2015-2016学年福建省厦门外国语学校海沧附属学校九年级(上)期中数学试卷(含解析)


2015-2016 学年福建省厦门外国语学校海沧附属学校九年级 (上) 期中数学试卷
一、选择题(本大题有 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.每小题都有四个选项, 其中有且只有一个选项正确) 1. (4 分)下列四个图形中,是中心对称图形的是( )

A.

B.

C.

D. 的图象上的是( )

2. (4 分)下列四个点中,在反比例函数

A. (3,﹣2) B. (3,2) C. (2,3) D. (﹣2,﹣3) 3. (4 分)关于 x 的一元二次方程(a﹣1)x2+x+a2﹣1=0 的一个根是 0,则 a 的 值是( ) C.1 或﹣1 D.﹣1 或 0

A.﹣1 B.1

4. (4 分)若⊙O 的直径为 10cm,点 A 到圆心 O 的距离为 4cm,那么点 A 与⊙ O 的位置关系是( )

A.点 A 在圆外 B.点 A 在圆上 C.点 A 在圆内 D.不能确定 5. (4 分)用配方法解方程 x2﹣2x﹣1=0 时,配方后所得的方程为( A. (x﹣1)2=2 B. (x﹣1)2=0 C. (x+1)2=2 6. (4 分)由二次函数 y=2(x﹣3)2+1,可知( D. (x+1)2=0 ) )

A.其图象的开口向下 B.其图象的对称轴为直线 x=﹣3 C.其最小值为 1 D.当 x<3 时,y 随 x 的增大而增大 )

7. (4 分)下列说法正确的是( A.等边三角形是中心对称图形 B.三点可以确定一个圆 C.矩形的四个顶点一定共圆

D.三角形三条角平分线的交点为三角形的外心 8. (4 分)如果反比例函数 y= 在每个分支上函数值 y 随自变量 x 的增大而减

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小,那么 m 的取值范围是(



A.m>﹣1 B.m≥﹣1 C.m<﹣1 D.m≤﹣1 9. (4 分) 生物兴趣小组的学生, 将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件, 全组共互赠了 182 件,如果全组有 x 名同学,则根据题意列出的方程是( A.x(x+1)=182 ×2 10. (4 分)如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的一部分,对称轴是直线 x=1. ①b2>4ac; ②4a﹣2b+c<0; ③不等式 ax2+bx+c>0 的解集是 x≥3.5; ④若(﹣2,y1) , (5,y2)是抛物线上的两点,则 y1<y2. 上述 4 个判断中,正确的是( ) B.x(x﹣1)=182 C.x(x+1)=182×2 )

D. ( x x﹣1) =182

A.①②

B.①④

C.①③④ D.②③④

二、填空题(本大题有 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11. (4 分)点(2,﹣6)关于原点对称的点的坐标是 .

12. (4 分)若将抛物线 y=x2 向右平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位,则所得 抛物线的表达式为 .

13. (4 分)如图,△ABC 内接于⊙O,AC 是⊙O 的直径,∠ACB=50°,点 D 是 上一点,则∠D= 度.

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14. (4 分)正方形 ABCD 内一点 P,AB=5,BP=2,把△ABP 绕点 B 顺时针旋转 90°得到△CBP′,则 PP′的长为 .

15. (4 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,P 是 AD 上的一个动点,且与 A、D 不重合,过 C 作 CQ⊥PB,垂足为 Q,设 BP 为 x,CQ 为 y,请写出 y 关于 x 的函数关系式 .

16. (4 分)二次函数 y=

x2 的图象如图,点 O 为坐标原点,点 A 在 y 轴的正半 x2 的图象上, 四边形 OBAC 为菱形, 且∠OBA=120°, .

轴上, 点 B、 C 在二次函数 y= 则菱形 OBAC 的面积为

三、解答题(本大题有 11 小题,共 86 分) 17. (12 分)解方程: (1)x2+2x﹣5=0; (2)x(x﹣8)=16 (3) (x﹣2)2﹣4=0. 18. (7 分)如图,作出△ABC 关于点 O 成中心对称的三角形. (保留作图痕迹)
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19. (7 分)已知二次函数图象的顶点坐标为(1,﹣1) ,且经过原点(0,0) , 求该函数的解析式. 20. (7 分)如图,水平放置的一个油管的截面半径为 13cm,其中有油部分油面 宽 AB 为 24cm,求截面上有油部分油面高 CD(单位:cm) .

21. (7 分)已知抛物线 y=x2﹣2x﹣3 (1)求出该抛物线顶点坐标. (2)选取适当的数据填入表格,并在直角坐标系内描点画出该抛物线的图象. x y … … … …

22. (7 分)试证明:不论 m 为何值,方程 2x2﹣(4m﹣1)x﹣m2﹣m=0 总有两 个不相等的实数根. 23. (7 分) 莲花镇 2012 年有绿地面积 72 公顷, 该镇近几年不断增加绿地面积, 2014 年达到 84.5 公顷,若年增长率保持不变,2015 年该镇的绿地面积能否达到 100 公顷?
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24. (7 分) 如图, 一次函数 y=x+m 的图象与反比例函数 y= 的图象相交于 A (2, 1) ,B 两点. (1)求出反比例函数与一次函数的表达式; (2)请直接写出 B 点的坐标,并指出使反比例函数值大于一次函数值的 x 的取 值范围.

25. (7 分)如图,某校要用 20m 的篱笆,一面靠墙(墙长 10m) ,围成一个矩 形花圃,设矩形花圃垂直于墙的一边长为 xm,花圃的面积为 ym2. (1)求出 y 与 x 的函数关系式. (2)当矩形花圃的面积为 48m2 时,求 x 的值. (3)当边长 x 为多少时,矩形的面积最大,最大面积是多少?

26. (8 分)已知关于 x 的方程(a2+1)x2﹣2(a+b)x+b2+1=0 (1)若 b=2,且 2 是此方程的根,求 a 的值; (2)若此方程有实数根,当﹣3<a<﹣1 时,求 b 的取值范围. 27. (10 分)若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同,则称这两个二次函 数为“同簇二次函数”. (1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数; (2)已知关于 x 的二次函数 y1=2x2﹣4mx+2m2+1 和 y2=ax2+bx+5,其中 y1 的图象 经过点 A(1,1) ,若 y1+y2 与 y1 为“同簇二次函数”,求函数 y2 的表达式,并求出 当 0≤x≤3 时,y2 的最大值.
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2015-2016 学年福建省厦门外国语学校海沧附属学校九 年级(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题有 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.每小题都有四个选项, 其中有且只有一个选项正确) 1. (4 分)下列四个图形中,是中心对称图形的是( )

A.

B.

C.

D.

【分析】根据中心对称图形的定义,结合选项所给图形进行判断即可. 【解答】解:A、不是中心对称图形,故本选项错误; B、不是中心对称图形,故本选项错误; C、不是中心对称图形,故本选项错误; D、是中心对称图形,故本选项正确; 故选 D. 【点评】本题考查了中心对称图形的知识,在同一平面内,如果把一个图形绕某 一点旋转 180 度, 旋转后的图形能和原图形完全重合, 那么这个图形就叫做中心 对称图形.

2. (4 分)下列四个点中,在反比例函数

的图象上的是(



A. (3,﹣2) B. (3,2) C. (2,3) D. (﹣2,﹣3) 【分析】根据反比例函数中 k=xy 的特点进行解答即可. 【解答】解:A、∵3×(﹣2)=﹣6,∴此点在反比例函数的图象上,故本选项 正确; B、∵3×2=6≠﹣6,∴此点不在反比例函数的图象上,故本选项错误; C、∵2×3=6≠﹣6,∴此点不在反比例函数的图象上,故本选项错误; D、∵(﹣2)×(﹣3)=6≠﹣6,∴此点不在反比例函数的图象上,故本选项 错误.
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故选:A. 【点评】 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点, 熟知反比例函数 y= 中, k=xy 为定值是解答此题的关键.

3. (4 分)关于 x 的一元二次方程(a﹣1)x2+x+a2﹣1=0 的一个根是 0,则 a 的 值是( ) C.1 或﹣1 D.﹣1 或 0

A.﹣1 B.1

【分析】将 x=0 代入关于 x 的一元二次方程(a﹣1)x2+x+a2﹣1=0 即可求得 a 的 值.注意,二次项系数 a﹣1≠0. 【解答】解:∵关于 x 的一元二次方程(a﹣1)x2+x+a2﹣1=0 的一个根是 0, ∴(a﹣1)×0+0+a2﹣1=0,且 a﹣1≠0, 解得 a=﹣1; 故选 A. 【点评】 本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义.一元二次方程的根 就是一元二次方程的解, 就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个 数代替未知数所得式子仍然成立.

4. (4 分)若⊙O 的直径为 10cm,点 A 到圆心 O 的距离为 4cm,那么点 A 与⊙ O 的位置关系是( )

A.点 A 在圆外 B.点 A 在圆上 C.点 A 在圆内 D.不能确定 【分析】 根据题意得⊙O 的半径为 5cm, 则点 A 到圆心 O 的距离小于圆的半径, 则根据点与圆的位置关系可判断点 A 在⊙O 内. 【解答】解:∵⊙O 的直径为 10cm, ∴⊙O 的半径为 5cm, 而圆心 O 的距离为 4cm, ∴点 A 在⊙O 内. 故选 C 【点评】本题考查了点与圆的位置关系:设⊙O 的半径为 r,点 P 到圆心的距离 OP=d,则有点 P 在圆外?d>r;点 P 在圆上?d=r;点 P 在圆内?d<r.
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5. (4 分)用配方法解方程 x2﹣2x﹣1=0 时,配方后所得的方程为( A. (x﹣1)2=2 B. (x﹣1)2=0 C. (x+1)2=2 D. (x+1)2=0



【分析】先移项,然后两边同时加上一次项系数一半的平方. 【解答】解:移项得,x2﹣2x=1, 配方得,x2﹣2x+1=1+1, (x﹣1)2=2. 故选 A. 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法,配方法的一般步骤: (1)把常数项移到等号的右边; (2)把二次项的系数化为 1; (3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方. 选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为 1,一次项的系 数是 2 的倍数.

6. (4 分)由二次函数 y=2(x﹣3)2+1,可知(



A.其图象的开口向下 B.其图象的对称轴为直线 x=﹣3 C.其最小值为 1 D.当 x<3 时,y 随 x 的增大而增大

【分析】根据二次函数的性质,直接根据 a 的值得出开口方向,再利用顶点坐标 的对称轴和增减性,分别分析即可. 【解答】解:由二次函数 y=2(x﹣3)2+1,可知: A:∵a>0,其图象的开口向上,故此选项错误; B.∵其图象的对称轴为直线 x=3,故此选项错误; C.其最小值为 1,故此选项正确; D.当 x<3 时,y 随 x 的增大而减小,故此选项错误. 故选:C. 【点评】 此题主要考查了二次函数的性质,同学们应根据题意熟练地应用二次函 数性质,这是中考中考查重点知识.

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7. (4 分)下列说法正确的是( A.等边三角形是中心对称图形 B.三点可以确定一个圆 C.矩形的四个顶点一定共圆



D.三角形三条角平分线的交点为三角形的外心 【分析】利用等边三角形的性质、确定圆的条件、矩形的性质及三角形的外心的 定义分别判断后即可确定正确的选项. 【解答】解:A、等边三角形不是中心对称图形,故错误; B、不在同一直线上的三点确定一个圆,故错误; C、矩形的四个顶点一定共圆,故正确; D、三角形的三条角平分线的交点为三角形的内心,故错误; 故选 C. 【点评】 本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是能够了解等边三角形的性 质、确定圆的条件、矩形的性质及三角形的外心的定义,难度不大.

8. (4 分)如果反比例函数 y= 小,那么 m 的取值范围是(

在每个分支上函数值 y 随自变量 x 的增大而减 )

A.m>﹣1 B.m≥﹣1 C.m<﹣1 D.m≤﹣1 【分析】先根据函数 y=y= 的图象在其所在的每一象限内,函数值 y 随自变量

x 的增大而减小列出关于 m 的不等式,求出 m 的取值范围即可. 【解答】解:∵函数 y= 的增大而减小, ∴m+1>0, 解得 m>﹣1. 故选 A. 【点评】 本题考查的是反比例函数的性质,熟知反比例函数的增减性是解答此题 的关键. 的图象在其所在的每一象限内,函数值 y 随自变量 x

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9. (4 分) 生物兴趣小组的学生, 将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件, 全组共互赠了 182 件,如果全组有 x 名同学,则根据题意列出的方程是( A.x(x+1)=182 ×2 【分析】先求每名同学赠的标本,再求 x 名同学赠的标本,而已知全组共互赠了 182 件,故根据等量关系可得到方程. 【解答】解:设全组有 x 名同学, 则每名同学所赠的标本为: (x﹣1)件, 那么 x 名同学共赠:x(x﹣1)件, 所以,x(x﹣1)=182. 故选 B. 【点评】本题考查一元二次方程的实际运用:要全面、系统地弄清问题的已知和 未知, 以及它们之间的数量关系, 找出并全面表示问题的相等关系, 设出未知数, 用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系,即列出一元二次方程. B.x(x﹣1)=182 C.x(x+1)=182×2 )

D. ( x x﹣1) =182

10. (4 分)如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的一部分,对称轴是直线 x=1. ①b2>4ac; ②4a﹣2b+c<0; ③不等式 ax2+bx+c>0 的解集是 x≥3.5; ④若(﹣2,y1) , (5,y2)是抛物线上的两点,则 y1<y2. 上述 4 个判断中,正确的是( )

A.①②

B.①④

C.①③④ D.②③④

【分析】根据抛物线与 x 轴有两个交点可得 b2﹣4ac>0,进而判断①正确; 根据题中条件不能得出 x=﹣2 时 y 的正负,因而不能得出②正确; 如果设 ax2+bx+c=0 的两根为 α、β(α<β) ,那么根据图象可知不等式 ax2+bx+c
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>0 的解集是 x<α 或 x>β,由此判断③错误; 先根据抛物线的对称性可知 x=﹣2 与 x=4 时的函数值相等, 再根据二次函数的增 减性即可判断④正确. 【解答】解:①∵抛物线与 x 轴有两个交点, ∴b2﹣4ac>0, ∴b2>4ac,故①正确; ②x=﹣2 时,y=4a﹣2b+c,而题中条件不能判断此时 y 的正负,即 4a﹣2b+c 可能 大于 0,可能等于 0,也可能小于 0,故②错误; ③如果设 ax2+bx+c=0 的两根为 α、β(α<β) ,那么根据图象可知不等式 ax2+bx+c >0 的解集是 x<α 或 x>β,故③错误; ④∵二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴是直线 x=1, ∴x=﹣2 与 x=4 时的函数值相等, ∵4<5, ∴当抛物线开口向上时,在对称轴的右边,y 随 x 的增大而增大, ∴y1<y2,故④正确. 故选:B. 【点评】 主要考查图象二次函数图象与系数的关系,二次函数图象上点的坐标特 征,二次函数的性质,以及二次函数与不等式的关系,根的判别式的熟练运用.

二、填空题(本大题有 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11. (4 分)点(2,﹣6)关于原点对称的点的坐标是 (﹣2,6) .

【分析】 根据平面直角坐标系中任意一点 P(x,y) ,关于原点的对称点是(﹣x, ﹣y) ,即关于原点的对称点,横纵坐标都变成相反数,可得答案. 【解答】解:点(2,﹣6)关于原点对称的点的坐标是(﹣2,6) , 故答案为: (﹣2,6) . 【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标,关于原点的对称点,横纵坐标都 变成相反数.

12. (4 分)若将抛物线 y=x2 向右平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位,则所得
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抛物线的表达式为

y=(x﹣2)2+3



【分析】先确定抛物线 y=x2 的顶点坐标为(0,0) ,把点(0,0)向右平移 2 个 单位,再向上平移 3 个单位后得到的点的坐标为(2,3) ,然后根据顶点式写出 平移后抛物线的解析式. 【解答】解:抛物线 y=x2 的顶点坐标为(0,0) ,把点(0,0)向上平移 2 个单 位,再向右平移 3 个单位得到的点的坐标为(2,3) , 所以平移后抛物线的解析式为 y=(x﹣2)2+3. 故答案为:y=(x﹣2)2+3. 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换:由于抛物线平移后的形状不变, 故 a 不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物 线上任意两点平移后的坐标, 利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的 顶点坐标,即可求出解析式.

13. (4 分)如图,△ABC 内接于⊙O,AC 是⊙O 的直径,∠ACB=50°,点 D 是 上一点,则∠D= 40 度.

【分析】欲求∠D 的度数,需先求出同弧所对的∠A 的度数;Rt△ABC 中,已知 ∠ACB 的度数,即可求得∠A,由此得解. 【解答】解:∵AC 是⊙O 的直径, ∴∠ABC=90°; ∴∠A=180°﹣90°﹣50°=40°, ∴∠D=∠A=40°. 【点评】此题主要考查圆周角定理的应用.

14. (4 分)正方形 ABCD 内一点 P,AB=5,BP=2,把△ABP 绕点 B 顺时针旋转
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90°得到△CBP′,则 PP′的长为

2



【分析】由旋转的性质得到 BP=BP′,且∠PBP′=90°,即三角形 BPP′为等腰直角三 角形,利用勾股定理求出 PP′的长即可. 【解答】解:由旋转的性质得到 BP=BP′=2,且∠PBP′=90°, ∴△BPP′为等腰直角三角形, 则 PP′= 故答案为:2 =2 . ,

【点评】此题考查了旋转的性质,等腰直角三角形,以及正方形的性质,熟练掌 握旋转的性质是解本题的关键.

15. (4 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,P 是 AD 上的一个动点,且与 A、D 不重合,过 C 作 CQ⊥PB,垂足为 Q,设 BP 为 x,CQ 为 y,请写出 y 关于 x 的函数关系式 y= ( ) .

【分析】根据四边形 ABCD 是矩形,CQ⊥BP 和∠APB=∠PBC,即可证得△ABP∽ △QCB,利用相似三角形的性质可得 式. 【解答】解:∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AD∥BC,∠A=90°, ∴∠APB=∠PBC,
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,可得到 y 与 x 的函数关系

在△ABP 和△QCB 中, ∠A=∠BQC=90°, ∠APB=∠PBC, ∴△ABP∽△QCB, ∴ ∴ ∴y= , ( <x<4) . ( ) . ,

故答案为:y=

【点评】 此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质和矩形性质的理解和掌握, 此题的关键是利用相似三角形对应边成比例.

16. (4 分)二次函数 y=

x2 的图象如图,点 O 为坐标原点,点 A 在 y 轴的正半 x2 的图象上, 四边形 OBAC 为菱形, 且∠OBA=120°, .

轴上, 点 B、 C 在二次函数 y= 则菱形 OBAC 的面积为

【分析】连结 BC 交 OA 于 D,如图,根据菱形的性质得 BC⊥OA,∠OBD=60°, 利用含 30 度的直角三角形三边的关系得 OD=BD,设 BD=t,则 OD=t,B(t,t) , 利用二次函数图象上点的坐标特征得 t 2= t,进而可求出 BD,OD 的长,然后

根据菱形性质得 BC=2BD,OA=2OD,再利用菱形面积公式计算即可. 【解答】解:连结 BC 交 OA 于 D,如图, ∵四边形 OBAC 为菱形, ∴BC⊥OA, ∵∠OBA=120°,
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∴∠OBD=60°, ∴OD= BD, t,

设 BD=t,则 OD= ∴B(t, 把 B(t, ∴BD= t) ,

t)代入 y= ,

x2,得

t 2=

t,解得 t1=0(舍去) ,t2=



,OD=

∴BC=2BD=

,OA=2OD=

, .

∴菱形 OBAC 的面积= ×AO?BC= 故答案为 .

【点评】本题考查了菱形的性质:菱形具有平行四边形的一切性质;菱形的四条 边都相等;菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;菱形 面积= ab (a、 b 是两条对角线的长度) . 也考查了二次函数图象上点的坐标特征.

三、解答题(本大题有 11 小题,共 86 分) 17. (12 分)解方程: (1)x2+2x﹣5=0; (2)x(x﹣8)=16 (3) (x﹣2)2﹣4=0. 【分析】 (1)把常数项 5 移项后,应该在左右两边同时加上一次项系数 2 的一半 的平方. (2)先把方程化为一般式,然后利用配方法解方程. (3)先移项,把方程变为(x+a)2=b(b≥0)的形式,用直接开平方法进行解 答.
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【解答】解: (1)∵x2+2x﹣5=0, ∴x2+2x=5, ∴x2+2x+1=5+1, ∴(x+1)2=6, ∴x+1=± ∴x=﹣1± , ;

(2)由原方程得到:x2﹣8x=16, x2﹣8x+16=32, (x﹣4)2=32, 所以 x1=4+4 ,x2=4﹣4 ;

(3)∵(x﹣2)2﹣4=0.即(x﹣2)2=4 ∴x﹣2=±2 ∴x1=4,x2=0. 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法:将一元二次方程配成(x+m)2=n 的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法.

18. (7 分)如图,作出△ABC 关于点 O 成中心对称的三角形. (保留作图痕迹)

【分析】连接 AO 并延长至 A′,使 A′O=AO,连接 BO 并延长至 B′,使 B′O=BO, 连接 CO 并延长至 C′,使 C′O=CO,然后顺次连接即可得解. 【解答】解:如图所示,△A′B′C′即为所求作的△ABC 关于点 O 的对称三角形.

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【点评】 本题考查了利用旋转变换作图,根据中心对称的性质找出对应点是解题 的关键.

19. (7 分)已知二次函数图象的顶点坐标为(1,﹣1) ,且经过原点(0,0) , 求该函数的解析式. 【分析】设二次函数的解析式为 y=a(x﹣1)2﹣1(a≠0) ,然后把原点坐标代入 求解即可. 【解答】解:设二次函数的解析式为 y=a(x﹣1)2﹣1(a≠0) , ∵函数图象经过原点(0,0) , ∴a(0﹣1)2﹣1=0, 解得 a=1, ∴该函数解析式为 y=(x﹣1)2﹣1. 【点评】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式,利用顶点式解析式求解更加 简便.

20. (7 分)如图,水平放置的一个油管的截面半径为 13cm,其中有油部分油面 宽 AB 为 24cm,求截面上有油部分油面高 CD(单位:cm) .

【分析】根据垂径定理,易知 AC、BC 的长;连接 OA,根据勾股定理即可求出 OC 的长,进而可求出 CD 的值. 【解答】解:如图;连接 OA; 根据垂径定理,得 AC=BC=12cm;
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Rt△OAC 中,OA=13cm,AC=12cm; 根据勾股定理,得: OC= =5cm;

∴CD=OD﹣OC=8cm; ∴油面高为 8cm.

【点评】 此题主要考查的是垂径定理及勾股定理的应用.解题的关键是正确的构 造直角三角形.

21. (7 分)已知抛物线 y=x2﹣2x﹣3 (1)求出该抛物线顶点坐标. (2)选取适当的数据填入表格,并在直角坐标系内描点画出该抛物线的图象. x y … … … …

【分析】 (1)直接利用配方法求出二次函数的顶点坐标即可; (2)利用描点法画出二次函数的图象. 【解答】解: (1)y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4, 故该抛物线顶点坐标为: (1,﹣4) ;
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(2)如图所示: x y … … ﹣1 0 0 ﹣3 1 ﹣4 2 ﹣3 3 0 … …

. 【点评】 此题主要考查了配方法求二次函数顶点坐标以及描点法画二次函数图象, 正确利用顶点坐标选取其它点是解题关键.

22. (7 分)试证明:不论 m 为何值,方程 2x2﹣(4m﹣1)x﹣m2﹣m=0 总有两 个不相等的实数根. 【分析】 利用根的判别式列出关于方程系数的代数式,通过配方法化为完全平方 式来判断△的正负,从而证明方程有两个不相等的实数根. 【解答】证明:∵△=[﹣(4m﹣1)]2﹣4×2×(﹣m2﹣m)=24m2+1>0 ∴有两个不相等的实数根. 【点评】 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.解题关键是把判别式△转 化成完全平方式与一个正数的和的形式,才能判断出它的正负性.

23. (7 分) 莲花镇 2012 年有绿地面积 72 公顷, 该镇近几年不断增加绿地面积, 2014 年达到 84.5 公顷,若年增长率保持不变,2015 年该镇的绿地面积能否达到 100 公顷? 【分析】 设每绿地面积的年平均增长率为 x, 就可以表示出 2014 年的绿地面积, 根据 2014 年的绿地面积达到 84.5 公顷建立方程求出 x 的值即可;根据所求出的
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年增长率就可以求出结论. 【解答】解:设绿地面积的年平均增长率为 x,根据意,得 72(1+x)2=84.5 解得:x1=0.2,x2=﹣2.2(不合题意,舍去) 答:增长率为 20%;

(2)由题意,得 84.5(1+0.2)=101.4(公顷) , 答:2015 年该镇绿地面积能达到 100 公顷. 【点评】 本题考查了增长率问题的数量关系的运用,运用增长率的数量关系建立 一元二次方程的运用, 一元二次方程的解法的运用,解答时求出平均增长率是关 键.

24. (7 分) 如图, 一次函数 y=x+m 的图象与反比例函数 y= 的图象相交于 A (2, 1) ,B 两点. (1)求出反比例函数与一次函数的表达式; (2)请直接写出 B 点的坐标,并指出使反比例函数值大于一次函数值的 x 的取 值范围.

【分析】 (1)先将点 A(2,1)代入 y= 求得 k 的值,再将点 A(2,1)代入反 比例函数的解析式求得 n,最后将 A、B 两点的坐标代入 y=x+m,求得 m 即可. (2)当反比例函数的值大于一次例函数的值时,即一次函数的图象在反比例函
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数的图象下方时,x 的取值范围. 【解答】解: (1)将 A(2,1)代入 y= 中,得 k=2×1=2, ∴反比例函数的表达式为 y= , 将 A(2,1)代入 y=x+m 中,得 2+m=1, ∴m=﹣1, ∴一次函数的表达式为 y=x﹣1;

(2)B(﹣1,﹣2) ; 当 x<﹣1 或 0<x<2 时,反比例函数的值大于一次函数的值. 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,是一道综合题目,解题 过程中注意数形结合的应用,是中档题,难度不大.

25. (7 分)如图,某校要用 20m 的篱笆,一面靠墙(墙长 10m) ,围成一个矩 形花圃,设矩形花圃垂直于墙的一边长为 xm,花圃的面积为 ym2. (1)求出 y 与 x 的函数关系式. (2)当矩形花圃的面积为 48m2 时,求 x 的值. (3)当边长 x 为多少时,矩形的面积最大,最大面积是多少?

【分析】 (1)根据面积=长?宽,求出长与宽即可解决. (2)y=48 代入(1) ,解方程即可. (3)利用配方法,根据二次函数的性质确定最大值. 【解答】解: (1)由题意 Y=x(20﹣2x)=﹣2x2+20x. (2)当 y=48 时,﹣2x2+20x=48,解得 x=4 或 6, 经过检验 x=4 不合题意, 所以 x=6. (3)∵y=﹣2x2+20x=﹣2(x﹣5)2+50, ∴x=5 时,y 最大值=50.
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【点评】本题考查二次函数最值问题,关键是构建二次函数,利用函数的性质解 决实际问题,易错的地方是忘了检验是否符合实际,属于中考常考题型.

26. (8 分)已知关于 x 的方程(a2+1)x2﹣2(a+b)x+b2+1=0 (1)若 b=2,且 2 是此方程的根,求 a 的值; (2)若此方程有实数根,当﹣3<a<﹣1 时,求 b 的取值范围. 【分析】 (1)先把 b=2,x=2 代入方程得 4(a2+1)﹣4(a+2)+4+1=0,然后解关 于 a 的一元二次方程即可; (2)根据根的判别式的意义得到△=4(a+b)2﹣4(a2+1) (b2+1)≥0,整理得 (ab﹣1)2≤0,利用非负数的性质得到 ab﹣1=0,则 a= , 由于﹣3<a<﹣1,于是得到﹣1<b<﹣ . 【解答】解: (1)把 b=2,x=2 代入方程得 4(a2+1)﹣4(a+2)+4+1=0,解得 a1=a2= , 即 a 的值为 ; (2)根据题意得△=4(a+b)2﹣4(a2+1) (b2+1)≥0, ∴(ab)2﹣2ab+1≤0,即(ab﹣1)2≤0, ∴ab﹣1=0, ∴a= , ∵﹣3<a<﹣1 ∴﹣1<b<﹣ . 【点评】 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根的判别式△=b2﹣4ac: 当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当 △<0,方程没有实数根.也考查了一元二次方程的定义.

27. (10 分)若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同,则称这两个二次函 数为“同簇二次函数”. (1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数;
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(2)已知关于 x 的二次函数 y1=2x2﹣4mx+2m2+1 和 y2=ax2+bx+5,其中 y1 的图象 经过点 A(1,1) ,若 y1+y2 与 y1 为“同簇二次函数”,求函数 y2 的表达式,并求出 当 0≤x≤3 时,y2 的最大值. 【分析】 (1)只需任选一个点作为顶点,同号两数作为二次项的系数,用顶点式 表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可. (2)由 y1 的图象经过点 A(1,1)可以求出 m 的值,然后根据 y1+y2 与 y1 为“同 簇二次函数”就可以求出函数 y2 的表达式, 然后将函数 y2 的表达式转化为顶点式, 在利用二次函数的性质就可以解决问题. 【解答】解: (1)设顶点为(h,k)的二次函数的关系式为 y=a(x﹣h)2+k, 当 a=2,h=3,k=4 时, 二次函数的关系式为 y=2(x﹣3)2+4. ∵2>0, ∴该二次函数图象的开口向上. 当 a=3,h=3,k=4 时, 二次函数的关系式为 y=3(x﹣3)2+4. ∵3>0, ∴该二次函数图象的开口向上. ∵两个函数 y=2(x﹣3)2+4 与 y=3(x﹣3)2+4 顶点相同,开口都向上, ∴两个函数 y=2(x﹣3)2+4 与 y=3(x﹣3)2+4 是“同簇二次函数”. ∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为:y=2(x﹣3)2+4 与 y=3(x﹣3)2+4.

(2)∵y1 的图象经过点 A(1,1) , ∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1. 整理得:m2﹣2m+1=0. 解得:m1=m2=1. ∴y1=2x2﹣4x+3 =2(x﹣1)2+1. ∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5 =(a+2)x2+(b﹣4)x+8
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∵y1+y2 与 y1 为“同簇二次函数”, ∴y1+y2=(a+2) (x﹣1)2+1 =(a+2)x2﹣2(a+2)x+(a+2)+1. 其中 a+2>0,即 a>﹣2. ∴ 解得: . .

∴函数 y2 的表达式为:y2=5x2﹣10x+5. ∴y2=5x2﹣10x+5 =5(x﹣1)2. ∴函数 y2 的图象的对称轴为 x=1. ∵5>0, ∴函数 y2 的图象开口向上. ①当 0≤x≤1 时,∵函数 y2 的图象开口向上, ∴y2 随 x 的增大而减小, ∴当 x=0 时,y2 取最大值,最大值为 5×(0﹣1)2=5, ②当 1≤x≤3 时,∵函数 y2 的图象开口向上, ∴y2 随 x 的增大而增大, ∴当 x=3 时,y2 取最大值, 最大值为 5(3﹣1)2=20. 综上所述:当 0≤x≤3 时,y2 的最大值为 20. 【点评】 本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转 化,考查了二次函数的性质(开口方向、增减性) ,考查了分类讨论的思想,考 查了阅读理解能力.而对新定义的正确理解和分类讨论是解决第二小题的关键.

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