高中数学必修4教学课件3.1.2《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》课件_图文

3.1.2 两角和与差的正弦、 余弦、正切公式 问题提出 cos(? ? ? ) ? cos?cos? ? sin ?sin ? 1.两角差的余弦公式是什么?它有哪些 基本变式? cos? ? cos[(? ? ? ) ? ? ] ? cos(? ? ? )cos? ? sin( ? ? ? )sin ? cos? ? cos[(? ? ? ) ? ? ] ? cos(? ? ? )cos? ? sin( ? ? ? )sin ? (cos a ?cos b )2 ? (sin a ? sin b )2 ? 2 cos(a ?b ) ? 2 2 ? [(cos? ? cos? ) 2 ? (sin ? ? sin ? ) 2 ] cos(? ? ? ) ? 2 2.利用两角差的余弦公式固然能解决一 些问题,但范围太窄,我们希望在此基 础上获取一系列有应用价值的公式,实 现资源利用和可持续发展战略. 3.有了两角差的余弦公式,自然想得到 两角差的正弦、正切公式,以及两角和 的正弦、余弦、正切公式,对此,我们 将逐个进行探究,让希望成为现实. 探究(一):两角和与差的基本三角公式 思考1:注意到α +β =α ―(―β ),结 合两角差的余弦公式及诱导公式, cos(α +β )等于什么? cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ . 思考2:上述公式就是两角和的余弦公式, C( 记作 ,该公式有什么特点?如何 a? b) 记忆? 思考3: p 诱导公式 sin( ?a ) ?cosa 2 可以实 现由正弦到余弦的转化,结合 C ( a ?b ) 和 C ( a ?b ) 你能推导出sin(α +β ), sin(α -β )分别等于什么吗? sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ sin(α -β )=sinα cosβ -cosα sinβ 思考4:上述公式就是两角和与差的正 S ( a ?b ) ,这两 弦公式,分别记作 S ( a ?b ) , 个公式有什么特点?如何记忆? 思考5:正切函数与正弦、余弦函数之间 C ( a ?b ) 出发, 存在商数关系,从 S ( a ?b ) 、 tan(α +β )、tan(α -β )分别与tanα 、 tanβ 有什么关系 t an a ?t an b t an( a ?b ) ? , 1 ?t an a t an b t an a ?t an b t an(a ?b ) ? . 1 ?t an a t an b 思考6:上述公式就是两角和与差的正切 T ( a ?b ) ,这两 公式,分别记作 T ( a ?b ), 个公式有什么特点?如何记忆?公式成 立的条件是什么? 思考7:为方便起见,公式S ( a ?b ) , C ( a ?b ) , T ( a ?b ) 称为和角公式,公式S ( a ?b ) , C a ?b , T ( a ?b ) 称为差角公式.怎样理解这6个公 式的逻辑联系? C (α -β ) T (α -β ) S (α -β ) S (α +β ) C (α +β ) T (α +β ) 探究(二):两角和与差三角公式的变通 思考1:若cosα+cosβ=a,sinα-sinβ= b,则cos(α+β)等于什么? a 2 ?b2 ? 2 cos(a ?b ) ? 2 思考2:若sinα+cosβ=a,cosα+sinβ= b,则sin(α+β)等于什么? a 2 ?b2 ? 2 sin(a ?b ) ? 2 思考3:根据公式 ,tanα +tanβ 可变形为什么? tanα+tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ) 思考4:在△ABC中,tanA,tanB,tanC 三者有什么关系? tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC T? ? ? 思考5:sinx+cosx能用一个三角函数表 示吗? p sin x ?cos x ? 2 sin(x ? ) 4 理论迁移 3 例1 已知 sin ? ? ? ,α 是第四象限角, 5 ? p ? 求 cos( ? ? ) , sin( ? ? ) , t an( a ? ) 的值. 4 4 4 例2 求下列各式的值: (1)cos75°; (2 )sin20°cos50°-sin70°cos40°; 1 ? t an 15 (3 ) ? ; 1 ?t an 15 ? (4)tan17°+tan28°+tan17°tan28° 例3 sin(2a ?b ) sin b 求证: sin a ?2 cos(a ?b ) ? sin a . 小结作业 1.两角差的余弦公式 C? ? ? 是两角和与 差的三角系列公式的基础,明确了各公 式的内在联系,就自然掌握了公式的形 成过程. C ( a ?b 与 C? ? ? 2.公式 S ( a ?b ) 与 S ( a ?b ) , ) T ( a ?b ) 与 T ( a ?b ) 的结构相同,但运算 符号不同,必须准确记忆,防止混淆. 3.公式都是有灵性的,应用时不能生搬 硬套,要注意整体代换和适当变形. 作业: P131练习:3,4,5,6.

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