平面向量复习公开课_图文

第二章 平面向量复习课

一.基本概念
1.向量及向量的模、向量的表示方法 B 1)图形表示 A 有向线段AB 2)字母表示 3)坐标表示

向量的模 :| a |?| AB |
a ? xi ? y j ? ( x, y)

a ? AB

a ? OA ? ( x, y) ? 点A( x, y)

a ? MN ? ( xN ? xM , yN ? yM )

一.基本概念
2.零向量及其特殊性

(1)0方向任意 (2)0 // a(3)0 ? 0(4) ? 0 ? 0 (5)0 ? a ? a ? 0 ? a

(6)? 0 ? 0
3.单位向量

(7)0 ? a ?0
a |a|

与非零向量 a共线的单位向量 a0 ? ?

一.基本概念 区分向量平行、共线与几何平行、共线
4.平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 5.相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 在保持长度和方向不变的前提下, 向量可以平行移动.平移先后两向量相等 任一组平行向量都可平移到同一直线上 6.相反向量

? (?a) ? a, a ? (?a) ? 0

长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.

二.基本运算(向量途径) 1.向量加法的三角形法则

C

a +b a
B

b

首尾相连首尾连 2.向量加法的平行四边形法则 D C
b A a +b

a ? b ? AB ? BC ? AC

A

, a ? b ? AB ? AD ? AC
3.向量减法的三角形法则

a 共起点

B

a ? b ? AB ? AD ? DB 首同尾连向被减

二.基本运算(向量途径) 4.实数与向量的积 ? a 是一个向量

? a是一个与a
共线的向量

二.基本运算(向量途径)
5.两个非零向量 a与b 的数量积

a ? b ?| a | ? | b | cos ? O ? ? [0, ? ]
向量夹角:首要的是通过向 量平移,使两个向量共起点。 向量数量积的几何意义

? b

B

θ

? a

B1

A

| b | cos ? 叫做向量b在a方向上的投影
a ?b ? |a|
可正可负可为零

平面向量的数量积a· b的性质: ①e·a=a·e=|a|cosθ
②a⊥b ?a· b=0 ③a,b同向a· b=|a||b|反向时a· b=-|a|· |b| a2=a· a=|a|2(a· a= ④cosθ=
a ?b | a |?|b |

a)

2

⑤|a· b|≤|a|· |b|

二.基本运算(坐标途径)

若a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 1)a ? b ? (x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) 2)a ? b ? (x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) 3)? a ? 4)a ? b ?
(?x1 , ?y 1 )

x1 ? x 2 ? y 1 ? y 2
x ?y
2 1 2 1

5) | a |? a ? a ? a ?b 6) cos ? ? ? | a ||b |

x1 ? x 2 ? y 1 ? y 2
2 2 2 x1 ? y1 ? x2 ? y 2 2

三.两个等价条件

若a ? (x1 , y1 ),b ? (x2 , y 2 ),则
1.向量a和非零向量b a // b ? 有唯一的实数?,使a ? ?b x1 ? y 2 ? x2 ? y1 ? 0
2.非零向量a和b a?b?

a ?b ? 0
x1 ? x2 ? y1 ? y 2 ? 0

四.一个基本定理
平面向量基本定理
如果e1、 e 2 是同一平面内的两个不 共线的 向量, 那么对于这一平面内的 任一向量a, 有且只有一对实数 ? 1 , ? 2 , 使 a ? ? 1 e1 ? ? 2 e 2 把不共线的向量 e1、 e 2叫做表示这一 平面内所有向量的一组 基底.

利用向量分解的“唯一性”来构建实系数方程组

五.应用举例

向量的有关概念

例 1 给出下列命题: ①若 a·b = 0 ,则 a、b 中至少有一个为 0 . → =DC → ②若 A, B, C, D 是不共线的四点, 则AB 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件; ③若 a=b,b=c,则 a=c; ④a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b; ⑤若 a∥b,b∥c,则 a∥c. ②③ 其中正确的序号是________ .

五.应用举例

向量加减法则

例2 化简(1)(AB + MB)+ BO + OM

(2) AB + DA + BD -BC-CA 利用加法减法运算法则,借助结论 AB=AP+PB;AB=OB-OA;AB+BC+CA=0
进行变形.

解: (1)原式= AB +(BO + OM + MB) = AB + 0 = AB
(2)原式= AB + BD + DA -(BC + CA)

= 0-BA = AB

五.应用举例

平面向量基本定理

例3.如图平行四边形OADB的对角线OD、AB相交于 点C,线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上有一 点N满足CD=3CN,

设OA ? a, OB ? b, 试用a, b表示MN
分析:先求OM、 ON.

五.应用举例

平面向量的数量积

例4、如图,在平行四边形ABCD中,已知 | AB |? 4 , | AD |? 3 , D C ?DAB ? 60 , 求: F (1)AD ? BC; (2)AB ? DA;
E

解: (1) 因为 AD ∥ BC 且方向相同, A 所以 AD 与 BC 夹角是 0? 所以 AD ? BC ?| AD || BC | cos0 ? 3 ? 3 ? 1 ? 9

B

(2)因为 AB 与 AD 的夹角是 60 ,所以 AB 与 DA 的夹角为120 1 所以 AB ? DA ?| AB || DA | cos120 ? 4 ? 3 ? ( ? ) ? ?6 2

思考:若E、F分别是BC,DC的中点, 试求AE ? AF的值。 20

五.应用举例

向量共线定理

例5 设a,b是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共线则k=_____(k∈R) 解:BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb

2=2λ
k=-λ



λ=-1
k=-1 ∴k=-1

例6. 已知平行四边形ABCD的三顶点 A(-1,

-3),B(3,1),C(5,2),求第四个顶点D和 中心M的坐标

D(1,-2)

例7. 已知a =(1,-1),求a共线的单位向量。

1 M (2, ? ) 2

? 2 2 a0 ? ?( ,? ) 2 2
例8. 已知向量a=(1,5),b=(-3,2),求a在

b方向上的正射影的数量。
a ? b 7 13 | a | ? cos ? a, b ?? ? |b| 13

五.应用举例

向量的长度与夹角问题

| b |? 2,且 a 与 b 例9已知 | a |? 4 , 夹角为120°求⑴ (a ? 2b) ? (a ? b) ; ⑵ | 2a ? b | ; ⑶ a 与 a ? b 的夹角。

五.应用举例
例10

平行与垂直问题

(1)k=19

1 (2) k ? ? , 反向 3

练习: 1、若a=(1,2),b=(-2, λ), 且a与b的 夹角为钝角,则λ的取值范围是

? ? 1且? ? -4
2.已知点A( 1, ?1 ) , B(?4,5),点C在直线AB上, 且 CA ? 3 AB,求点C的坐标。
(16,?19)或(-14,17)

AB =DC = 3. 在四边形ABCD中, 1 1 3 BA ? BC ? BD , (1,1),BA BC BD

求四边形ABCD的面积。

特别注意:

a ? b ? 0 ? cos? ? 0 ? ?为锐角或 ? ?0

a ? b ? 0 ? cos? ? 0 ? ?为钝角或? ? ?
由此,当需要判断或证明两向量夹角为锐角或钝角时,应

排除夹角为0或? 的情况,也就是要进一步说明两向量不共
线。

思考: 4、已知 O,N,P 在 ?ABC 所在平面内,且 OA ? OB ? OC , NA ? NB ? NC ? 0 ,
且 PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则点 O,N,P 依次是 ?ABC 的

C

(A)重心 外心 垂心 (C)外心 重心 垂心

(B)重心 外心 内心 (D)外心 重心 内心

由 OA ? OB ? OC 知, O为?ABC的外心; 由 NA ? NB ? NC ? 0知,O为 ?ABC的重心 ; PA ? PB ? PB ? PC, ? PA ? PC ? PB ? 0, ? CA ? PB ? 0,? CA ? PB, 同理,AP ? BC ,? P为?ABC的垂心,

?

?

向量垂直的判定

( 1 ) a ? b ? a?b ? 0 (2) a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0
向量平行的判定(共线向量的判定)

考点 提示

( 1 )a // b ? b ? ? a (a ? 0 ) (2) b // a ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ,其中a ? (x1,y1), b? (x2,y2)
向量的长度
| a |? a () 1 a ? a ?| a | , (2)设 a ? (x,y),则| a |?
2
2

x2 ? y 2

2 2 (3)若A(x1,y1),B(x2,y2),则| AB |? (x1 ? x 2) ? (y1 ? y 2) x1 x2 ? y1 y2 a ?b ? 向量的夹角 cos ? ? 2 2 2 2 x ? y ? x ? y | a || b | 1 1 2 2


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