2016届重庆市巴蜀中学高三上学期第三次月考数学(文)试题 解析版

2016 届重庆市巴蜀中学高三上学期第三次月考 数学(文)试题及解析
一、选择题 1.已知全集 U ? ?0,1, 2,3, 4? ,集合 A ? ?1,2,3? , B ? ?2, 4? ,则 (? U A) ? B 为( A. ?1,2,4? 【答案】C 【解析】试题分析:因为 CU A={0, 4} ,所以 (? U A) ? B= ?0,2,4? ,故选 C. 【考点】集合的补集与并集运算. 2.若 cos ? ? ? A. ? B. ?2,3,4? C. ?0,2,4? D. ?0,2,3,4? )

4 3

3 3? ) ,则 tan ? ? ( ,且 ? ? (? , 5 2 4 3 3 B. C. D. ? 3 4 4



【答案】B 【解析】试题分析:因为 ? ? (? ,

3? 4 4 ) ,所以 sin ? ? ? ,所以 tan ? ? ,故选 B. 2 5 3


【考点】同角三角函数间的基本关系. 3.设 a , b ? R ,那么“ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 试题分析: 因为当时

a ? 1 ”是“ a ? b ? 0 ”的( b

a a ? 1 ,a ? b ? 0 或 a ? b ? 0 , 所以 ? 1 ” 是 “a ? b ? 0” b b

的必要不充分条件,故选 B. 【考点】充分条件与必要条件的判定. 4.如图, 在复平面内,复数 z1 和 z2 对应的点分别是 A 和 B ,则

z2 z1

?(



A.

1 ? ? i 5 5

B.

2 1 ? i 5 5

C. ?

1 ? ? i 5 5

D. ?

2 1 ? i 5 5

【答案】C 【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 图 知 , z1 ? ?2 ? i , z2 ? i , 所 以

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z2 i i(?2 ? i) 1 2 ? ? ? ? ? i ,故选 C. z1 ?2 ? i (?2 ? i)(?2 ? i) 5 5
【考点】1、复数的几何意义;2、复数的运算 【知识点睛】 (1)复数 z ? a ? bi 一一对应复平面内的点 Z (a, b)(a, b ? R) ,一一对应 平面向量 OZ ,即 z ? a ? bi (a, b ? R) ? Z (a, b) ? OZ ; (2)由于复数、点、向量 之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运 用数列结合的方法,使能更直观地解决. 5.已知向量 a 、 b 满足 | a ? b |? 10 , | a ? b |? 6 ,则 a ? b ? ( A. 4 B. 2 3 C. 6 D. 1

??? ?

??? ?

?

?

? ?

? ?

? ?



【答案】D 【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 题 意 , 得 | a ? b |2 ? a ? 2a? b ? b ? 10

? ?
? ?

?2

? ? ?2
? ?

①,

? ? ? 2 ? ? ?2 | a ? b |2 ? a ? 2a? b?b ? 6
【考点】平面向量的模.

b ? 4 ,所以 a? b ? 1 ,故选 D. ②,①-②得 4a?


6.设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题中正确的是( A.若 l ? ? , m ? ? ,则 l ? m B.若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? C.若 l ? ? , l ? m ,则 m ? ? D.若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ?

【答案】A 【解析】试题分析:A 中,根据两 B 中,根据线面平行的性质与线面垂直的判定知 A 正 确, l 与平面 ? 有可能不垂直,故 B 错;C 中,直线 m 有可能在平面 ? 内,故 C 错;D 中,直线 l 有可能在平面 ? 内,故 D 错,故选 A. 【考点】1、空间直线与平面的位置关系;2、空间直线与直线的位置关系. 7.若函数 f ( x ) ? x ? A. 1 ? 2

1 ( x ? 2 )在 x ? a 处取最小值,则 a ? ( x?2
C. 3 D. 4



B. 1 ? 3

【答案】C 【 解 析 】 试 题 分 析 : 因 为 x ? 2 , 所 以 x?2?0 , 所 以

f ( x? )
x?2?

1 ? x x?2

1 ? ( x?2 )? x?2

? 2 ?? 2 x

1 ( ? 2 2 仅 当 = ) 4 ,?当 且 x?2

1 ,即 x ? 3 时等号成立,所以 a ? 3 ,故选 C. x?2

【考点】基本不等式. 【方法点睛】使用基本不等式以及与之相关的不等式求一元函数或者二元函数最值时, 基本的技巧是创造使用这些不等式的条件,如各变数都是正数,某些变数之积或者之和 为常数等,解题中要根据这个原则对求解目标进行适当的变换,使之达到能够使用这些
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不等式求解最值的目的.在使用基本不等式求函数的最值、特别是求二元函数最值时一 定要注意等号成立的条件,尽量避免二次使用基本不等式. 8.已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积是( )

A. 2 3 ? ?

B. 2 3 ? 2?

C.

2 3 ?? 3

D.

2 3 ? 2? 3

【答案】A 【解析】试题分析:由三视图知,该几何体是由半个圆柱与一个三棱柱组合而成的,其 中圆柱的底面圆半径为 1、高为 2,棱柱的高为 2,所以该几何体的体积为

1 1 ? ?12 ? 2 ? ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 3 ? ? ,故选 A. 2 2
【考点】1、空间几何体的三视图;2、圆柱与棱柱的体积. 9.已知△ ABC 中, ?C ? 90? , CB ? CA ? 3 ,△ ABC 所在平面内一点 M 满足:

???? ???? ? ???? ? 1 ??? ? 1 ???? AM ? AB ? AC ,则 MB ? MC ? ( 3 3
B. ?3 C. 3 2 D. 3



A. ?1

【答案】A 【解析】试题分析:因为 ?C ? 90? , CB ? CA ? 3 ,所以 ?A ? 45? , AB ? 3 2 ,

???? ? 1 ???? 2 ???? 1 ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ??? ?? 2 ??? = A) B ? ( M? A A ) CMB ? MC = ( AB ? AC ) ? ( AC ? AB) = 3 3 3 3 ? 2 2 ???? 2 5 ??? ????? 2 ??? ? AB ? AC ? ? AB AC 9 9 9 ? ???? 2 2 5 ??? 2 2 = ? ? (3 2) ? ? 3 ? | AB | ? | AC | cos 45? ? ?1 ,故选 A. 9 9 9
所 以 (M A ?

? ? ??

【考点】1、平面向量的加减法运算;2、平面向量的数量积运算. 10.已知函数 y ? f ( x ? 1) 是定义域为 R 的偶函数,且在 ?1, ?? ? 上单调递增,则不等 式

f (2 x ? 1) ? f ( x ? 2) 的解集为(
B. ? x |



A. ?x | x ? 3?

? ?

1 ? ? x ? 3? 2 ? 1 ? ? x ? 3? 3 ?

C. ? x | ?

? ?

1 ? ? x ? 3? 3 ?

D. ? x |

? ?

【答案】D
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【解析】试题分析:由条件,知函数 f ( x ) 关于直线 x ? 1 对称,因为函数 y ? f ( x ? 1) 在 ?1, ?? ? 上单调递增,所以函数 y ? f ( x ? 1) 在 ?2, ??? 上单调递增,在 (??, 2] 上单 调 递 减 . 由 , 得 x?

?2 x ? 1? 2 3 3 ;由 ? , 得 x?0 , 而 当 0? x? 时, 2 2 ?x?2?2
3 时 , 不 等 式 f (2 x ? 1) ? f ( x ? 2) 转 化 为 2

2 x ? 1? 0 ?

①当 x? 2 x? , ? 2 .2

3 ? x ? 3 ; ② 当 x ? 0 时 不 等 式 f ( 2 x ? 1)? f (x ? 2) 转化为 2 3 2 x ? 1? x ? 2 , 解 得 x ? 3 , 此 时 不 成 立 ; ③ 当 0 ? x ? 时 , 不 等 式 2

2x ?1 ? x ? 2 , 解 得

, f (2 x ? 1) ? f ( x ? 2) 转 化 为 f ( 3? 2x )? f (x? 2 ) 即 化 为 3 ? 2x ? x ? 2 , 解 得

1 3 ? 1 ? ? x ? ,综上所述不等式 f (2 x ? 1) ? f ( x ? 2) 的解集为 ? x | ? x ? 3? ,故选 D. 3 2 ? 3 ?
【考点】1、函数的奇偶性;2、函数的单调性;3、不等式的解法.

P 作垂直于平面 11.如图,动点 P 在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的对角线 BD 1 上,过点

P ? x ,MN ? y , 与正方体表面相交于 M ,N , 设B 则函数 y ? f ( x) BB1D1D 的直线,
的图像大致是( )

【答案】B 【解析】试题分析:设正方体的棱长为 1,显然,当 P 移动到对角线 BD1 的中点 O 时, 函数 y=MN=AC= 2 取得唯一最大值,所以排除 A、C;当 P 在 BO 上时,分别过

M 、N、P 作 底 面 的 垂 线 , 垂 足 分 别 为 M1、N1、P 1 , 则

y? M N ?

1

M N 1 2?

1

2B ? c P o s? x1

2 是一次函数,排除 Dx ,故选 B. D ? 2B? D 3

【考点】1、空间中直线与直线之间的位置关系;2、函数的图象.

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12.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a2n ? an ? 1 , a2n?1 ? n ? an ,则 ?an ? 的前 100 项和为 ( ) A.1250 B.1276 【答案】C C.1289 D.1300 , 则 a2n ? a n?2 ? n 1?1 = 1276 . 5 因? 为 2 ? 3 ? ? 0

【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 条 件 得

a1 ? ( a2 ? a ) 3 ? ( a4 ? ?a )5 ? a1 0? 1 ?a 0
5

( ? a9

8

?a ) 9 ?9 2 ?
1 2

? 10 ? ( 1 a?

2

) 5? 2 ? ( a1 ? 2

? ) a 1? 4 ?( ? a ) ? 13 3 ? a ( 1 ? 6 1

? 1)

,所以 a1 ? a2 ? ?? a100 ? 1276 ? 13 ? 1289 ,故选 C. 【考点】1、数列的性质;2、等差数列的前 n 项和. 二、填空题 13.在等比数列 ?an ? 中,若 a3a6 ? 9 , a2 a4 a5 ? 27 ,则 a2 ? 【答案】3 【解析】试题分析:因为 a2 a4 a5 ? a2 a3a6 ? 9a2 ? 27 ,所以 a2 ? 3 . 【考点】等比数列的性质. 【知识点睛】 在等比数列中, 若 m ? n ? s ? t (m, n, s, t ? N *) , 则 aman ?aa 特别地, s t ,
2 当 n ? m ? 2k 时, am an ? ak ;在在等差数列中,若 m ? n ? s ? t( m, n, s, t ? N*) ,则



特别地, 当 n ? m ? 2k 时,am an ? 2ak , 在解题过程灵活应用等 (差) am ? an ? as ? at , 比数列这一性质往往能使问题得到快速解答. 14.已知球的表面积为 64? cm ,用一个平面截球,使截面圆的半径为 2 cm ,则球心
2

到截面的距离为 【答案】 2 3 【解析】

cm .

2 2 试题分析:由球的表面积为 64? cm ,得 4? R ? 64? ,解得 R ? 4 ,所以球心到截面

距离为 d ?

R2 ? r 2 ? 42 ? 22 ? 2 3cm .

【考点】1、球的表面积;2、球的截面圆性质.

? x ? 2 y ? 2, ? 15 .已知变量 x , y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 4, 则目标函数 z ? 3x ? y ? 3 的最大值 ?4 x ? y ? ?1, ?
是 . 【答案】9
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【解析】试题分析:作出变量 x , y 满足的平面区域,如图所示,由图知当目标函数

z ? 3x ? y ? 3 经过点 A(2, 0) 时,取得最大值,且 zmax ? 3 ? 2 ? 0 ? 3 ? 9 .

【考点】简单的线性规划问题. 【方法点睛】 线性规划的实质是把代数问题几何化, 即数列结合的思想, 需要注意的是: ①是准确无误地作出可行域;②画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直 线的斜率进行比较,避免出错;③一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的 端点或边界上取得. 16.已知 f ( x) ? sin(? x ? 值,无最大值,则 ? ?

?

)(? ? 0) , f ( ) ? f ( ) ,且 f ( x) 在区间 ( , ) 有最小 3 6 3 6 3


?

?

? ?

14 【答案】 3
【解析】试题分析:如 图 所 示 , 因 为 f ( x) ? sin(? x ?

?

),且 f ( ) ? f ( ) ,又 3 6 3

?

?

? ? ?? 在 区 间 ? , ? 内 只 有 最 小 值 、无 最 大 值 ,所以 f ( x ) 在 6 ?6 3?
值 ,所 以

?

?

3 ? ? 处取得最小 2 4

?

10 (k ? z ) .又 ? ? 0 ,所 以 4 3 2 3 10 14 10 38 ? ; 当 k ? 2 时 , ? ? 16 ? ? 当 k ?1时, ? ? 8 ? , 此 时 f ( x) 在 区 3 3 3 3

?

??

?

? 2 k? ?

?

, (k ? z ) ,所 以 ? ? 8k ?

间 ? , ? 内有最大值,故 ? ?

? ? ?? ?6 3?

14 . 3

【考点】三角函数的图象与性质. 三、解答题 17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 S3 ? 0 , S5 ? ?5 .

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(1)求 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?

?

? 1 ? 的前 n 项和. ? a2 n ?1a2 n ?1 ?
n . 1 ? 2n

【答案】 (1) an ? 2 ? n ; (2)

【解析】试题分析: (1)设等差数列的首项,公差分别是 a1 , d ,代入 Sn 中求解; (2) 先将 2n ? 1 和 2n ? 1 代入通项公式,整理,再裂项相消求解. 试题解析: (1)设 ?an ? 的公差为 d ,则 Sn ? na1 ? 由已知可得 ?

n(n ? 1) d. 2

?3a1 ? 3d ? 0, ? a1 ? 1, 解得 ? ,故 ?an ? 的通项公式为 an ? 2 ? n . ? d ? ?1, ?5a1 ? 10d ? ?5,
1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), a2 n?1a2 n?1 (3 ? 2n)(1 ? 2n) 2 2n ? 3 2n ? 1


(2)由(1)知







? ? 1 ? ? ? a2 n ?1a2 n ?1 ?





n
1







1 1 1 1 1 n 1 ( ? ? ? ?…? ? )? . 2 ?1 1 1 3 2n ? 3 2n ? 1 1 ? 2n

【考点】1、等差数列的前 n 项和;2、等差数列的通项公式;3、裂项相消法求和. 【易错点睛】在使用裂项法求和时,要注意正负相消时消去了哪些项,保留了哪些项, 切不可漏写未被消去的项,未被去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法 的根源与目的.有时首项不能消去,有时尾项不能消去,因此在消项时要特别小心,以 免出错. 18. (本小题满分 12 分) 如图,在△ ABC 中, D 为 AB 边上一点, DA ? DC ,已知

B?

?
4

, BC ? 1 .

(1)若△ ABC 是锐角三角形, DC ? (2)若△ BCD 的面积为 【答案】 (1) ?A ?

6 ,求角 A 的大小; 3

1 ,求边 AB 的长. 6

?
6

; (2)

5? 2 . 3

【解析】试题分析: (1)先利用正弦定理求得 ?BDC 的值,再由 DA ? DC 求得角 A 的 大小; (2)先由三角形的面积公式求得 BD 的长,再由余弦定理求得 CD 的长,从而求
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得 AB 的长. 试题解析: (1)在△ BCD 中, B ?

?
4

, BC ? 1 , DC ?

6 , 3

由正弦定理得到:

BC CD ? , 解 得 sin ?BDC ? sin ?B D C s i? n B

1?

2 2 ? 3 ,则 2 6 3

?B D C?

?
3



2? , 3

∵△ ABC 是锐角三角形,∴ ?BDC ? 又由 DA ? DC ,则 ?A ? ( 2 )由于 B ?

?
3



?
6



?
4

, BC ? 1 ,△ BCD 面积为

1 1 ? 1 ,则 ? BC ? BD ? sin ? ,解得 6 2 4 6

BD ?

2 . 3

2 2 2 再由余弦定理得到 CD ? BC ? BD ? 2 BC ? BD ? cos

?

2 2 2 5 ? 1? ? 2? ? ? , 4 9 3 2 9

故 CD ?

5 , 3 5? 2 5? 2 ,故边 AB 的长为 . 3 3

又由 AB ? AD ? BD ? CD ? BD ?

【考点】1、正余弦定理;2、三角形的面积公式. 19. (本小题满分 12 分)某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( ? ? 0 ,

| ? |?

?
2

)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:

?x ??

0

x
A sin(? x ? ? )

0

? 2 ? 3 5

?

3? 2 5? 6 ?5

2?

0

(1)请将上表数据补充完整,并求出函数 f ( x ) 的解析式; (2)将 y ? f ( x) 的图象向左平移 方程 g ( x) ? (2m ? 1) ? 0 在 ? 0,

? 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象.若关于 x 的 6

? ?? 上有两个不同的解,求实数 m 的取值范围. ? 2? ?

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【答案】 (1)见解析; (2)

3 ? m ? 2. 4
?
3

【 解析 】试 题分析 : ( 1 ) 根据 表中 f ? x ? 的 最值 可得 A ? 5 , 根据

? ?? ?

?
2



5? 3? 可解得 ? , ? 的值,从而可将表补充完整. ( 2)根据伸缩平移变换可得 ? ?? ? 6 2

y ? g ? x ? 的 解 析 式 为 g ( x) ? 5 s i n ( x 2?

π , 可看成函数 ) 将 方 程 g ( x) ? ( 2m? 1)? 0 6

? ?? y ? g ( x) , x ? ?0, ? 和函数 y ? 2m ? 1 的图像有两个交点,从而求得实数 m 的取值 ? 2?
范围. 试题解析: (1)根据表中已知数据,解得 A ? 5 ,? ? 2 ,? ? ?

?

?x ??

0

x
A sin(? x ? ? )

? 12 0

? 2 ? 3 5

?
7? 12
0

3? 2 5? 6 ?5

6 2?

,数据补全如下表:

13? 12 0

且函数表达式为 f ( x) ? 5sin(2 x ? (2) 通过平移,g ( x) ? 5sin(2 x ?

?

?

6

).

6

), 方程 g ( x) ? (2m ? 1) ? 0 可看成函数 y ? g ( x) ,

? ?? ? ?? x ? ?0, ? 和 函 数 y ? 2m ? 1 的 图 像 有 两 个 交 点 , 当 x ? ?0, ? 时 , ? 2? ? 2? 2x ?

?

? ? 7? ? ? ? , ? , 为 使 横 线 y ? 2m ? 1 与 函 数 y ? g ( x ) 有 两 个 交 点 , 只 需 6 ?6 6 ?

5 3 ? 2m ? 1 ? 5 ,解得 ? m ? 2 . 2 4
【考点】1、正弦函数图像的五点作图法;2、正弦函数的对称中心;3、三角函数的伸 缩平移变换. 【知识点睛】①函数 y ? sin x 的图象在 [0, 2? ]上的五个关键点的坐标为: (0, 0) ,

? 3? ( ,1) ,(? ,0) , ( , ?1) ,(2? , 0) ;函数 y ? cos x 的图象在 [0, 2? ] 上的五个关键点 2 2 ? 3? , 0) , (2? ,1) . 的坐标为: (0,1) , ( , 0) , (? , ?1) , ( 2 2 20. (本小题满分 12 分) 如右图, 已知 ABCD 是边长为 2 的正方形,EA ? 平面 ABCD , FC / / EA ,设 EA ? 1 , FC ? 2 .

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(1)证明: EF ? BD ; (2)求四面体 BDEF 的体积; (3)求点 B 到平面 DEF 的距离. 【答案】 (1)见解析; (2)2; (3)2. 【解析】试题分析: (1)先由正方形的性质得到 BD ? AC ,再由 EA ? 平面 ABCD , EA ? BD 得 , 从 而 问 题 得 证 ; ( 2 ) 由

V?

A

V

B

?

C ?

D

? V

E?

F

? 2V VB? E

A A C B ? F D E

?V

DEF 的 3)先求△ ? 求解; VF ?E (B A C B D D

F

B

C

D

三条边长,再由余弦定理求得 cos ?EDF 的值,进而求得 sin ?EDF 的值,从而可得 到 ?DEF 的面积,再用体积法即可求到点 B 到平面 DEF 的距离. 试题解析: (1)由已知, ABCD 是正方形,所以对角线 BD ? AC , 因为 EA ? 平面 ABCD ,所以 EA ? BD , 因为 EA , AC 相交,所以 BD ? 平面 EACF ,从而 BD ? EF . B D F ( 2 ) 四 面 体 的E 体 积

V?

A

V? B

?

C

?

?

V D ? 2VB E ?

V F A

? VC ?

E

F

A

?V E

?

B

ED

A

F

B

B D

C

1 1 1 1 ? 2( S ACFE ? BD) ? S?ABD ? EA ? S ?BCD ? FC 3 2 3 3

? 1 (1 ? 2) ? 2 2 ? 1 1 ? 2? ? ? 2 ? ? ? 2 ?1 ? ? 2 ? 2 ? 2 , 2 3 ?3 ? 3
所以四面体 BDEF 的体积为 2. ( 3 ) 先 求 △ DEF 的 三 条 边 长 , DE ?

EA2 ? AD2 ? 5 ,

DF ? FC 2 ? CD2 ? 2 2 ,
在直角梯形 ACFE 中易求出 EF ? 3 , 由余弦定理知 cos ?EDF ?

5?8?9 1 3 ? ,所以 sin ?EDF ? , 2? 5 ?2 2 10 10

1 1 3 S?DEF ? ? DE ? DF ? sin ?EDF ? ? 5 ? 2 2 ? ? 3; 2 2 10
点 B 到平面 DEF 的距离为 h ,由体积法知:

1 1 VBDEF ? S ?DEF ? h ? ? 3 ? h ? 2 ,解得 h ? 2 ,所以点 B 到平面 DEF 的距离为 2. 3 3
【考点】1、线面垂直的性质;2、线线垂直的判定;3、余弦定理;三角形面积公式;4、 多面体的体积;5、空间距离.

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21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ?

?? x 3 ? x 2 , x ? 1, ?a ln x, x ? 1,

a?R .

(1)当 x ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间和极值; (2)对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? f ( x) 上是否存在两点 P , Q ,使得△ POQ 是 以 O 为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上?

2 3 2 2 4 极小值 f (0) ? 0 ;当 x ? 时,取得极大值 f ( ) ? ; (2)见解析. 3 3 27

【答案】 (1)在 ? ??,0? 和 ( ,1) 上单调递减,在 (0, ) 上单调递增;当 x ? 0 时,取得

2 3

【解析】 试题分析: (1) 先求出导数等于零的值, 然后根据导数符号研究函数的单调性, 求得单调区间,判定极值点,代入原函数,求出极值即可; (2)假设曲线 y ? f ( x) 上 存在两点 P ,Q 满足题设要求, 则则 P ,Q 只能在 y 轴的两侧, 设 P(t , f (t )) ( t ? 0 ) , 则 Q(?t , t 3 ? t 2 ) ,且 t ? 1 ,由此入手得证. 试题解析: (1)当 x ? 1 时, f ( x) ? ? x3 ? x2 , f '( x) ? ?3x2 ? 2 x ,令 f '( x) ? 0 ,解

2 2 2 ,此时 f ( x ) 在 ? ??,0? 和 ( ,1) 上单调递减,在 (0, ) 上单调递增. 3 3 3 2 2 4 ∴当 x ? 0 时, f ( x ) 取得极小值 f (0) ? 0 ; 当 x ? 时, f ( x ) 取得极大值 f ( ) ? . 3 3 27
得0 ? x ? (2)假设曲线 y ? f ( x) 上存在两点 P , Q ,使得 ?POQ 是以 O 为直角顶点的直角三
3 2 角形,则 P , Q 只能在 y 轴的两侧,不妨设 P(t , f (t )) ( t ? 0 ) ,则 Q(?t , t ? t ) ,且

t ? 1.
因为△ POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形,所以 OP ? OQ ? 0 , 即: ?t ? f (t ) ? (t ? t ) ? 0 ①
2 3 2

??? ? ????

是否存在点 P , Q 等价于方程①是否有解.
4 2 3 2 若 0 ? t ? 1 ,则 f (t ) ? ?t ? t ,代入方程①得: t ? t ? 1 ? 0 ,此方程无实数解;

1 ? (t ? 1) ln t , a 1 设 h( x) ? ( x ? 1) ln x ( x ? 1) , 则 h '( x) ? ln x ? ? 1 ? 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立, 所以 h( x) x 1 在 ?1, ?? ? 上单调递增,从而 h( x) ? h(1) ? 0 ,所以当 a ? 0 时,方程 ? (t ? 1) ln t 有 a
若 t ? 1 ,则 f (t ) ? a ln t ,代入方程①得: 解,即方程①有解. 所以, 对任意给定的正实数 a , 曲线 y ? f ( x) 上存在两点 P ,Q , 使得△ POQ 是以 O
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为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上. 【考点】1、利用导数研究函数的单调性;2、函数的极值;3、导数的运算. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,EP 交圆于 E ,C 两点,PD 切圆于 D ,G 为 CE 上一点且 PG ? PD , 连接 DG 并延长交圆于点 A ,作弦 AB 垂直 EP ,垂足为 F .

(1)求证: AB 为圆的直径; (2)若 AC ? BD , AB ? 5 ,求弦 DE 的长. 【答案】 (1)见解析; (2)5. 【解析】试题分析: ( 1 )由已知可得∠ PDG ? ∠ PGD ,又由切割弦线定理可得 ?PDA ? ?DBA ,从而可得 ?DBA ? ?EGA ,进而得到 ?BDA ? ?PFA ,最后得 ?BDA ? 90? 使问题得证; ( 2 )连接 BC , DC ,由 AB 是直径,得∠ BDA ? ∠ ACB ? 90? , 然后由 Rt ?BDA ? Rt ?ACB 得 ?DAB ? ?CBA , 再由 ?DCB ? ?CBA 得 DC / / AB ,则可得 DE 是直径,从而求得 DE 的长. 试题解析: (1)因为 PD ? PG ,所以∠ PDG ? ∠ PGD . 由于 PD 为切线,故 ?PDA ? ?DBA , 又由于∠ PGD ? ?EGA ,故 ?DBA ? ?EGA , 所以 ?DBA ? ?BAD ? ?EGA ? ?BAD , 从而 ?BDA ? ?PFA . 由于 AF 垂直 EP ,所以 ?PFA ? 90? ,于是 ?BDA ? 90? ,故 AB 是直径. (2)连接 BC , DC ,由于 AB 是直径,故∠ BDA ? ∠ ACB ? 90? , 在 Rt △ BDA 与 Rt △ ACB 中, AB ? BA , AC ? BD , 从而 Rt ?BDA ? Rt ?ACB ,于是 ?DAB ? ?CBA . 又因为 ?DCB ? ?DAB ,所以 ?DCB ? ?CBA ,故 DC / / AB . 由于 AB ⊥ EP ,所以 DC ⊥ EP ,∠ DCE 为直角,于是 DE 是直径, 由(1)得 DE ? AB ? 5 .

【考点】1、切割弦线定理;2、圆周角定理;3、与圆有关的比例线段. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:参数方程选讲 极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极 轴 . 已 知 曲 线 C1 的 极 坐 标 方 程 为 ? ? 2 2 sin(? ?

?
4

) , 曲 线 C2 的 参 数 方 程 为

? x ? ?1 ? t cos ? , ? ? t 为参数, 0 ? ? ? ? ;射线 ? ?? , ? ? ? ? , ? ? ? ? , ? 4 4 ? y ? 3 ? t sin ? ,

??

?
2

? ? 与曲线 C1 分别交异于极点 O 的四点 A , B , C , D .
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(1)若曲线 C1 关于曲线 C2 对称,求 ? 的值,并把曲线 C1 和 C2 化成直角坐标方程; (2)求 | OA | ? | OC | ? | OB | ? | OD | 的值. 【答案】 (1) ? ?

3? , C1 : ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 , C2 : y ? ? x ? 2 ; (2) 4 2 . 4

【解析】试题分析: (1)把 C1 、C2 的方程化为直角坐标方程,根据曲线 C1 关于曲线 C2 对称,知圆心 (1,1) 在 C2 上,从而求得 ? 的值; (2)由题意得 | OA |? 2 2 sin(? ?

?
4

),

? 3? | OB |? 2 2 sin(? ? ) ? 2 2 cos ? , | OC |? 2 2 sin ? , | OD |? 2 2 sin(? ? ) , 2 4
再由两角和与差的余弦公式计算求解. 试题解析: (1) C1 : ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 , ∵ 曲 线 C1 关 于 曲 线 C2 对 称 , ∴ 圆 心 (1, 1)在 C2 上 , 即 ?

? , ?1 ? ?1 ?t cos 整理得 ? , ?1 ? 3? t s i n

t a n? ? ? 1 ,即 ? ?

3? . 4

∴ C2 : y ? ? x ? 2 . ( 2 )

| OA |? 2 2 sin(? ? ) 4

?



| OB |? 2 2 sin(? ? ) ? 2 2 cos ? 2

?



| OC |? 2 2 sin ? ,
| OD |? 2 2 sin(? ? 3? ), 4

∴ | OA | ? | OC | ? | OB | ? | OD |? 8sin ? sin(? ?

?
4

) ? 8cos ? sin(? ?

? 8sin ? sin(? ?

?

) ? 8cos ? cos(? ? ) ? 8 cos ? 4 2 . 4 4 4

?

?

3? ) 4

【考点】1、极坐标与直角坐标的互化;2、两角和与差的余弦. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | 2 x ? 1| . (1)求不等式 f ( x) ? ?1 的解集; (2)若不等式 f ( x) ? a | x ? 2 | 对任意的 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【答案】 (1) ? x | x ? ? 或x ? 3? ; (2) a ? 1 . 【解析】试题分析: (1)利用零点分段法去掉绝对值符号,分段求解即可; (2)方法一: 所不等式 f ( x) ? a | x ? 2 | 转化为 a ?|

? ?

1 3

? ?

x ?1 2x ?1 |?| |, 利用三角不等式求解; 方法二: x?2 x?2

用零点将实数分区间去掉绝对值把函数 f ( x ) 写成分段函数的形式,由函数的单调性可
试卷第 13 页,总 14 页

求函数的最大值 f ( x)max ,由 a ? f ( x)max 即可求 a 的范围. 试题解析: (1) :

1 1 ? ? ? x ? ?1, ??1 ? x ? , ?x ? , 或? 或? 2 2 ? ?? x ? 1 ? 2 x ? 1 ? ?1 ? x ? 1 ? 2 x ? 1 ? ?1 ? x ? 1 ? 2 x ? 1 ? ?1, ? ?
所以 x ? ?1 或 ?1 ? x ? ?

1 1 ? ? 或 x ? 3 ,即 ? x | x ? ? 或x ? 3? . 3 3 ? ?

(2)若 f ( x) ? a | x ? 2 | 恒成立,即: | x ? 1| ? | 2 x ? 1|? a | x ? 2 | 恒成立,

x ?1 2x ?1 3 3 |?| |?|1 ? |?|2? | 恒成立. x?2 x?2 x?2 x?2 3 3 3 3 |?|2? |?| (1 ? ) ? (2 ? ) |? 1 ,所以 a ? 1 . 由三角不等式 |1 ? x?2 x?2 x?2 x?2
可得 a ?| 法二:由零点分段法:

? ? x ? 2, x ? ?1, ? 1 ? f ( x) ? ?3x, ?1 ? x ? , 作出图像如图,只需斜率 a ? 1 时满足条件. 2 ? 1 ? ? x ? 2, x ? , ? ? 2

【考点】1、绝对值不等式的解法;2、绝对值不等式的性质;3、不等式恒成立问题. 【方法点睛】当不等式左边含有两个绝对值符号,①可考虑采用零点分段法,即令每一 项都等于 0,得到的值作为讨论的分区点,然后再分区间讨论绝对值不等式,最后应求 出解集的并集;②观察不等式的结构,利用绝对值的几何意义用数列方法或联想绝对值 不等式 | a ? b |?| a | ? | b | 来解.

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