1.1.2弧度制_图文

弧度的概念

思考:在平面几何中,1°的角是怎样定义的?
将圆周分成360等份,每一段圆弧所对的圆心 角就是1°的角. 即:规定把周角的
1 360 作为1度的角,

用度做单位来度量角的制度叫做角度制.

1.弧度制定义:
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 用弧度来度量角的单位制叫做弧度制. rad 符号: 读作:弧度。
B

在弧度制下,1弧度记做1rad. 在实际运算中,常常将rad单位省略.
O

1 rad

l
A

图像

2、角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,

l 那么,角α的弧度数的绝对值是|α|= r
正角的弧度数为正数 负角的弧度数为负数 零角的弧度数为零

弧AB的 长

OB旋转的 方向 逆时针方向 逆时针方向 逆时针

∠AOB的弧 ∠AOB的度 度数 数

2?r

?r

?

2?
1 -2
0

180° 360° 57.3° -114.6° -180° 0° 180°

?r ?r
0

r 2r

顺时针
顺时针 未旋转 逆时针

??

?

2?r

逆时针

2?

360°

3.弧度制与角度制的换算公式:
角度化弧度 360° = 2π rad 角度化弧度 180° = π rad 弧度化角度 2π rad= 360° 弧度化角度 π rad= 180°

180? ≈ 57.30° 0.01745 rad 1 rad=? 1° = π rad≈ ? ?° 180 ? π ?

即学即用
1、67°30′化成弧度。
π 1 3 ∴67 30' = rad ? 67 = πrad 解: 180 2 8
o

3 2、 把 πrad 化成度。 5
解: 3 πrad = 3 ? 180o = 108o
5 5

特殊角的弧度数
角 度 弧 度

0

?

? 30? 45? 60? 90? 120 135?150?180? 270?360?

0

? 6

? 4

? ? 2? 3? 5? 3 2 3 4 6

?

3? 2? 2

注:用弧度制表示角的时候,“弧度”二字或者 。 “rad”通常省略不写,但如果以度( )为 。 单位表示角时,度( )不能省略.

例2 用弧度制表示弧长及扇形面积公式: 1 ② S ? lR ① l ?r?? 2 其中l是扇形弧长,R是圆的半径。

l ① 由公式: 证明: ? ? ? l ?r?? r
弧长等于弧所对的圆心角(的弧度数) 的绝对值与半径的积.

②设扇形所对的圆心角为n? 的扇形的弧长和

面积公式分别是
n?R l? 180

n? 将n? 转化为弧度: ? ? 180 n 1 2 2 于是 S ? ? R ? ? R ??
360 2
又 αR=l,所以

n?R S? 360

2

1 S ? lR 2

巩固练习:

下列选项中,错误的是( D )

A.“度”与“弧度”是度量的两种不同的度量 单位 1 B.一度的角是周角的 360 ,一弧度的角是周 1 角的
2?

C.根据弧度的定义,180°一定等于π弧度 D.不论是用角度制还是弧度制度量角,它们 与圆的半径长短有关

2、下列命题中,正确的命题是______.
①1°的角是周角的 1 ,1 rad的角是周角的 1 ;
360 2?

②1 rad的角等于1度的角;
答案:①③④

③180°的角一定等于π rad的角; ④“度”和“弧度”是度量角的两种单位.

【例2】将下列各角转化为另一种表示形式:

?1? ? 300?; ? 2? ?

180 【审题指导】解答本题可直接利用1? ? ? rad, 1rad ? ( )? 180 ?

8 ?. 5

进行转化. 【规范解答】(1)-300°= ?300 ? ? rad ? ? 5 ? rad. (2)? 8 ? ? ?( 8? ? 180 )? ? ?288?.
5 5 ? 180 3

【典例】把角-570°化为2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形 式为______.

【审题指导】将-570°化为弧度,再化为2kπ+α的形式;
或先将-570°化为k·360°+α的形式,再将度化为弧度.
? 19 【规范解答】方法一:-570°= ? (570 ? ) ? ? ?,

∴ ? 19 ? ? ?4? ? 5 ?.
6 6

180

6

方法二:-570°=-2×360°+150°,
5 ??570? ? ?4? ? ?. 6 答案:?4? ? 5 ? 6

2.时钟经过1小时,时针转过了 (
? (A) rad 6 ? ? C ? rad 12
??? 1 ? ? 2? ? ? . 12 6 8

)

? (B) ? rad 6 ? ? D ? ? rad 12

【解析】选B.顺时针方向旋转形成的角为负角α,

3.已知扇形的面积是 3?,半径是1,则扇形的圆心角是 (
3? ?D? 2 3? 1 【解析】选C.设扇形的弧长为l,则 ? l ? 1, 8 2 故 l ? 3 ?, 所以扇形的圆心角为 3 ?. 4 4 3? ?A? 16 3? ? B? 8 3? ?C? 4

)

4.把90°化为弧度是______. 【解析】90? ? 90 ? ? ? ? . 答案: ?
2 180 2

5.若α是第四象限的角,则π-α是第______象限的角. 【解析】∵α是第四象限的角,即2kπ- <α<2kπ, ∴-2kπ+π<π-α<-2kπ+
3? ,k∈Z,即π-α是第三象 2 ? 2

限的角.
答案:三

6.在直径为20 cm的圆中,求下列各圆心角所对的弧长:
4? () 1 ; ? 2 ?165?. 3

【解析】 r=10 cm.
4? 40? ? 10 ? (cm). 3 3 ? 11? (2)165°= ? 165 rad ? rad, 180 12 11? 55? ? 10 ? (cm). ∴ l= 12 6

(1)l=α·r=

2、67°30′化成弧度。 解:
π 1 3 ∴67 30' = rad ? 67 = πrad 180 2 8
o

3 3、 把 πrad 化成度。 5
解: 3 πrad = 3 ? 180o = 108o
5 5

4 例2:把 ? rad 5

化成度.

4 4 ? ? 解: ? rad ? ? 180 ? 144 5 5
角度制与弧度制互化时要抓住 180? ? ? 弧度这个关键.

例1:将弧度转化为角度,角度转化为弧度

7? ? ? ( 1) = 15 ° (2) =-157° 30 ′; 8 12

13? ? ( 3) = 390 ° (4)36°= 6 5
7π (6)37°30′= (5)-105°= 12

5π 24

随堂练习
1将弧度转化为角度,角度转化为弧度

22 30

0

'

1200
4? ? 3

0

? 8 20? 3

? 210
? 12
0

0

7? ? 6

15

0

? 240

3? 10

54

0

例3

计算:

si n

?
4

解:

? ? 2 ? ? ∵ ? 45 ∴ sin ? sin 45 ? 4 2 4

随堂练习
2 请用弧度制表示下列范围.

锐角: {θ|0°<θ<90°}
钝角: {θ|90°<θ<180°}

周角: {θ|θ=360°}



终边在x轴上的角的集合

{? ? ? k? , k ? z}

终边在y轴上的角的集合 {? ? ? ? ? k? , k ? z} 2

例2 用弧度制表示弧长及扇形面积公式: 1 ② S ? lR ① l ?r?? 2 其中l是扇形弧长,R是圆的半径。

l ① 由公式: 证明: ? ? ? l ?r?? r
弧长等于弧所对的圆心角(的弧度数) 的绝对值与半径的积.

②设扇形所对的圆心角为n? (αrad)的扇形的

弧长和面积公式分别是
n?R l? 180

n?R S? 360

2

将n? 转化为弧度: ? ? n? 180 n 1 2 2 于是 S ? ? R ? ? R ?? 360 2 1 S ? lR 又 αR=l,所以 2

随堂练习
3 直径为20cm的圆中,求下列各
圆心所对的弧长⑴
4π 3

⑵ 165o

4 已知一个扇形的周长是6cm,该扇形
的中心角是1弧度,求该扇形的面积。

随堂练习
3 直径为20cm的圆中,求下列各圆心

所对的弧长⑴ 解: r = 10cm

4π ⑵ 3

165o

4π 40π (1)l = α ×r = ? 10 = (cm) 3 3
π 11π (2) 165 = ? 165(rad) = rad 180 12
o

11π 55π 所以l = ? 10 = (cm) 12 6

随堂练习
4 已知一个扇形的周长是6cm,该扇形的中心 角是1弧度,求该扇形的面积。

解:设扇形的半径为R,弧长为l
∵ 弧长 ∴

l = a R= R

3R = 6, R = 2

1 于是 S = Rl = 2 (cm 2 ) 2

1、-300°化为弧度是( B ) A. - 4π
3

B.- 5π
3

C.- 7π
4

D.- 7π
6
o

2.半径为 ? cm,中心角为 120 的弧长为 ( D ). A. π cm 3
π2 B. cm 3

C. 2π cm 3

2π 2 D. cm 3

3.将下列弧度转化为角度: (1 ) (3 )
?
12 7? = 15 °; (2)- = -157 ° 30 ′; 8

13? = 6

390 °;
7? 12

4.将下列角度转化为弧度: (1)36°=
? 5


(rad) ; (2)-105°=
5? 24

?

(rad) ;
?
3

(3)37°30′=

(rad) ;
?

5.将分针拨快 10 分钟,则分针转过的弧度数是



4、已知扇形AOB的圆心角为120°,半 径为6,求此扇形所含弓形面积。

2π 解:由 α = 120 = ,r = 6 3
o



S弓形 = S扇形 - SΓΑΟΒ = 12π - 9 3

【例3】(2011·盱眙高一检测)已知一扇形的周长为8 cm,
当它的半径和圆心角取什么值时,扇形的面积最大?并求 出最大面积. 【审题指导】先用r表示半径,再依据 S ? 1 lr 建立扇形面积
2

S与半径r之间的函数关系,利用二次函数求最大值.

【规范解答】设扇形的半径为r,弧长为l, 则2r+l=8,l=8-2r,
1 1 S ? lr ? r(8 ? 2r) 2 2

=-r2+4r

=-(r-2)2+4(0<r<4)
当r=2时,Smax=4 cm2, 此时l=4 cm,α=2. 所以当半径长为2 cm,圆心角为2 rad时, 扇形的面积最大为4 cm2.

例2 (1)已知扇形的圆心角为72°,半径等20cm, 求扇形的弧长和面积; (2)已知扇形的周长为10cm,面积为4cm2,求 扇形的圆心角的弧度数. 2? 2? 解: (1) 72? ? ?l ? ? R ? ? 20 ? 8? (cm)
1 1 ? S ? lR ? ? 8? ? 20 ? 80? (cm 2 ) 2 2 5 5

? 2 R ? l ? 10 ? ?R ? 1 ?R ? 4 (2) ? 1 ?? 或? lR ? 4 l ? 8 ?l ? 2 ? ? ?2 l 1 ?? ? ? 8或 R 2

注意:三个公式

1 ① l=|a|· R;② S=- 2 l R; 1 2 中 ③ S=- |a| R 2 包含4个未知数,可知二求二.

(注意公式中的α必须为弧度制!!!)

练习: 已知一半径为R的扇形,它的周长等
于所在圆的周长,那么扇形的中心角是多少 弧度?合多少度?扇形的面积是多少? 解:周长=2πR=2R+l,所以l=2(π-1)R. 所以扇形的中心角是2(π-1) rad. 合(
360(? ? 1)

?

)?
2

扇形面积是 (? ? 1) R

练习: 在半径为R的圆中,240?的中心角所
4 对的弧长为 ? R 3

,面积为2R2的扇
4

形的中心角等于

弧度。

4 解:(1)240? = ? ,根据l=αR,得 3
1 2 1 (2)根据S= lR= αR ,且S=2R2. 2 2

4 l ? ?R 3

所以 α=4.

练习:与角-1825? 的终边相同,且绝对值最
5 ? ? - 25? 小的角的度数是___,合___弧度。 36

解:-1825? =-5×360? -25? , 所以与角-1825? 的终边相同,且绝对值 最小的角是-25? .
5 合 ? 36 ?

课堂小结 弧度制 度量单位 弧度
圆弧所对应的圆 心角叫1 rad 的角

角度制 角度

单位规定 等于半径的长的

1 周角的 360为1度的角

换算关系

π =180° ? 180 ? 1rad= ? ? ? ? 57.30? ? 57°18′, ? ? ?
π rad=0.01745 rad 1° = 180


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