均值不等式求最值的类型及方法 -


高三第一轮复习——用均值不等式求最值的类型及方法
一、几个重要的均值不等式

a2 ? b2 (a、b ? R), ① a ? b ? 2ab ? ab ? 当且仅当 a = b 时,“=”号成立; 2
2 2

② a ? b ? 2 ab ? ab ? ?

?a?b? ? 当且仅当 a = b 时,“=”号成立; ? (a、b ? R ), ? 2 ?

2

③ a ? b ? c ? 3abc ? abc ?
3 3 3

a3 ? b3 ? c3 当且仅当 a = b = c 时,“=”号成立; (a、b、c ? R ? ), 3
3

?a?b?c? ? ④ a ? b ? c ? 3 abc ? abc ? ? ? (a、b、c ? R ) ,当且仅当 a = b = c 时,“=”号成立. 3 ? ?
3

注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”; ② 熟悉一个重要的不等式链:

2 1 1 ? a b

? ab ?

a?b ? 2

a 2 ? b2 。 2

三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ:求几个正数和的最小值。 例 1、求函数 y ? x ?

1 ( x ? 1) 的最小值。 2( x ? 1) 2

解析: y ? x ?

1 1 x ?1 x ?1 1 ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? ? 1( x ? 1) ? ? ? ? 1( x ? 1) 2 2 2( x ? 1) 2( x ? 1) 2 2 2( x ? 1)2
3 5 x ?1 x ?1 1 ? ? ?1 ? ? 1 ? , 2 2 2 2 2 2( x ?1)
5 x ?1 1 ? ( x ? 1) 即 x ? 2 时,“=”号成立,故此函数最小值是 。 2 2 2 2( x ? 1)

? 33

当且仅当

评析:利用均值不等式求几个正数和的最小值时,关键在于构造条件,使其积为常数。通常要通过添 加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。 类型Ⅱ:求几个正数积的最大值。 例 2、求下列函数的最大值:
2 ① y ? x (3 ? 2 x )(0 ? x ?

3 ) 2

解析:①

3 ,∴3 ? 2 x ? 0 , 2 3 x ? x ? (3 ? 2 x) 3 2 ] ? 1, ∴ y ? x (3 ? 2 x)(0 ? x ? ) ? x ? x ? (3 ? 2 x) ? [ 2 3 当且仅当 x ? 3 ? 2 x 即 x ? 1 时,“=”号成立,故此函数最大值是 1。 0? x?

评析:利用均值不等式求几个正数积的最大值,关键在于构造条件,使其和为常数。通常要通过乘以 或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式子) 、平方等方式进行构造。
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类型Ⅲ:用均值不等式求最值等号不成立。

4 (0 ? x ? 1) 的最小值。 x b 4 解法一: (单调性法) 由函数 f ( x) ? ax ? ( a、b ? 0) 图象及性质知, 当 x ? (0,1] 时, 函数 f ( x) ? x ? 是 x x
例 3、若 x、y ? R ,求 f ( x) ? x ?
?

减函数。证明:任取 x1 , x2 ? (0,1] 且 0 ? x1 ? x2 ? 1 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? (

x ?x x x ?4 4 4 , ? ) ? ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 2 1 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2

∵ 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,∴ x1 ? x2 ? 0, 即 f ( x) ? x ?

x1 x2 ? 4 ? 0 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) , x1 x2

4 在 (0,1] 上是减函数。 x 4 故当 x ? 1 时, f ( x) ? x ? 在 (0,1] 上有最小值 5。 x
评析:求解此类问题,要注意灵活选取方法,特别是单调性法、导数法具有一般性,配方法及拆分法 也是较为简洁实用得方法。 类型Ⅳ:条件最值问题。 例 4、已知正数 x、y 满足

8 1 ? ? 1 ,求 x ? 2 y 的最小值。 x y
8 x 1 y x 16 y x 16 y ? ? 10 ? 2 ? ? 18 , y x y x

解法一: (利用均值不等式) x ? 2 y ? ( ? )( x ? 2 y) ? 10 ?

?8 1 ?x ? y ?1 当且仅当 ? 即 x ? 12, y ? 3 时“=”号成立,故此函数最小值是 18。 ? x 16 y ? ? ? x ?y
评析:此类问题是学生求解易错得一类题目,解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法:

8 1 8 1 x ? 2 y ? ( ? )( x ? 2 y) ? 2 ? ? x ? 2 y ? 8 。原因就是等号成立的条件不一致。 x y x y
四、均值不等式易错例析: 例 1. 求函数 y ? 错解: y ?

? x ? 4?? x ? 9? 的最值。 x

? x ? 4?? x ? 9? x 2 ? 13x ? 36 36 36 ? ? 13 ? x ? ? 13 ? 2 x ? ? 25 x x x x
36 即 x ? ?6 时取等号。所以当 x ? ?6 时,y 的最小值为 25,此函数没有最大值。 x

当且仅当 x ?

分析: 上述解题过程中应用了均值不等式, 却忽略了应用均值不等式求最值时的条件, 两个数都应大于零, 因而导致错误。因为函数 y ?

? x ? 4?? x ? 9? 的定义域为 ???,0? ??0, ? ?? ,所以必须对 x 的正负加以 x
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分类讨论。 正解:1)当 x ? 0 时, y ? 13 ? x ? 当且仅当 x ?

36 36 ? 13 ? 2 x ? ? 25 x x

36 即 x ? 6 时取等号。所以当 x ? 6 时, ymin ? 25 x 36 36 36 ?? ? ? ? 2 ?? x ?? ?? ? ? ? 12 ? 0 , ?? x ? ? ? ? x? ? x? x

2)当 x ? 0 时, ? x ? 0 , ?

? y ? 13 ? [( ? x) ? (?
当且仅当 ? x ? ?

36 )] ? 13 ? 12 ? 1 x

36 ,即 x ? ?6 时取等号,所以当 x ? ?6 时, ymax ? 13 ? 12 ? 1. x 9 例 2. 当 x ? 0 时,求 y ? 4 x ? 2 的最小值。 x
错解:因为 x ? 0 ,y ? 4 x ?

9 9 6 ? 2 4x ? 2 ? 2 x x x

所以当且仅当 4 x ?

3 9 6 9 ? 2 3 18 。 x ? 即 时, y min ? 2 x x 4

分析:用均值不等式求“和”或“积”的最值时,必须分别满足“积为定值”或“和为定值”,而上述解法中 4 x 与

9 的积不是定值,导致应用错误。 x2
正解:因为 x ? 0 ,y ? 4 x ?
3 9 9 9 ? 2 x ? 2 x ? ? 3 2 x ? 2 x ? 2 ? 33 36 2 2 x x x 3 3 36 36 时等号成立,所以当 x ? 时, ymin ? 33 36 。 2 2

当且仅当 2 x ?

9 ,即 x ? x2

例 3. 求 y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

( x ? R) 的最小值。

错解:因为 y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

? x2 ? 4 ?

1 x2 ? 4
1 x ?4
2

?2

x2 ? 4 ?

1 x2 ? 4

? 2 ,所以 ymin ? 2
2

分析:忽视了取最小值时须 x ? 4 ?
2

成立的条件,而此式化解得 x ? ?3 ,无解,所以原函数

y 取不到最小值 2 。
正解:令 t ?

1 x 2 ? 4 ?t ? 2? ,则 y ? t ? (t ? 2 ) t 1 5 又因为 t ? 1 时, y ? t ? 是递增的。所以当 t ? 2 ,即 x ? 0 时, y min ? 。 t 2

-3-

例 4.已知 x, y ? R ? 且

1 4 ? ? 1 ,求 u ? x ? y 的最小值. x y

错解:?1 ?

1 4 4 ? ? ? xy ? 4 ,?u ? x ? y ? 2 xy ? 8 ,? u 的最小值为 8 . x y xy
1 4 ? 和 x ? y ,而这两个式子不能同时成立, x y

分析:解题时两次运用均值不等式,但取等号条件分别为 故取不到最小值 8 . 正解: u ? ( x ? y )( ?

1 x

4 4x y ) ? 5? ? ? 5?4 ? 9 y y x

当且仅当

4x y ? 即 x ? 3, y ? 6 时等号成立. ? u 的最小值为 9 . y x

综上所述,应用均值不等式求最值要注意: 一要正:各项或各因式必须为正数; 二可定:必须满足“和为定值”或“积为定值”,要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构,如果找不 出“定值”的条件用这个定理,求最值就会出错; 三能等:要保证等号确能成立,如果等号不能成立,那么求出的仍不是最值。

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