广东省广州市执信中学2015届高三上学期期中考试数学(理)

2014-2015学年度第一学期

高三级理科数学科期中考试试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分,共10页,满分为150分。考试用时 120分钟。 注意事项:1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的 姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上,用2B铅笔将自 己的学号填涂在答题卡上。 2、选择题每小题选出答案后,有2B铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案;不能答在 试卷上。 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答,答 案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上,超出指定区域的答 案无效;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使 用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。 第一部分选择题(共40分) 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若集合,且,则集合可能是( ) A. B. C. D. 2.下列说法正确的是( ) 2 A.命题“若x =1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1” B.命题“?x≥0,x2+x-1<0”的否定是“?x0<0,x+x0-1< 0” C.命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为假命题 D.若“”为真命题,则p,q中至少有一个为真命题 3.已知数列{}为等差数列,公差,为其前n项和.若,则=( ) A. B. C. D. 4.将正方形(如图1所示)截去两个三棱锥,得到图2所示的几何体, 则该几何体的左视图为()

5.在中,已知,则的面积是( ) A. B. C.或 D. 6.设曲线在点处的切线与直线垂直,则( ) A. B. C. D. 7.在中,点在上,且,点是的中点,若,,则( A. B. C. D. 8.已知函数



,把函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式 为(  ) A. B. C. D.

第二部分非选择题(共 110分) 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) (一)必做题(9 ~ 13题) 9.已知复数 (其中 , 是虚数单位),则 的值为 10.若,则常数T的值为________.

11.设满足约束条件,则的最大值是 . 12.已知的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56:3, 则



C y x O A B
13.如图,在平面直角坐标系中,点A为椭圆 E :的左顶点,B、C在椭圆上, 若四边形OABC为平行四边形,且∠OAB=30°,则椭圆E的离心率等于 . (二)选做题(14 ~ 15题,考生只能从中选做一题) 14.在极坐标系中,曲线与的公共点到极点的距离为__________
F A E D B C

15.如图,已知圆中两条弦与相交于点, 是延长线上一点,且, ,若与圆相切, 则线段的长为 .

三、解答题(本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤) 16.(本小题满分13分) 已知函数. (Ⅰ)用五点作图法列表,作出函数在上的图象简图. (Ⅱ)若,,求的值. 17.(本小题满分14分)在三棱柱ABC—A1B1C1中,已知,,

在底面的射影是线段的中点. (Ⅰ)证明:在侧棱上存在一点, 使得⊥平面,并求出的长; (II)求二面角的余弦值. 18.(本小题满分14分)袋中装着标有数学1,2,3,4,5的小球各2 个,从袋中任取3个小球,每个小球被取出的可能性都相等,用表示取 出的3个小球上的最大数字,求:(Ⅰ)取出的3个小球上的数字互不相 同的概率; (Ⅱ)随机变量的概率分布和数学期望; 19.(本小题满分12分)已知,点在函数的图像上,其中 (Ⅰ)证明:数列是等比数列; (Ⅱ)设,求 (Ⅲ)记,求数列的前项和 20.(本小题满分13分)已知椭圆

的离心率为 ,过 的左焦点 的直线 被圆 截得的弦长为

. (Ⅰ)求椭圆 的方程; (Ⅱ)设 的右焦点为 ,在圆 上是否存在点 ,满足 ,若存在,指出有几个这样的点(不必求出点的坐标);若不存在,说明 理由.

21.(本小题满分14分)设函数. (Ⅰ)当时,判断函数的单调性,并加以证明; (Ⅱ)当时,求证:对一切恒成立; (Ⅲ)若,且为常数,求证:的极小值是一个与无关的常数.

2014-2015学年度第一学期 班级:_______________姓名:_______________学号: _______________ O?????????????????????? 密?????????????????????? O?????????????????????? 封 ?????????????????????? O?????????????????????? 线??????????????????????O

高三级理科数学期中考试答卷
注意事项:1、本答卷为第二部分非选择题答题区。考生必须用黑色字迹的 钢笔或签字笔在各题目指定区域内的相应位置上答题,超出指 定区域的答案无效。 2、如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用 铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效。 题 号 得 分 二、填空题 选择 题 填空 题 16 17 18 19 20 21 总 分

9. ; 10. ; 11. 13. ; 14. ; 15. 三、解答题 16.(本小题满分13分)

;12. ;



17.(本小题满分14分)

18.(本小题满分14分)

??????O

19.(本小题满分12分)

20.(本小题满分13分)

21.(本小题满分14分)

期中考试答案: 1-8 ADBB CDBB 9.2 13. 14. 10.3 11.5 12.10

(2) 17. 解:(本题满分14分) (Ⅰ)证明:连接AO,再中,作于点E,因为,所以, 因为,所以,所以,所以

又得. (Ⅱ)如图,分别以OA,OB, 所在直线为x,y,z轴

,建立空间直角坐标系,则, 由,得点E的坐标是, 由(Ⅰ)知平面的一个法向量为 设平面的法向量是, 由得可取, 所以. 18.(本小题满分14分) 解(Ⅰ) 一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A,一次取出的 3个小球上有两个数字相同的事件记为B,则事件A和B是对立事件。 , 答:一次取出的3个小球上的数字互不相同的概率为………….5分 (2)由题意 , 所以随机变量的概率分布列为 2 3 P ………….14分 19.(本题满分12分) 解:(Ⅰ)由已知, ,两边取对数得 ,即 是公比为2的等比数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 (*) = 由(*)式得 (Ⅲ) 又 20. (本题满分13分)解:(1)因为直线 的方程为 ,令 ,得 ,即

4

5

……1分 ∴ ,又∵ ,∴ , ∴ 椭圆 的方程为 .……………4分 (2)存在点P,满足 ∵ 圆心 到直线 的距离为 , 又直线 被圆 截得的弦长为 , ∴由垂径定理得

, 故圆 的方程为 .…………8分 设圆 上存在点 ,满足 即 ,且 的坐标为 , 则 , 整理得 ,它表示圆心在 ,半径是 的圆。 ∴ ………………12分 故有

,即圆 与圆 相交,有两个公共点。 ∴圆 上存在两个不同点 ,满足 .………14分 21. (本题满分14分)(1)当时, ,所以函数在上是单调减函数 (2)当时, ,令,则 所以函数在上是单调减函数,在上是单调增函数 所以当时,函数取得最小值,最小值为 所以恒成立 (3), 令,得,, 所以函数在上是单调减函数,在上是单调增函数 所以,而是与无关的常数, 所以的极小值是一个与无关的常数.


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