2014届高三数学(理)一轮专题复习课件 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

§7.3

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

[高考调研
考纲解读

明确考向]
考情分析 ?求二元一次不等式(组)表示的平面

?会从实际情境中抽象出二元一次不 等式组. ?了解二元一次不等式的几何意义, 能用平面区域表示二元一次不等式 组. ?会从实际情境中抽象出一些简单的 二元线性规划问题,并能加以解决.

区域的面积、求目标函数的最值及 简单的线性规划实际应用问题是命 题的热点. ?题型多为选择、填空题,着重考查 平面区域的画法及目标函数最值问 题,注重考查等价转化、数形结合 思想.

知识梳理 1.二元一次不等式(组)表示平面区域 作二元一次不等式Ax+By+C>0(或Ax+By+C<0)表示 的平面区域的方法步骤: (1)在平面直角坐标系中作出直线Ax+By+C=0; (2)在直线的一侧任取一点P(x0,y0),特别地,当C≠0 1 时,常把□______作为此特殊点;

2 (3)若Ax0+By0+C>0,则包含点P的半平面为不等式 □ ________________所表示的平面区域,不包含点P的半平面 3 为不等式□______________所表示的平面区域.

2.线性规划的有关概念 (1)线性约束条件——由条件列出一次不等式(或方程) 组. (2)线性目标函数——由条件列出一次函数表达式. (3)线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的 最大值或最小值问题.

4 (4)可行解:满足□__________________的解(x,y). 5 (5)可行域:所有□__________的集合. 6 (6)最优解:使 □ ________取得最大值或最小值的可行 解.

3.利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤 是 (1)在平面直角坐标系内作出可行域; (2)作出目标函数的等值线; (3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数等值线, 7 从而确定□__________; (4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最 小值.

4.线性规划实质上是“数形结合”数学思想方法在一 个方面的体现,将最值问题借助图形直观、简便地寻找出 来,是一种较快地求最值的方法. 5.在求解应用问题时要特别注意题意中的变量的取值 范围,不可将范围盲目扩大.

1 答案: □ 原点

2 3 □Ax+By+C>0 □Ax+By+C<0

4 5 6 7 □线性约束条件 □可行解 □目标函数 □最优解

名师微博 ●一个性质 确定二元一次不等式表示的平面区域时,经常采用“直 线定界,特殊点定域”的方法. (1)直线定界,即若不等式不含等号,则应把直线画成虚 线;若不等式含有等号,把直线画成实线.

(2)特殊点定域,即在直线Ax+By+C=0的某一侧取一 个特殊点(x0,y0)作为测试点代入不等式检验,若满足不等 式,则表示的就是包括该点的这一侧,否则就表示直线的另 一侧.特别地,当C≠0时,常把原点作为测试点;当C=0 时,常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点.

●一个步骤 利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是: (1)在平面直角坐标系内作出可行域. (2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形; (3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数变形后的 直线,从而确定最优解; (4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最 小值.

●两个防范 (1)画出平面区域,避免失误的重要方法就是首先使二元 一次不等式标准化. (2)求二元一次函数z=ax+by(ab≠0)的最值,将函数z= a z ax+by转化为直线的斜截式:y=- b x+ b ,通过求直线的截 z z 距b的最值间接求出z的最值.要注意:当b>0时,截距b取

z 最大值时,z也取最大值;截距b取最小值时,z也取最小值; z z 当b<0时,截距 b 取最大值时,z取最小值;截距 b 取最小值 时,z取最大值.

基础自测 1.点(3,1)和(-4,6)在直线3x-2y+a=0的两侧,则a的取 值范围是( ) B.-7<a<24 D.以上都不对

A.a<-7,或a>24 C.a=-7,或a=24

解析:点(3,1)和(-4,6)在直线3x-2y+a=0的两侧,说 明将这两点坐标代入3x-2y+a后,符号相反, 所以(9-2+a)(-12-12+a)<0,解之得-7<a<24.

答案:B

?x≥0, ? 2.不等式组 ?x+3y≥4, ?3x+y≤4, ? 等于( 3 A.2 4 C.3 ) 2 B.3 3 D.4

所以表示的平面区域的面积

解析:不等式组表示的平面区域如图所示.由
?x+3y=4, ? ? ?3x+y=4, ?

得交点A的坐标为(1,1).

? 4? 又B,C两点的坐标为(0,4),?0,3?. ? ?

4? 1 ? 4 故S△ABC=2×?4-3?×1=3. ? ?

答案:C

?2x+y≥4, ? 3.设x,y满足?x-y≥-1, ?x-2y≤2, ? A.有最小值2,最大值3 B.有最小值2,无最大值 C.有最大值3,无最小值 D.既无最小值,又无最大值

则z=x+y(

)

解析:由图像可知,z=x+y在点A处取最小值zmin=2, 无最大值.

答案:B

?x-y+2≥0, ? 4.设变量x,y满足约束条件 ?x-5y+10≤0, ?x+y-8≤0. ? 函数z=3x-4y的最大值和最小值分别为( A.3,-11 C.11,-3 B.-3,-11 D.11,3 )

则目标

解析:作出可行域如图阴影部分所示,由图可知,z= 3x-4y经过点A时z有最小值,经过点B时z有最大值.易求 A(3,5),B(5,3). ∴z最小=3×3-4×5=-11,z最大=3×5-4×3=3.

答案:A

?x-y+2≥0, ? 5.已知实数x,y满足不等式组 ?x+y-4≥0, ?2x-y-5≤0, ?

目标

函数z=y-ax(a∈R).若z取最大值时的唯一最优解是(1,3), 则实数a的取值范围是__________.

解析:如图,依题意,直线x+y-4=0与x-y+2=0交 于A(1,3),此时目标函数取最大值,故a>1.

答案:(1,+∞)

考点一

二元一次不等式(组)表示的平面区域

[例1]

?x-y+5≥0, ? 画出不等式组 ?x+y≥0, ?x≤3 ?

表示的平面区域,

并回答下列问题: (1)指出x,y的取值范围; (2)平面区域内有多少个整点.

解析:(1)不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及右 下方的点的集合.x+y≥0表示直线x+y=0上及右上方的点 的集合.x≤3表示直线x=3上及左方的点的集合. ?x-y+5≥0, ? 所以不等式组 ?x+y≥0, ?x≤3 ? 示.

表示的平面区域如图所

? 5 ? 结合图中可行域得x∈?-2,3?,y∈[-3,8]. ? ?

?-x≤y≤x+5, ? (2)由图形及不等式组知? ?-2≤x≤3,且x∈Z. ?

当x=3时,-3≤y≤8,有12个整点; 当x=2时 ,-2≤y≤7,有10个整点; 当x=1时,-1≤y≤6,有8个整点; 当x=0时,0≤y≤5,有6个整点;

当x=-1时,1≤y≤4,有4个整点; 当x=-2时,2≤y≤3,有2个整点; ∴平面区域内的整点共有2+4+6+8+10+12=42个.

方法点睛

不等式组表示的平面区域是各个不等式所表

示的平面区域点集的交集.因而是各个不等式所表示的平面 区域的公共部分.

变式训练1 在平面直角坐标系中,不等式组 ?x+y≥0, ? ?x-y+4≥0, ?x≤a ? 实数a的值为( A.3 2+2 C.-5

(a为常数)表示的平面区域的面积是9,那么

) B.-3 2+2 D.1

解析:区域如图,易求得A(-2,2),B(a,a+4),C(a, -a).

1 S△ABC=2|BC|· |a+2|=(a+2)2=9,得a=1,故选D.

答案:D

考点二

求线性目标函数的最值

[例2]

(2011· 山东)设变量x,y满足约束条件

?x+2y-5≤0, ? ?x-y-2≤0, ?x≥0, ? A.11 C.9

则目标函数z=2x+3y+1的最大值为(

)

B.10 D.8.5

解析:画出线性约束条件所表示的平面区域如下图中阴 影部分所示:

当目标直线经过点A(3,1)时,z有最大值10,故选B.

答案:B

方法点睛

求目标函数的最大值或最小值,必须先求出

准确的可行域,将目标函数化为斜截式,将其对应的直线平 行移动,最先通过或最后通过的顶点便是最优解.

?x+2y-3≤0, ? 变式训练2 已知变量x,y满足条件 ?x+3y-3≥0, ?y-1≤0, ? 若目标函数z=ax+y(其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大值, 则a的取值范围是(
? 1? A.?-∞,-2? ? ? ? 1? C.?0,2? ? ?

)
? 1 ? B.?-2,0? ? ? ?1 ? D.?2,+∞? ? ?

解析:画出x,y满足条件的可行域如图所示,要使目标 函数z=ax+y仅在点(3,0)处取得最大值,则直线y=-ax+z 1 的斜率应小于直线x+2y-3=0的斜率,即-a<- ,∴a> 2 1 . 2

答案:D

考点三

求非线性目标函数的最值

[例3]

?x-4y+3≤0, ? 变量x,y满足?3x+5y-25≤0, ?x≥1. ?

y (1)设z= ,求z的最小值; x (2)设z=x2+y2,求z的取值范围.

?x-4y+3≤0, ? 解析:由约束条件?3x+5y-25≤0, ?x≥1. ? 作出(x,y)的可行域如图所示.

?x=1, ? 由? ?3x+5y-25=0, ? ?x=1, ? 由? ?x-4y+3=0, ?

? 22? 解得A?1, 5 ?. ? ?

解得C(1,1).

?x-4y+3=0, ? 由? ?3x+5y-25=0, ?

解得B(5,2).

y-0 y (1)∵z= x = .∴z的值即是可行域中的点与原点O连 x-0 2 线的斜率.观察图形可知zmin=kOB=5. (2)z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离 的平方.结合图形可知,可行域上的点到原点的距离中, dmin=|OC|= 2,dmax=|OB|= 29.∴2≤z≤29.

方法点睛

求目标函数的最值,必须先准确地作出线性

约束条件表示的可行域,再根据目标函数的几何意义确定取 得最优解的点,进而求出目标函数的最值.

变式训练3 (2013· 临沂质检)若实数x,y满足
?x-y+1≤0, ? ? ?x>0, ?

y 则 的取值范围是( x-1

)

A.(-1,1) C.(-∞,-1)

B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.[1,+∞)

y 解析:可行域如图阴影, 的几何意义是区域内点与 x-1 y y (1,0)连线的斜率.易求得 >1或 <-1. x-1 x-1

答案:B

考点四

线性规划的实际应用

[例4]

(2012· 四川)某公司生产甲、乙两种桶装产品,已知

生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1 桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300 元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计 划中,要求每天消耗A、B原料都不超过12千克.通过合理安

排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获 得的最大利润是( A.1 800元 C.2 800元 ) B.2 400元 D.3 100元

解析:设生产甲产品x桶,乙产品y桶,则公司利润z= 300x+400y, ?x≥0, ? ?y≥0, ? x,y满足约束条件?x+2y≤12, ? ?2x+y≤12, ?x,y∈N, ?

画出可行域如图:

由图可知z=100(3x+4y)经过A点时取得最大值,由
?x+2y=12. ? ? ?2x+y=12 ?

得A(4,4),

∴x=4,y=4时,z取最大值100×(3×4+4×4)=2 800(元). 答案:C

方法点睛

线性规划的实际应用问题,需要通过审题理

解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性 约束条件,写出所研究的目标函数,转化为简单的线性规划 问题.

变式训练4 铁矿石A和B的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石 的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表: a A B 50% 70% b/万吨 1 0.5 c/百万元 3 6

某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁,若要求CO2的排放量 不超过2(万吨),则购买铁矿石的最少费用为 ____________(百万元).

解析:设购买A、B两种铁矿石分别为x万吨、y万吨,购 买铁矿石的费用为z百万元,则z=3x+6y. 7 ?1 ? x+ y≥1.9, ?2 10 ? 1 由题意,可得约束条件为?x+2y≤2, ? ?x≥0, ?y≥0. ?

作出可行域,如图所示.由图可知,目标函数z=3x+6y 在点A(1,2)处取得最小值,zmin=3×1+6×2=15.

答案:15

思想方法(十) 数形结合思想在线性规划中的应用 ?y≥x, ? ?y≤mx, ?x+y≤1 ?

[试题]

(2011· 湖南)设m>1,在约束条件

下,目标函数z=x+my的最大值小于2,则m的取值范围为 ( ) A.(1,1+ 2) C.(1,3) B.(1+ 2,+∞) D.(3,+∞)

解析:根据约束条件画出可行域如图所示,将目标函数 1 z 化为斜截式为y=- x+ ,结合图形可以看出当目标函数 m m 过y=mx与x+y=1的交点时取到最大
?y=mx, ? 值.联立? ?x+y=1, ?

? 1 m ? ? 得交点坐标为?m+1,m+1?. ? ? ?

1+m2 将其代入目标函数得zmax= . m+1 1+m2 由题意可得 <2,又m>1,所以1<m<1+ 2. m+1

答案:A

反思:本题考查线性规划最值问题的应用,解题的关键 在于用数形结合思想确定何时取得最大值,从而建立不等关 系求参数m的范围.解此题时很多学生因为目标函数中含参 数而又无数形结合思想的应用意识感觉无从下手.


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