函数奇偶性课件2_图文

对函数f(x)=x2,当我们在定义域内任取一对相反数x和 -x时,所对应的函数值什么关系?

猜想 :

f(-x) f(x)=

y
(-x,f(-x)) (x,f(x))

思考:能用函数解析式给出证 明吗?

-x

0

x

x

注意:
函数的图象关于y轴对称

偶函数

观察下面函数图像,看下面函数是偶函数吗?
y y

1
2

x

-1

1
2

x

f ( x) ? x x ? (??,1]

f ( x) ? x x ? (??, ?1] ? [1, ??)

思考: 如果一个函数的图象关于y轴对称, 它的定义域应该有什么特点? 定义域关于原点对称.

注意: 图象关于原点对称
奇函数

观察下面函数图像,看是奇函数吗?
y y

-2

o

-2
2
x

o

3 x

f ( x) ? x, x ? [?2,2]

f ( x) ? x, x ? ?? 2,3?

思考: 如果一个函数的图象关于原点对称, 它的定义域应该有什么特点? 定义域关于原点对称.

4.强化定义,深化内涵

☆对奇函数、偶函数定义的说明:
(1)函数若是奇函数或者偶函数:定义域关于原点对称。 对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个 自变量 [-b,-a] o [a ,b] x

(2)如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函 数f(x)具有奇偶性.既不是奇函数也不是偶函数的函数称为非 奇非偶函数. (3)奇、偶函数定义的逆命题也成立,

即:若函数f(x)为奇函数, 则f(-x)=-f(x)成立。
若函数f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。

判断或证明函数奇偶性的基本步骤:
一看 二找 三判断

看定义域

找关系

下结论

是否关于原点对称

f(x)与f(-x)

奇或偶

注意:若可以作出函数图象的,直接观察图象是否 关于y轴对称或者关于原点对称。

练习

判断下面函数的奇偶性
(1) f(x)=2x4+3x2
(3) f(x)=

(2)

f(x)=x3+2x

x

(4) f(x)=0

(3) f(x)=

x

(4)f(x)=0 解: 定义域为R ∵ f(-x) = 0
0 o

y

解:定义域为 [0 ,+∞) ∵ 定义域不关于 原点对称 ∴f(x)为非奇非偶函数

x

=f(x)
又 f(-x)=0 = - f(x) ∴f(x)为既是奇函数又是偶函数

思考:f(x)=0 定义域[-2,2]也既是奇函数又是偶函数吗?

说明: 函数f(x)=0 (定义域关于原点对称),既是奇函数又是偶 函数。

例2、已知函数y=f(x)是偶函数,它在y轴 右边的图象如图,画出y=f(x)在 y轴左边 的图象.

y

O

x

例2、 已知函数y=f(x)是偶函数,它在y轴 右边的图象如图,画出y=f(x)在 y轴左边 的图象. y 解:

O

x

例2、已知函数y=f(x)是偶函数,它在y轴 右边的图象如图,画出y=f(x)在 y轴左边 的图象. y 解:

O

x

6.课时小结,知识建构
奇偶性 定 义 图 像 性 质 判断 步骤 奇函数 偶函数 设函数y=f(x)的定义域为D,?x ? D ,都有 ? x ? D .

f(-x)=-f(x)

f(-x)=f(x)

y
-a

y
a

o
关于原点对称

x

-a

o

a

x

关于y轴对称

定义域是否关于原点对称.

f(-x)=-f(x)?

f(-x)=f(x)?

7、当堂达标 判断下列函数的奇偶性
(1) f ( x) ? x ? x 3 ? x 5
(2) f ( x) ? x ? 1

(3) f ( x) ? 2
(4) f ( x) ? x 2 , x ? (?2,4]

将下面的函数图像分成两类
y y y y y y

O

x

0

x

0

x

0

x

0

x

0

x

奇函数

偶函数

2、如图所示为偶函数y=f(x)的局部图象,试比较f(1) 与f(3)的大小.

1、如果定义在区间[3-a,5]上的函数f(x)为奇函 数,则a=_____
2、己知函数y=f(x)是偶函数,且在(-∞,0)上 是增函数,则y=f(x)在(0,+∞)上是( ) A. 增函数 B. 减函数 C. 不是单调函数 D. 单调性不确定


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