高中物理竞赛辅导讲义-第10篇-电磁感应

高中物理竞赛辅导讲义
第 10 篇
【知识梳理】 一、法拉第电磁感应定律 闭合电路中感应电动势的大小, 跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。 即 E ? ?? 。 ?t 如果闭合电路由 n 匝线圈组成,则 E ? n ?? 。 ?t 二、动生电动势 因导体在磁场中作切割磁感线的运动而产生的感应电动势叫动生电动势。 E ? BLv sin ? (θ 是 v 与 B 的夹角,v 与 L 垂直,L 与 B 垂直。 ) 动生电动势起因于洛伦兹力。 三、感生电动势 若导体回路不作切割磁感线的运动,但导体回路内的磁感应 强度随时间变化,这时导体回路内产生的电动势叫感生电动势。 感生电动势起因于磁场的变化。磁场随时间变化能激发起电 场。这种电场叫感生电场或涡旋电场。 四、自感现象 当回路中电流发生变化时,它所激发的磁场通过回路自身的磁通量也发生变化,回路 中由此而产生阻碍电流变化的感生电动势。这种现象称为自感现象。自感现象中产生的感 生电动势称为自感电动势。 自感电动势大小
E ? L ?I 。比例系数 L 称为自感系数,简称自感。 ?t

电磁感应

自感电动势的效果是使线圈中电流只能逐渐变化,不能发生突变。 【例题选讲】 1.如图所示,直角三角形 oab,直角边是两根绝缘介质棒,斜边 ab 是一根细金属棒,ob=
1 ab=l。三角形置于匀强磁场中,磁感应强度为 B,方向垂直于三角形平面,并指向纸面 2

内。令三角形绕过 o 点并与 B 平行的轴匀速转动,转动角速度为 ω。求 a 与 b 两点间的电 势差 Uab 为多大? a

o
1

ω

b

2.在如图所示的直角坐标系中,有一塑料制成的半锥角为 θ 的圆锥体 Oab,圆锥体的顶 点在原点 O 处,其轴线沿 Z 轴方向,有一条长为 l 的细金属丝 OP 固定在圆锥的侧面上。 金属丝与圆锥体一条母线重合。整个空间中存在磁感应强度为 B 的均匀磁场,磁场方向沿 X 轴正方向,当圆锥体绕其轴沿图示方向做角速度为 ω 的匀角速转动时: (1)OP 经过何处时两端的电势相等? X O (2)OP 在何处时 P 端的电势高于 O 端? (3)电势差 UPO 的最大值是多少? θ B Y

a ω P Z

b

3.如图所示,在虚线圈范围内有一均匀磁场,磁感应强度 B 正以 0.1T·s?1 均匀减小,今在 这一范围内放置一个金属圆环,使圆环平面垂直于磁场,已知圆环半径 r=0.1m。试问: (1)环内产生的感应电动势大小; (2)环上 a 点处的电场强度大小和方向; (3)若金属环的电阻为 R=2Ω,环内电流多大? (4) 若在环上某一点将环断开, 并把两端点稍稍分开, 环上这两个端点间的电势差多大?

B r

a

2

4.如图所示,在半径为 R 的无限长圆柱形区域内有匀强磁场,磁感应强度 B 的方向与圆 柱的轴平行,在图中垂直纸平面内。一根直导线放在纸平面内,它的 ab 段长度为 R,在磁 场区域内(ab 为圆的一条弦) 。bc 段的长度也为 R,在磁场区域外。设 B 随时间 t 的变化 率为 k,试求此直导线中的感应电动势大小。 B

a

R b

R

c

5.一导线围成半径为 D 的圆环 adbc,在圆环所围区域内有一半径为 D 的圆形区域,其周 2 界与圆环内切于 c 点。 此区域内有均匀磁场, 磁感应强度为 B 垂直于圆面, 方向如图所示。 磁场的磁感应强度随时间增大,其变化率 ?B ? k =常量。导线 ab 是圆环的一条直径,与有 ?t 磁场分布的圆形区域的边界相切。 设导线 ab 以及被其所分割成的两个半圆环的电阻都是 r, 今用一电流计 G 接在 a、b 两点之间,电流计位于纸面内,电流计的内阻亦为 r,连接电流 计的导线电阻忽略不计。设圆形区域外的磁场可忽略不计,试问在下列情况下,通过电流 计的电流 I0 为多少? (1)半圆环 acb 与 adb 都位于纸面内,并分别位于直径 ab 的两侧。 (2)半圆环 adb 绕直径 ab 转过 90°,折成与纸面垂直。 a (3)半圆环再绕直径转 90°,折成与 acb 重合。 c d

G

b

3

6.如图所示,在竖直放置的两平行光滑长直金属导轨上端,接有一个电容为 C、击穿电 压为 Ub 的电容器,有一匀强磁场与两金属导轨平面垂直,磁感应强度为 B,现有一质量为 m、长为 L 的金属杆 ef,在 t=0 时以初速度 v0 沿导轨下滑,试求金属杆下滑多长时间电容 器就被击穿,假设图中任何部分的电阻和电感均可忽略不计。 C e L B f

7.如图所示,两根相距 l=0.5m 的平行无电阻金属导轨 MM′和 NN′,水平放置在方向竖直 向上的匀强磁场中,磁感应强度 B=0.2T。导轨上垂直放置两根金属滑杆 ab 和 cd,它们的 有效电阻均为 R=0.1Ω。金属滑杆 ab 和 cd 在导轨上滑行时受到的摩擦力分别为 f1=0.2N 和 f2=0.1N。今施水平恒力 F 于 ab 杆上,使两杆最终都能以一定速度匀速运动。求: (1)恒力 F 多大? B a c M′ (2) 滑杆 ab 和 cd 匀速运动的速度能否相等?如果不等, M 其速度差是多少? F N N′

d

b

4

8. 两根长度相等、 材料相同、 电阻分别为 R 和 2R 的细导线, 围成一直径为 D 的圆环, P、 Q 为其两个接点,如图所示,在圆环所围成的区域内,存在垂直于圆面、指向纸里的匀强 磁场,磁场的磁感应强度的大小随时间增大,变化率为恒定值 b,已知圆环中的感应电动 势是均匀分布的。设 M、N 为圆环上的两点,MN 间的弧长为圆弧 PMNQ 的一半,试求这 两点间的电压。 R N M

Q

P

2R

9.如图所示,有一由匀质细导线弯成的半径为 a 的圆线圈和一内接等边三角形的电阻丝 组成的电路(电路中各段的电阻值见图) ,在圆线圈平面内有垂直纸面向里的均匀磁场, 磁感应强度 B 随时间 t 均匀减小,其变化率的大小为一已知量 k,已知 2r1=3r2,试求图中 A、B 两点的电势差 UAB。 A r1 r2 r2 r1

C

2r2 r1

B

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10.如图所示,一个电阻为 R 的长方形线圈 abcd 沿着磁针所指的南北方向平放在北半球 的一个水平桌面上。ab 边长为 l1,bc 边长为 l2。现突然将线圈翻转 180°,使 ab 与 dc 互 换位置,可设法测得导线中流过的电量为 Q1。然后维持 ad 边不移动,将线圈围绕 ad 边转 动,使之突然竖直,这次测得导线中流过的电量为 Q2。试求该处地磁场的磁感应强度的大 小。

11.如图所示,一块很长的薄导体平板沿 X 轴放置,板面位于水平位置,板的宽度为 L, 电阻可忽略不计。aebcfd 是圆弧形均匀导线,其电阻为 3R,圆弧所在的平面与 X 轴垂直。 圆弧的两端 a 和 d 与导体板的两个侧面相接触,并可在其上滑动。圆弧 ae=eb=cf=fd=(1/8) 圆周长,圆弧 bc=(1/4)圆周长。一内阻 Rg=nR 的体积很小的电压表位于圆弧的圆心 O 处, 电压表的两端分别用电阻可以忽略的直导线与 b 与 c 点相连。整个装置处在磁感应强度为 B、方向竖直向上的匀强磁场中。当导体板不动而圆弧导线与电压表一起以恒定的速度 v 沿 X 轴方向平移运动时: (1)求电压表的读数。 (2)求 e 点与 f 点的电势差 Uef。

6

12.如图所示,有一个匀质细导线弯成的半径为 a 的圆线圈和三条弦 AB,BC,CD 的电 阻丝组成的电路,三条弦长满足 AB=BC=CD= 2 a。电路中各段电阻值示于图中。在圆平 面内有垂直纸面向里的均匀磁场,磁感应强度 B 随时间 t 均匀减小,其变化率的大小为一 已知常量 k。已知 2r1=r2=2r。试求图中 A,C 两点间的电势差 UAC。 r1 A r1 B r2 O 2r2 r1 r2 C D r1

13.如图所示,一长直螺线管中部外(图中粗线小圆为螺线管中部的横截面)套一导线圆 环,环平面与图中螺线管截面同心,并处在同一平面内。导线圆环由电阻不同的两半圆环 组成,阻值 R1 和 R2 未知。在两环的结合点 A 与 B 之间接三个电阻均为纯电阻的伏特表, 且导线 A?V0?B 准确地沿圆环直径安放,而导线 A?V1?B 和 A?V2?B 分置螺线管两边,长 度不限,也不必全部处在图示平面内。螺线管中通有交变电流时发现,V0 示数为 U0=5V, V1 示数为 U1=10V。试问 V2 示数为多少?螺线管外的磁场以及电路电感均忽略不计。 A

V 1 R1 V0 B

R2 V 2

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14.如图所示,PQQnPn 是由若干正方形导线方格 PQQ1P1,P1Q1Q2P2,P2Q2Q3P3,……, Pn?1Qn?1QnPn 构成的网络,方格每边长度 l=10.0cm,边 QQ1,Q1Q2,Q2Q3,……与边 PP1, P1P2,P2P3,……的电阻都等于 r,边 PQ,P1Q1,P2Q2,……的电阻都等于 2r,已知 PQ 两点间的总电阻为 Cr,C 是一已知数,在 x>0 的半空间分布有随时间 t 均匀增加的匀强磁 场,磁场方向垂直于 Oxy 平面并指向纸里。今令导线网络 PQQnPn 以恒定的速度 v=5.0m/s 沿 x 轴方向运动并进入磁场区域,在运动过程中方格的边 PQ 始终与 y 轴平行,若取 PQ 与 y 轴重合的时刻为 t=0,在以后任一时刻 t 磁场的磁感应强度为 B=B0+bt,式中 t 的单位 为 s,B0 为已知恒量,b=0.10B0。求 t=2.5s 时刻,通过导线 PQ 的电流(忽略导线网络的自 感) 。 y Qn Qn?1 Q4 Q3 Q2 Q1 Q v Pn Pn?1 P4 P3 P2 P1 P O B

x

15.一条导线 MN 和一半径为 r 的金属圆环彼此重叠于光滑水平面上,直导线 MN 固定不 动,距金属圆环圆心 O 的距离为 r/2,静止金属圆环与直导线的交点接触良好。空间存在 一垂直水平面的均匀磁场,磁感应强度为 B0,方向如图所示。求当磁场迅速撤除后,金属 环的速度。设直导线和金属环单位长度的电阻为 r0,金属环单位的质量为 m0。 B0 O r/2 r N M

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16.在如图所示的电路中,已知两电阻阻值分别为 R1、R2,线圈自感系数 L(直流电阻不 计)和电源电动势 E(内阻不计) 。 (1)求电键 K 接通瞬间,ab 间的电压、流经 R1 和 R2 的电流强度以及线圈自感电动势。 (2)电路稳定后,电键 K 突然打开瞬间,ab 间的电压、电流以及线圈自感电动势。

17.如图所示电路中,已知电感 L,电阻 R,电源电动势 E,电源内阻 r。开始时电键 K 断 开,求电键闭合后通过电阻的电量。设线圈内阻不计。

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18.如图所示的电路中,已知 E、R、r、L,电源内阻不计,电感内阻为 r。求闭合电键 K 后,有多少电量通过无电阻导线 ab?

19.如图所示,在开关 K 断开时,给电容量为 C 的电容器上充上电量 Q。闭合开关 K 后, 问电感量为 L1 和 L2 的线圈中最大电流各是多少?

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20. 假想有一水平方向的匀强磁场, 磁感应强度 B 很大。 有一半径为 R、 厚度为 d (d<<R) 的金属圆盘,在此磁场中竖直下落,盘面始终位于竖直平面内并与磁场方向平行,如图所 示。若要使圆盘在磁场中下落的加速度比没有磁场时减小千分之一(不计空气阻力) ,试 3 估算所需磁感应强度的数值。假定金属盘的电阻为零,并设金属盘的密度 ρ=9×10 kg/m3, 其介电常数为 ε=9×10?12C2/N·m2。 R

B

21.用直径为 1mm 的超导体材料制成的导线做成一个半径为 5cm 的圆环,圆环处于超导 状态,环内电流为 100A,经过一年,经检测发现,圆环内电流的变化量小于 10?6A,试估 算该超导体材料电阻率的上限。提示:半径为 r 的圆环中通以电流 I 后,圆环中心的磁感 应强度为 B ?

?0 I
2r

(μ0=4π×10?7N·A?2) ,式中 B、I、r 各量均用国际单位。

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22.如图所示,两个半径不等的用细金属导线做成的同心圆固定在水平的桌面上。大圆环 半径为 R1。小圆环表面绝缘,半径为 R2(R2<<R1) ,两圆环导线每单位长度电阻均为 r0, 它们处于匀强磁场中,磁感应强度大小为 B,方向竖直向下。一每单位长度电阻为 r1 的长 直金属细杆放在大圆环平面上,并从距圆环中心左侧为 R1/100(>R2)的 ab 位置,以速度 v 匀速向右沿水平面滑动到相对于大圆环中心与 ab 对称的位置 cd,滑动过程中金属杆始 终与大圆环保持密接。假设金属杆和大圆环的电流在小圆环处产生的磁场均可视为匀强磁 场。试求在上述滑动过程中通过小圆环导线横截面的电荷量。 提示:当半径为 R、长度为 l 的一段圆弧导线通有电流 I 时,圆弧电流在圆心处产生的磁 感应强度大小为 B= km Il2 , 方向垂直于圆弧所在平面且与圆弧电流的方向满足右手螺旋法 R 则;无限长直导线通有电流 I 时,电流在距直导线距离为 r 处产生的磁感应强度 B 的大小 为 B= km 2 I ,其中 km 是已知常量。 r a v R1 R2 c

b

d

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