天津市耀华中学2015届高三下学期第二次校模拟考试数学(理)试题

耀华中学 2015 届高三年级校第二次模拟 理科数学试卷
本试卷分第 I 卷(选择题) 和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟. 共 40 分) 一.选择题:共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题的 4 个选项中,只有一项是符合 题目要求的,将答案涂在答题卡上 . ......... 1.复数

第 I 卷(选择题

i 在复平面上对应的点位于 1? i
(B)第二象限

(A)第一象限

2.在 ? ABC 中,“ A ?

?

(C)第三象限

(D)第四象限

6

”是“ sin A ?

1 ”的 2

(A)充分而不必要 条件 (C)充分必要条件

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不 必要条件

? x ? 2 y ? 3 ? 0, ? 3.已知变量 x 、 y 满足条件 ? x ? 3 y ? 3 ? 0, ,若目标函数 z ? ax ? y 仅在点 (3, 0) 处取得最 ? y ? 1 ? 0. ?
大值,则 a 的取值范围是 (A) ( , ??)

1 2

(B) ( ??, )

1 2

(C) ( , ??)

1 3

(D) (??, )

1 3

4.为了得到函数 y ? sin(2 x ? (A)向右平移 (C)向左平移

?
6

) 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象
(B)向右平移 (D)向左平移

?
6

个单位长度 个单位长度

?
3

个单位长度 个单位长度

?
6

?
3

5.数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? (A)

1 2014

1 , 并且 an (an ?1 ? an ?1 ) ? 2an ?1an ?1 (n ? 2) ,则该数列的第 2015 项为 2 1 1 1 (B) 2014 (C) (D) 2015 2 2015 2
[来源:学科网 ZXXK]

6.设直线 l : y ? 2 x ? 2, 若 l 与椭圆 x ?
2

y2 ? 1的交点为 A 与 B ,点 P 为椭圆上的动点,则使 4

?PAB 的面积为 2 ? 1 的点 P 的个数为
(A)4 (B)3
2

(C)2
2

(D)1
2 2

7.已知函数 f ( x) ? x ? 2(a ? 2) x ? a , g ( x) ? ? x ? 2(a ? 2) x ? a ? 8(a ? R ) ,

设 H1 ( x) ? max ? f ( x), g ( x)? , H 2 ( x) ? min ? f ( x), g ( x )? ( max ? p, q? 表示 p, q 中的较大值,

min ? p, q? 表示 p, q 中的较小值) , 记 H1 ( x) 的最小值为 A ,H 2 ( x) 的最大值为 B , 则 A? B ?
(A) a ? 2a ? 16
2

(B) a ? 2a ? 16
2

(C)16

(D) ?16

2 ? ? x ? 2, x ? ? 0,1? , 8 .已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足: f ? x ? ? ? ,且f ? x ? 2 ? ? f ? x ? , 2 2 ? x , x ? ? 1, 0 . ? ? ? ? 2x ? 5 g ? x? ? ,则方程 f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ? ?5,1? 上的所有实根之和为 x?2 (A) ?4 (B) ?6 (C) ?7 (D) ?8

第 II 卷(非选择题

共 110 分)

二.填空题:共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分,将答案填写在后面的答题卡上 . ............. 9.为了了解某校高三男生的身体状况,抽查了部分男生的体重,将所得数据整理后,画出了频 率分布直方图(如下图) .已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1﹕2﹕3,第 2 小组的 频数为 12,则被抽查的男生的人数是 ▲ .

(第 9 题图) (第 10 题图) 10.如上图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为 ▲ .

11.由曲线 y ?

1 x , y ? 2 ? x , y ? ? x 所围成图形的面积 ▲ . 3

12.在极坐标系中,圆 C1 的方程为 ? ? 4 2 cos(? ? 正半轴建立平面直角坐标系, 圆 C2 的参数方程 ?

?
4

) ,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的

? x ? ?1 ? a cos ? , ( ? 是参数) , 若圆 C1 与圆 C2 ? y ? ?1 ? a sin ? .

相切,则实数 a 的值为 ▲ . 13.若至少存在一个 x ? 0 ,使得关于 x 的不等式 x2 ? 2? | x ? a | 成立,则实数 a 的取值范围为 ▲ . 14.设 O 是 ?ABC 的外心, a 、 b 、 c 分别为 ? ABC 内角 A 、 B 、 C 的对边, 满足 b 2 ? 2b ? c 2 ? 0 ,则 BC ? AO 的取值范围是 ▲

uuu r uuu r



三.解答题:共 6 个小题,总计 80 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 4sin x cos( x ?

?
3

)? 3.

(Ⅰ )求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ )求函数 f ( x) 在区间 [? 16.(本小题满分 13 分) 为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康, 要求产品在进入市场前必须进行两 轮核辐射检测, 只有两轮都合格才能进行销售, 否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的 概率为

? ?

, ] 上的最大值和最小值及取得最值时相应的 x 值. 4 6

1 1 ,第二轮检测不合格的概率为 ,两轮检测是否合格相互没有影响. 6 10

(Ⅰ)求该产品不能销售的概率; (Ⅱ)如果产品可以销售,则每件产品可获利 40 元;如果产品不能销售,则每件产品亏损 80 元(即获利 ? 80 元).已知一箱中有产品 4 件,记一箱产品获利 X 元,求 X 的分布列,并求 出均值 E(X). 17. (本小题满分 13 分) 正 ? ABC 的边长为 4,CD 是 AB 边上的高, E 、F 分别是 AC 和 BC 边的中点,现将 ? ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A ? DC ? B . (Ⅰ)试判断直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由; (Ⅱ)求二面角 E ? DF ? C 的余弦 值; (Ⅲ)在线段 BC 上是否存在一点 P ,使 AP ? DE ?证明你的结论.
A E

A

E
D F C

D F
B

C

B

18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? log3 (ax ? b) 的图象经过点 A(2,1) 和 B(5,2) ,记 an ? 3 f ( n) , n ? N * . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?
[来源:学科网]

an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ; 2n

(Ⅲ) 求使不等式 (1 ? 的值. 19.(本小题满分 14 分)

1 1 )(1 ? ) a1 a2

(1 ?

1 ) ? p 2n ? 1 对一切 n ? N ? 均成立的最大实数 p an

已知中心在原点 O ,焦点在 x 轴上的椭圆,离心率 e ? (Ⅰ) 求该椭圆的方程;

3 2 ,且椭圆过点 ( 2, ). 2 2

(Ⅱ) 设不过原点 O 的直线 l 与该椭圆交于 P 、 Q 两点,满足直线 OP 、 PQ 、 OQ 的斜 率依次成等比数列,求 ?OPQ 面积的取值范围.

2 0.(本小题满分 14 分)
1 8 2 . 已知函数 f ( x) ? e x (其中 e 为自然对数的底数, 且 e ?7

n ) , gx () ?x mmn ? ( ,R ? ) 2



n ,求 T ( x) 在 [0,1] 上的最大值 ? (n) 的表达式; 2 (Ⅱ)若 n ? 4 时方 程 f ( x) ? g ( x) 在 [0, 2] 上恰有两个相异实根,求实数 m 的取值范围;
(Ⅰ)若 T ( x) ? f ( x) g ( x) , m ? 1 ?
源:21 世纪教育网]

[来

(Ⅲ)若 m ? ?

15 * , n ? N ,求使 f ( x ) 的图象恒在 g ( x) 图象上方的最 大正整数 n . 2

天津市耀华中学 2015 届高三第二次校模拟考试 理科数学
一.选择题: 题号 答案 1 A 2 B 3 A 4 B 5 C 6 B 11. 7 D 8 C

参考答案

二.填空题: 9.48; 12. ? 2 或 ?5 2 ; 三.解答题: 15.解: (Ⅰ ) f ? x ? ? 4sin x ? cos x cos

10. 36 3(? ? 2) ; 13. ( ?2, ) ;

9 4

13 ; 6 1 14. [? , 2) . 4

? ?

?
3

? sin x sin

??

?? 3 3?

∴T ? (Ⅱ )∵ ? ∴?

?
4

2? ?? ; 2
?x?

? 2sin x cos x ? 2 3 sin 2 x ? 3 ?? ? ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin ? 2 x ? ? , 3? ?

?

1 ?? ? ? sin ? 2 x ? ? ? 1 ,∴ ?1 ? f ? x ? ? 2 , 2 3? ?

6

,∴ ?

?
6

? 2x ?

?
3

?

2? , 3

当 2x ? 当 2x ?

?

?

3

??

?

3

?

?
2

6

,即 x ? ?

?

,即 x ?

?
12

4

时, f ? x ?min ? ?1 ,

时, f ? x ?max ? 2 .

16.解: (Ⅰ)记“该产品不能销售”为事件 A,则

1 1 1 P( A) ? 1 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? , 6 10 4 1 ∴该产品不能销售的概率为 ; 4
(Ⅱ)由已知,可知 X 的取值为 ?320, ?200, ?80, 40,160 .

1 1 P( X ? ?320) ? ( ) 4 ? , 4 256

1 3 3 1 P( X ? ?200) ? C4 ? ( )3 ? ? , 4 4 64

1 3 27 3 3 27 2 3 1 P( X ? ?80) ? C4 ? ( )2 ? ( )2 ? , P ( X ? 40) ? C4 ? ? ( ) ? , 4 4 128 4 4 64 3 81 P( X ? 160) ? ( ) 4 ? . 4 256

∴X 的分布列为:

X

-320

-200

-80

40

160

p

1 256

3 64
源:Z#xx#k.Com]

[



27 128

27 64

81 256

E(X) ? ?320 ?

1 3 27 27 81 ? 40 , ? 200 ? ? 80 ? ? 40 ? ? 160 ? 256 64 128 64 256

[来源:学.科.网]

∴均值 E(X)为 40. 17. (Ⅰ)如图:在△ABC 中,由 E、F 分别是 AC、BC 中点,得 EF//AB, 又 AB ? 平面 DEF,EF ? 平面 DEF. ∴AB∥平面 DEF. (Ⅱ)以点 D 为坐标原点,直线 DB、DC 为 x 轴、y 轴,建立空间直角坐标系,则 A(0, 0,2)B(2,0,0)C(0, 2 3,0, ), E(0, 3,1), F (1, 3,0) ??4 分 平面 CDF 的法向量为 DA ? (0,0,2) 设平面 EDF 的法向量为 n ? ( x, y, z) 则?

? ?DF ? n ? 0 ? ?DE ? n ? 0

即?

? ?x ? 3y ? 0 ? ? 3y ? z ? 0
?

, 取n ? (3, ? 3,3) ,

z

A E

cos ? DA , n ??

DA ? n | DA || n |

21 , 7
D

y
C F B x P

∴二面角 E—DF—C 的余弦值为

21 ; 7

(Ⅲ)设 P( x, y,0),则 AP ? DE ?

3y ? 2 ? 0? y ?

2 3 3

又 BP ? ( x ? 2, y,0), PC ? (?x,2 3 ? y,0) ,

BP / / PC ?( x ? 2)(2 3 ? y) ? ?xy ? 3x ? y ? 2 3
y? 2 3 4 1 代入上式得x ? ,? BP ? BC , 3 3 3 4 2 3 , 0) ,使 AP ? DE . 3 3



∴在线段 BC 上存在点 P( ,

18.解: (Ⅰ)由题意得 ? ∴ f ( x) ? log3 (2 x ?1)

?log3 (2a ? b) ? 1 ?a ? 2 ,解得 ? , ?b ? ?1 ?log3 (5a ? b) ? 2

an ? 3l o 3g( 2n?1) ? 2n ?1, n ? N * ;

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, bn ?

2n ? 1 , 2n 2n ? 3 由错位相减法得: Tn ? 3 ? ; 2n

(Ⅲ)由题意得 p ?

1 1 1 (1 ? )(1 ? ) a1 a2 2n ? 1 (1 ?

(1 ?

1 ) 对任意 n∈N*恒成立, an

设 F ( n) ?

1 1 1 (1 ? )(1 ? ) a1 a2 2n ? 1

1 ), an



F (n ? 1) ? F ( n)

1 1 1 1 (1 ? )(1 ? ) (1 ? ) a1 a2 an ?1 2n ? 3 1 1 1 1 (1 ? )(1 ? ) (1 ? ) a1 a2 an 2n ? 1

?

2n ? 2 4n 2 ? 8n ? 4 ? ?1 4n 2 ? 8n ? 3 (2n ? 1)(2n ? 3)

显然 F (n) ? 0 ,∴ F (n ? 1) ? F (n) ,即 F ( n) 随着 n 的增大而增大, ∴ F ( n) 的最小值是 F (1) ?

2 3 2 3 ,∴ p ? , 3 3

∴最大实数 p 的值为

2 3 . 3
x2 a2 ? y2 b2 ? 1 (a>b>0),

19.解: (Ⅰ )由题意可设椭圆方程为

?c 3 ? , ? ?a ? 2, ?a 2 则? , 故? , ?b ? 1. ? 2 ? 1 ? 1, ? ? a 2 2b 2
∴椭圆方程为

x2 4

? y 2 ? 1;

(Ⅱ) 解:由题意可知,直线 l 的斜率存在且不为 0, 故可设直线 l 的方程为 y=kx+m (m≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2), 由?
[来源:学科网]

? y ? kx ? m,
2 2 ? x ? 4 y ? 4 ? 0,

消去 y 得

(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0, 则 Δ=64 k2b2-16(1+4k2b2)(b2-1)=16(4k2-m2+1)>0, 且 x1 ? x2 ?

?8km 1 ? 4k
2

, x1 x2 ?

4( m 2 ? 1) 1 ? 4k
2

,可得 m ? 1 ,
2

故 y1 y2=(kx1 +m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2, ∵直线 OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比数列, ∴

y1 y2 x1 x2

?



k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 x1 x2

=k2,



?8k 2 m 2 1 ? 4k
2

+m2=0,又∵m≠0,

∴ k2=

1 1 ,即 k= ? , 4 2

设 d 为点 O 到直线 l 的距离,

则 S△OPQ=

1 2

| PQ | d=

1 2

2 2 | x1-x2 | | m |= m (2 ? m ) ,

由于直线 OP,OQ 的斜率存在,且 Δ>0,得: 0<m2<2 且 m2≠1, ∴S△OPQ 的取值范围为 ?m | 0 ? m ? 1? .
n n n x n 时, T ( x) ? e x ( x ? 1 ? )(n ? R) ,∴ T ?( x) ? e ( x ? 1) , 2 2 2 2
x

20.解: (Ⅰ ) m ?1?

①当 n ? 0 时, T ?( x) ? e x ? 0, T ( x) 在 [0,1] 上为增函数,则此时 ? (n) ? T (1) ? e ;

n 2 2 ( x ? ), T ( x) 在 (? , ??) 上为增函数, 2 n n 故 T ( x) 在 [0,1] 上为增函数,此时 ? (n) ? T (1) ? e ; 2 x n ③当 n ? 0 时, T ?( x) ? e ? ( x ? ) , 2 n 2 2 T ( x) 在 (??, ? ) 上为增函数,在 (? , ??) 上为减函数, n n 2 2 2 若 0 ? ? ? 1, 即 n ? ?2 时,故 T ( x) 在 [0, ? ] 上为增函数,在 [ ? ,1] 上为减函数, n n n 2 2 ? 2 n ? 此时 ? (n) ? T (? ) ? e n (?1 ? m) ? ? ? e n , n 2 2 若 ? ? 1, 即 ?2 ? n ? 0 时, T ( x) 在 [0,1] 上为增函数,则此时 ? (n) ? T (1) ? e ; n
②当 n ? 0 时, T ?( x) ? e ?
2 ? n ?n ?? e , n ? ?2, ∴综上所述: ? (n) ? ? 2 ; ? e, n ? ?2. ?

(Ⅱ) F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? e x ? 2x ? m, F ?( x) ? e x ? 2, ∴ F ( x) 在 (0,ln 2) 上单调递减;在 (ln 2, ??) 上单调递增; ∴ F ( x) ? e ? 2x ? m 在 [0, 2] 上恰有两个相异实根,
x

? F (0) ? 1 ? m ? 0 ? ? ? F (ln 2) ? 2 ? 2 ln 2 ? m ? 0 ? 2 ? 2 ln 2 ? m ? 1 , ? F (2) ? e 2 ? 4 ? m ? 0 ? ∴实数 m 的取值范围是 ?m | 2 ? 2ln 2 ? m ? 1 ?;
n 15 (Ⅲ)由题设: ?x ? R, p( x) ? f ( x) ? g ( x) ? e x ? x ? ? 0 , 2 2

(? )

∵ p?( x ) ? e ?
x

n n n ? ?, ln ) 上单调递减;在 (ln , ?? ) 上单调递增, ,故 p ( x) 在 ( — 2 2 2

n n n 15 1 n ? ln ? ? (n ? n ln ? 15) ? 0 , 2 2 2 2 2 2 x x x 设 h( x) ? x ? x ln ? 15 ? x ? x(ln x ? ln 2) ? 15 ,则 h?( x) ? 1 ? ln ? 1 ? ? ln , 2 2 2 ∴ h( x) 在 (0, 2) 上单调递增;在 (2, ??) 上单调递减,
∴( ? ) ? p( x) min ? p (ln ) ? 而 h(2e2 ) ? 2e2 ? 2e2 ln e2 ? 15 ? 15 ? 2e2 ? 0 ,

n 2

15 5 15 ? 15 ? 15(2 ? ln ) ? 15(ln e2 ? ln ) ? 0 , 2 2 2 2 故存在 x0 ? (2e ,15) 使 h( x0 ) ? 0 , 且 x ?[2, x0 ) 时 h( x) ? 0, x ? ( x0 , ??) 时 h( x) ? 0, 1 15 又∵ h(1) ? 16 ? ln ? 0, 7 ? e2 ? , 2 2
且 h(15) ? 15 ? 15ln ∴ n ? N 时使 f ( x ) 的图象恒在 g ( x) 图象的上方的最大正整数 n ? 14 .
*


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