2017-2018学年高中数学第二章参数方程1参数方程的概念学案北师大版选修4_4

1 参数方程的概念 [对应学生用书 P19] 在平面直角坐标系内求曲线(轨迹)方程 由于在平面直角坐标系求曲线(轨迹)方程是解析几何非常重要的一类问题, 在高考中常 以解答题中关键的一问的形式出现,一般与平面解析几何、向量、函数等知识交汇命题. 常用的方法有: (1)直接法:如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系,即可用 求曲线方程的五个步骤直接求解. (2)定义法:如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可依定义写出轨迹方程. (3)代入法:如果动点 P(x,y)依赖于另一动点 Q(x1,y1),而 Q(x1,y1)又在某已知曲线 上,则可先列出关于 x,y,y1,x1 的方程组,利用 x,y 表示 x1,y1,把 x1,y1 代入已知曲 线方程即为所求. (4)参数法:动点 P(x,y)的横纵坐标用一个或几个参数来表示,消去参数即得其轨迹 方程. [例 1] 如图,圆 O1 和圆 O2 的半径都是 1,|O1O2|=4,过动点 P 分别作圆 O1 和圆 O2 的切线 PM,PN(M,N 分别为切点)使得|PM|= 2 |PN|,试建立适当的坐标系,并求动点 P 的轨迹方程. [解]如图,以直线 O1O2 为 x 轴,线段 O1O2 的垂直平分线为 y 轴, 建立平面直角坐标系,则两圆心的坐标分别为 O1(-2,0),O2(2,0). 设 P(x,y), 则|PM| =|PO1| -|MO1| =(x+2) +y -1. 同理,|PN| =(x-2) +y -1. ∵|PM|= 2|PN|,即|PM| =2|PN| . 即(x+2) +y -1=2[(x-2) +y -1]. 即 x -12x+y +3=0. 即动点 P 的轨迹方程为(x-6) +y =33. 求曲线的极坐标方程 在极坐标系中求曲线的极坐标方程是高考考查极坐标系的一个重要考向, 重点考查轨迹 极坐标方程的探求及直线和圆的极坐标方程的确定与应用问题. 求曲线的极坐标的方法和步 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 骤,和求直角坐标方程类似,就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹,将已知条件 用曲线上的极坐标 ρ ,θ 的关系式 f(ρ ,θ )表示出来,就得到曲线的极坐标方程. [例 2] 已知 Rt△ABO 的直角顶点 A 在直线 ρ cos θ =9 上移动(O 为原点),又∠AOB =30°,求顶点 B 的轨迹的极坐标方程. [解] 如图①,设 B(ρ ,θ ),A(ρ 1,θ 1). 则 ρ cos 30°=ρ 1,即 ρ 1= 3 ρ . 2 又∵ρ 1cos θ 1=9,而 θ 1=θ -30°, π? π? ? ? ∴ρ cos 30°cos?θ - ?=9,即 ρ cos?θ - ?=6 3. 6? 6? ? ? ① ② 若点 B 的位置如图②所示,同理得点 B 的轨迹方程为 π? ? ρ cos?θ + ?=6 3. 6? ? π? ? 综上所述,点 B 的轨迹方程为 ρ cos?θ ± ?=6 3. 6? ? π [例 3] 已知定点 A(a,0),动点 P 对极点 O 和点 A 的张角∠OPA= .在 OP 的延长线上 3 取点 Q,使|PQ|=|PA|.当 P 在极轴上方运动时,求点 Q 的轨迹的极坐标方程. [解] 设 Q,P 的坐标分别是(ρ ,θ ),(ρ 1,θ 1),则 θ =θ 1. a ?2π -θ ?, 在△POA 中,ρ 1= ?sin? ? π ? 3 ? sin 3 |PA|= asin θ π sin 3 ,又|OQ|=|OP|+|PA|, ?π ? ∴ρ =2acos? -θ ?. ?3 ? 极坐标与直角坐标的互化 极坐标与直角坐标的互化主要考查点的极坐标与直角坐标的互化以及曲线的极坐标方 2 程与直角坐标方程的互化, 将不熟悉的极坐标(方程)问题转化为熟知的问题求解. 解决此类 问题,要熟知:互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴并 在两种坐标系下取相同的单位长度. 互化公式为 x=ρ cos θ ,y=ρ sin θ ρ =x +y ,tan θ = ?x≠0? 直角坐标方程化极坐标方程可直接将 x=ρ cos θ ,y=ρ sin θ 代入即可,而极坐标 方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为 ρ cos θ ,ρ sin θ 的整体形式,然后用 x, 2 2 2 y x y 代替较为方便,常常两端同乘以 ρ 即可达到目的,但要注意变形的等价性. [例 4] 把下列极坐标方程化为直角坐标方程. (1)ρ =2acos θ (a>0); (2)ρ =9(sin θ +cos θ ); (3)ρ =4; (4)2ρ cos θ -3ρ sin θ =5. [解] (1)ρ =2acos θ ,两边同时乘以 ρ , 得 ρ =2aρ cos θ , 即 x +y =2ax. 整理得 x +y -2ax=0,即(x-a) +y =a , 是以(a,0)为圆心,以 a 为半径的圆. (2)两边同时乘以 ρ 得 ρ =9ρ (sin θ +cos θ ), 即 x +y =9x+9y, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? 9?2 ? 9?2 81 又可化为?x- ? +?y- ? = , ? 2? ? 2? 2 9 2 ?9 9? 是以? , ?为圆心,以 为半径的圆. 2 ?2 2? (3)将 ρ =4 两边平方得 ρ =16,即 x +y =16, 是以原点为圆心,以 4 为半径的圆. (4)2ρ cos θ -3ρ sin θ =5,即 2x-3y=5,是一条直线. [例 5] 将下列极坐标方程化为直角坐标方程. 5π 2 (1)θ = ;(2)ρ =ρ ;(3)2cos θ =7sin θ . 6 2 2 2 3 y y 5π 3 [解] (1)∵

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