) ? (3,+?) 3 C.
x

1 ( ,1) ? (3,+?) D. 3

11.已知函数 f (x) ? m(x ? 2m)(x+m+3),g (x)=2 ? 2 ,若对于任一实数 x , f (x) 与 g (x ) 至少有一个为负数,则实数 m 的取值范围是 A. ( ? 4, ? 1) B. ( ? 4,0) ( )

1 (0, ) 2 C.

1 ( ? 4, ) 2 D.

?x ? y ≥ 3 ? ? x ? y ≥ ?1 x y z ? ? (a ? 0, b ? 0) ?2 x ? y ≤ 3 a b 12.设 x, y 满足约束条件 ? ,若目标函数 的最大值为 10 ,

则 5a ? 4b 的最小值为





13+4 10 10 A.

14+4 10 10 B.

C.10

D.8

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。

13.若 x<0 ,则函数 14.等差数列

f (x)=x 2 +

1 1 ?x? 2 x x 的最小值是




?an ? 中,

a10 ? 0, a11 ? 0,

a11 ? a10

,若

?an ? 的前 n 项和 Sn ? 0, 则 n 的
2

最大值是



?log 1 x, x ? 0 ? f ( x) ? ? 2 若f (m) ? f (?m) ?log 2 (? x), x ? 0 ? 15.设函数 ,则实数 m 的取值范围是



1 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ? , x ? R 、 2 16.已知函数 ,若 ?ABC 内角 A B、C 的对 ?? ? a、b、c ,且 c ? 3, f (C ) ? 0 ,若向量 m ? (1,sin A) 与 n ? (2,sin B) 共线, 边分别为
则 a+b 的值为 .

三.解答题:本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

?? ? ?? ? m ? (a ? c, b), n ? (a ? c, b ? a), 且m ? n ? 0 ,其中 A, B, C 17. (本小题满分10分)已知向量
是 ?ABC 的内角, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边. (1)求角 C 的大小; (2)求 sin A ? sin B 的取值范围.

2 18. (本题满分12分)设 a 为实数,函数 f ( x) ? 2 x ? ( x ? a ) | x ? a | .

(1)若 f (0) ? 1 ,求 a 的取值范围; (2)求 f ( x) 的最小值。

19. (本题满分12分)某小区要建一座八边形的休闲公园,它的主体造型的平面图是由两个 2 相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m 的十字型地域,计划在正方形MNPQ上建一座花 2 坛,造价为4200元/ m ,在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪,造价为210 2 2 元/ m ,再在四个角上铺草坪,造价为80元/ m .受地域影响,AD的长最多能达到 2 3m , 其余的边长没限制. (1)设总造价为 S 元,AD的长为 x m ,试建立 S 关于 x 的函数关系式; (2)当 x 取何值时, S 最小,并求出这个最小值.
3

2 20. (本小题满分12分)在△ABC中, a ? b ? 10 ,cosC是方程 2x ? 3x ? 2 ? 0 的一个根,

求△ABC周长的最小值。

21.数列

{a n }

的前 n 项和记为

? (S , a ) Sn a1 ? t , ,点 n n ?1 在直线 y ? 2 x ? 1 上, n ? N .

(1)当实数 t 为何值时,数列

{a n }

是等比数列?

1 } bn ? log3 an?1 Tn bn ? bn ?1 的前 n 项和,求 T2012 的 (2)在(1)的结论下,设 ,且 是数列 {
值.

22. (本小题满分12分)已知数列 和.

{bn }

满足

bn+ 1 =

7 1 1 b1 = bn + 2 , Tn 为 {bn } 的前 n 项 2 4 ,且

(1)求证:数列

{bn -

1 } 2 是等比数列,并求 {bn } 的通项公式;

12k ? 2n 7 12 + n - 2Tn (2) 如果对任意 n ? N , 不等式 恒成立, 求实数 k 的取值范围.
?

4

2012-2013学年渑池高中第一学期期中试题 高二数学(理)答案 1) 一.CDBD CDAD BCBD , 16. 3 3 , ? ? ? 2 2 2 17. 解: (1)由 m ? n ? 0 得 (a ? c)(a ? c) ? b(b ? a) ? 0 ? a ? b ? c ? ab , ??2分 二.13.4 , 14. 19 , 15.

? ?1, 0 ? ? ?1, +? ?

cos C ?
由余弦定理得

a 2 ? b2 ? c 2 ab 1 ? ? 2ab 2ab 2 。

????????4分

?0 ? C ? π ,
?C ?
(2)

?C ?

π 3。

??????6分

π 2π 2π ?A? B ? ? sin A ? sin B ? sin A ? sin( ? A) 3, 3 , 3

? sin A ? sin

2π 2π cos A ? cos sin A 3 3
???8分

3 3 3 1 π ? sin A ? cos A ? 3( sin A ? cos A) ? 3 sin( A ? ) 2 2 2 2 6

?0 ? A ?

2π π π 5π 1 π ? ? A? ? ? ? sin( A ? ) ? 1 3 , 6 6 6 , 2 6 ,

?

3 π 3 ? sin A ? sin B ? 3 ? 3 sin( A ? ) ? 3 2 6 ,即 2 . ????10分

?a ? 0 ? a | a |? 1 ? ? 2 ? a ? ?1 f (0) ? 1 ,则 ?a ? 1 18.解: (1)若 .
f ( x) min
2 ? f (a ), a ? 0 ?2a , a ? 0 ? ? 2 ?? a ? ? 2a ,a ? 0 ? f ( 3 ), a ? 0 ? ? ? 3 ;

(2)当 x ? a 时, f ( x ) ? 3 x ? 2ax ? a ,
2 2

2 2 当 x ? a 时, f ( x ) ? x ? 2ax ? a ,

f ( x) min

2 ? ? f (? a ), a ? 0 ??2a , a ? 0 ?? ?? 2 ? 2a , a ? 0 , ? f (a ), a ? 0 ?

f ( x) min
综上

??2a 2 , a ? 0 ? ? ? 2a 2 ,a ? 0 ? ? 3 .

19. 解(Ⅰ)由题意可得

1 ? 200 ? x 2 ? ? ? 80 S ? 4200x ? 200 ? x ? 210 ? 4 ? ? 2 ? 4x ? ? ?
2

?

2

?

2

5

? 4000x 2 ?

400000 ? 38000 x2

?0 ? x ? 2 3 ?

(Ⅱ) S

? 4000x 2 ?

400000 400000 2 ? 38000 ? 38000? 2 4000x ? 2 x2 x

? 80000? 38000 ? 118000

当且仅当

4000x 2 ?

400000 , x2 即 x ? 10 时,“=”成立.

答:当 x ? 10 m时, S 最小,最小值为 118000元.

20.解:?2x ? 3x ? 2 ? 0 ,
2

? x1 ? 2, x2 ? ?

1 2。 ? cos C ? ? 1 2。

又? cos C 是方程 2x ? 3x ? 2 ? 0 的一个根,
2

? 1? 2 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? ? ? ? ? ?a ? b ? ? ab ? 2? 由余弦定理可得, ,


c 2 ? 100 ? a ?10 ? a ? ? ?a ? 5? ? 75 。
2

当 a ? 5 时,c最小且 c ? 75 ? 5 3 ,此时 a ? b ? c ? 10? 5 3 ,

? △ABC周长的最小值为 10 ? 5 3 。
21.解: (Ⅰ)由题意得 两式相减得

an?1 ? 2Sn ? 1



an ? 2Sn?1 ? 1 (n ? 2)
,??4分

??1分

a n ?1 ? a n ? 2 a n , 即 a n ?1 ? 3a n ( n ? 2)

{a } 所以当 n ? 2 时, n 是等比数列,

a 2 2t ? 1 ? ?3 t n ? 1 时, {a n } 是等比数列,则只需 a1 要使 ,从而 t ? 1 . ??7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得知

an ? 3n ?1



bn ? log 3 an ?1 ? n

,??9分

?

1 1 1 1 ? ? ? bn ? bn ?1 (n ? 1)n n n ? 1 ??10分
1 1 1 1 1 1 1 1 2012 ? ??? ? ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )=1 ? = b1b2 b2012b2013 2 2 3 2012 2013 2013 2013

T2012 ?
12分

6

1 1 1 1 1 bn ?1 ? bn ? bn ?1 ? ? (bn ? ) 2 4 ,所以 2 2 2 22.解: (Ⅰ) 对任意 n ? N ,都有
*

1 1 1 {bn ? } b1 ? ? 3 2 成等比数列,首项为 2 则 ,公比为 2 ????2分 bn ? 1 1 1 1 ? 3 ? ( ) n ?1 bn ? 3 ? ( ) n ?1 ? 2 2 2 2 ????4分 ,∴

所以

1 1 bn ? 3 ? ( ) n ?1 ? 2 2 (Ⅱ) 因为

Tn ? 3(1 ?
所以

1 1 1 n ? 2 ? ... ? n ?1 ) ? ? 2 2 2 2

3(1 ?

1 ) 2n ? n ? 6(1 ? 1 ) ? n 1 2 2n 2 1? 2 ????6分

12k 2n ? 7 ? 2n ? 7 k? (12 ? n ? 2Tn ) 2n 对任意 n ? N* 恒成立????7分 因为不等式 ,化简得
cn ? 2n ? 7 2(n ? 1) ? 7 2n ? 7 9 ? 2n cn ?1 ? cn ? ? ? n ?1 n 2 ,则 2n ?1 2n 2 ????8分
cn ?1 ? cn {cn }
, 为单调递减数列,当 1 ? n ? 5 ,



当n ? 5,

cn ?1 ? cn {cn }
,

为单调递增数列

1 3 3 ? c4 ? c5 ? 16 32 ,所以, n ? 5 时, cn 取得最大值 32 ????11分 k?
所以, 要使

2n ? 7 3 k? * n 2 对任意 n ? N 恒成立, 32 ????12分

7


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