2019年高中数学北师大版必修三:第3章 6 章末综合检测(三)包含解析

章末综合检测(三)
(时间:120 分钟,满分:150 分) 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.给出下列四个命题: ①“三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件; ②“当 x 为某一实数时,可使 x2≤0”是不可能事件; ③“明天天津市要下雨”是必然事件; ④“从 100 个灯泡(含有 10 个次品)中取出 5 个,5 个全是次品”是随机事件. 其中正确命题的个数是( A.0 C.2 解析:选 C.①④正确. 2.从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事件是( A.至少有 1 个黑球与都是红球 B.至少有 1 个黑球与都是黑球 C.至少有 1 个黑球与至少有 1 个红球 D.恰有 1 个黑球与恰有 2 个黑球 解析:选 D.A 中的两个事件是对立事件,不符合要求;B 中的两个事件是包含关系,不是互斥事件,不符 合要求;C 中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件,不是互斥事件;D 中是互斥而不对立的两个 事件.故选 D. 3.某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表: 时间范围 新生婴儿数 男婴数 这一地区男婴出生的概率约是( A.0.4 C.0.6 ) B.0.5 D.0.7 1 年内 5 544 2 716 2 年内 9 013 4 899 3 年内 13 520 6 812 4 年内 17 191 8 590 ) ) B .1 D.3

解析:选 B.由表格可知,男婴出生的频率依次约为 0.49,0.54,0.50,0.50,故这一地区男婴出生的概率约 为 0.5.故选 B. 4.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为 40 秒.若一名行人来到该路口遇到红 灯,则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为( 7 A. 10 3 C. 8 ) 5 B. 8 3 D. 10

25 5 解析:选 B.记“至少需要等待 15 秒才出现绿灯”为事件 A,则 P(A)= = . 40 8

5.为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中,余下的 2 种花种在另一个 花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( 1 A. 3 2 C. 3 1 B. 2 5 D. 6 )

解析:选 C.从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中,余下的 2 种花种在另一个花坛 中,共有 6 种选法.红色和紫色的花不在同一花坛的有 4 种选法,根据古典概型的概率计算公式,所求的概率为 4 2 = .故选 C. 6 3 6.有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这 两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( 1 A. 3 2 C. 3 ) 1 B. 2 3 D. 4

解析:选 A.因为两位同学参加兴趣小组的所有的结果有 9 个,其中这两位同学参加同一兴趣小组的结果有 3 3 1 个,所以由古典概型的概率计算公式得所求概率为 = . 9 3 7.任取一个三位正整数 N,则对数 log2N 是一个正整数的概率是( 1 A. 225 1 C. 300 3 B. 899 1 D. 450 )

解析:选 C.三位正整数有 100~999,共 900 个,而满足 log2N 为正整数的 N 有 27,28,29,共 3 个,故所 求事件的概率为 3 1 = . 900 300

8.在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC,CB 的长,则该矩形面积 大于 20 cm2 的概率为( 1 A. 6 2 C. 3 ) 1 B. 3 4 D. 5

解析:选 C.设|AC|=x cm,0<x<12,则|CB|=(12-x) cm,要使矩形面积大于 20 cm2,只要 x(12-x)>20, 则 x2-12x+20<0,2<x<10,所以所求概率为 P= 10-2 2 = ,故选 C. 12 3

9.小明通过做游戏的方式来确定周末的活动,他随机往单位圆内投掷一颗弹珠(大小忽略),若弹珠到圆心 1 1 的距离大于 ,则周末去逛公园;若弹珠到圆心的距离小于 ,则去踢足球;否则,在家看书.则小明周末不在家 2 4 看书的概率为( 1 A. 2 ) 1 B. 6

13 C. 16

5 D. 12 如图中阴影部分 3 的概率为 1- = 16

解析:选 C.由题意画出示意图,如图所示.表示小明在家看书的区域 1 1 π( )2-π( )2 2 4 3 所示,则他在家看书的概率为 = ,因此他不在家看书 π 16 13 ,故选 C. 16

10.小莉与小明一起用 A,B 两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6)玩游 戏,以小莉掷的 A 立方体朝上的数字为 x,小明掷的 B 立方体朝上的数字为 y,来确定点 P(x,y),那么他们各掷 一次所确定的点 P(x,y)落在已知抛物线 y=-x2+4x 上的概率为( 1 A. 6 1 C. 12 1 B. 9 1 D. 18 )

解析:选 C.根据题意,两人各掷立方体一次,每人都有 6 种可能性,则(x,y)的情况有 36 种,即 P 点有 36 种可能,而 y=-x2+4x=-(x-2)2+4,即(x-2)2+y=4,易得在抛物线上的点有(2,4),(1,3),(3,3)共 3 个, 3 1 因此满足条件的概率为 = . 36 12 1 11.如果从不包括大、小王的一堆扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心牌(事件 A)的概率为 ,取到方片牌 4 1 (事件 B)的概率是 ,则取到红色牌(事件 C)的概率和取到黑色牌(事件 D)的概率分别是( 3 7 5 A. , 12 12 1 1 C. , 2 2 5 7 B. , 12 12 3 2 D. , 4 3 )

1 1 解析:选 A.因为 C=A+B,且 A,B 不会同时发生,即 A,B 是互斥事件,所以 P(C)=P(A)+P(B)= + = 4 3 7 . 12 又 C,D 是互斥事件,且 C+D 是必然事件, 所以 C,D 互为对立事件, 7 5 则 P(D)=1-P(C)=1- = . 12 12 12.从装有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球,则所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概率是( 1 A. 10 3 C. 5 3 B. 10 9 D. 10 )

解析:选 D.记 3 个红球分别为 a1,a2,a3,2 个白球分别为 b1,b2.从 3 个红球、2 个白球中任取 3 个,则所 包含的基本事件有{a1,a2,a3},{a1,a2,b1},{a1,a2,b2},{a1,a3,b1},{a1,a3,b2},{a2,a3,b1},{a2, a3,b2},{a1,b1,b2},{a2,b1,b2},{a3,b1,b2},共 10 个.由于每个基本事件发生的机会均等,因此这些基

本事件的发生是等可能的. - 用 A 表示“所取的 3 个球中至少有 1 个白球”,则其对立事件 A 表示“所取的 3 个球中没有白球”,则事 - 件 A 包含的基本事件有 1 个:{a1,a2,a3}. 1 - 所以 P( A )= . 10 1 9 - 故 P(A)=1-P( A )=1- = . 10 10 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分. 13.从某校高二年级的所有学生中,随机抽取 20 人,测得他们的身高分别为:(单位:cm) 162,148,154,165,168,172,175,162,171,170,150,151,152,160,163,175,164,179,149, 172. 根据样本频率分布估计总体分布的原理, 在该校高二年级任抽一名同学身高在 155.5 cm~170.5 cm 之间的概 率为________.(用分数表示) 解析: 样本中有 8 人身高在 155.5 cm~170.5 cm 之间, 所以估计该校高二年级任抽一名同学身高在 155.5 cm~ 8 2 170.5 cm 之间的概率为 = . 20 5 2 答案: 5 14.在等腰直角三角形 ABC 中,在斜边 AB 上任取一点 M,则 AM>AC 的概率是________. 解析:设 CA=CB=m(m>0),则 AB= 2m,P(AM>AC)= 答案:1- 2 2 AB-AC 2m-m 2 = =1- . AB 2 2m

15.若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为________. 解析:甲,乙,丙站成一排有(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),(乙,甲,丙),(乙,丙,甲),(丙,甲,乙),(丙, 乙,甲),共 6 种. 甲,乙相邻而站有(甲,乙,丙),(乙,甲,丙),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲),共 4 种. 4 2 所以甲,乙两人相邻而站的概率为 = . 6 3 2 答案: 3 16.袋中含有大小相同的总数为 5 个的黑球、白球,若从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球的概率是 9 ,则从中任意摸出 2 个球,得到的都是白球的概率为________. 10 解析:因为袋中装有大小相同的总数为 5 个的黑球、白球,若从袋中任意摸出 2 个球,共有 10 种情况,没 1 有得到白球的概率为 ,设白球个数为 x,则黑球个数为 5-x,那么,可知白球有 3 个,黑球有 2 个,因此可知 10 3 从中任意摸出 2 个球,得到的都是白球的概率为 . 10

答案:

3 10

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分)随机地排列数字 1,5,6 得到一个三位数,计算下列事件的概率. (1)所得的三位数大于 400; (2)所得的三位数是偶数. 解:1,5,6 三个数字可以排成 156,165,516,561,615,651,共 6 个不同的三位数. 4 2 (1)大于 400 的三位数的个数为 4,所以 P= = . 6 3 (2)三位数为偶数的有 156,516,共 2 个, 2 1 所以相应的概率为 P= = . 6 3 18.(本小题满分 12 分)现有 6 道题,其中 4 道甲类题,2 道乙类题,张同学从中任取 2 道题解答.试求: (1)所取的 2 道题都是甲类题的概率; (2)所取的 2 道题不是同一类题的概率. 解:将 4 道甲类题依次编号为 1,2,3,4;2 道乙类题依次编号为 5,6.任取 2 道题,基本事件为:{1,2}, {1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{3,4},{3,5},{3,6},{4,5},{4, 6},{5,6},共 15 个,而且这些基本事件的出现是等可能的. (1)用 A 表示“都是甲类题”这一事件,则 A 包含的基本事件有{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4}, 6 2 {3,4},共 6 个,所以 P(A)= = . 15 5 (2)用 B 表示“不是同一类题”这一事件,则 B 包含的基本事件有{1,5},{1,6},{2,5},{2,6},{3, 5},{3,6},{4,5},{4,6},共 8 个,所以 P(B)= 8 . 15

19.(本小题满分 12 分)某河流上的一座水力发电站,每年 6 月份的发电量 y(单位:万千瓦时)与该河上游在 6 月份的降雨量 x(单位:mm)有关.据统计,当 x=70 时,y=460;x 每增加 10,y 增加 5.已知近 20 年 x 的值为 140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160. (1)完成如下的频率分布表: 近 20 年 6 月份降雨量频率分布表 降雨量 频率 70 0.05 110 140 0.2 160 200 220 0.1

(2)将频率视为概率,试估计今年 6 月份该水力发电站的发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时的概 率. 解:(1)在所给数据中,降雨量为 110 mm 的有 3 个,为 160 mm 的有 7 个,为 200 mm 的有 3 个.故近 20 年 6 月份降雨量频率分布表为: 降雨量 频率 (2)由已知可得 y=0.5x+425, 70 0.05 110 0.15 140 0.2 160 0.35 200 0.15 220 0.1

记“发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时”为事件 A, 则 P(A)=P(y<490 或 y>530) =P(x<130 或 x>210) =P(x=70)+P(x=110)+P(x=220) =0.05+0.15+0.1 =0.3. 因此估计今年 6 月份该水力发电站的发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时的概率为 0.3. 20.(本小题满分 12 分)某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:(单 位:人) 参加书法社团 参加演讲社团 未参加演讲社团 8 2 未参加书法社团 5 30

(1)从该班随机选 1 名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率; (2)在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中,有 5 名男同学 A1,A2,A3,A4,A5,3 名女同学 B1, B2,B3.现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人,求 A1 被选中且 B1 未被选中的概率. 解:(1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有 30 人, 故至少参加上述一个社团的共有 45-30=15(人), 15 1 所以从该班随机选 1 名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为 P= = . 45 3 (2)从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人,其一切可能的结果组成的基本事件有:{A1,B1},{A1, B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A4,B1},{A4,B2},{A4, B3},{A5,B1},{A5,B2},{A5,B3},共 15 个. 根据题意,这些基本事件的出现是等可能的. 事件“A1 被选中且 B1 未被选中”所包含的基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共 2 个. 2 因此 A1 被选中且 B1 未被选中的概率为 P= . 15 21.(本小题满分 12 分)求解下列各题: (1)在区间[0,4]上随机取两个整数 m,n,求关于 x 的一元二次方程 x2- nx+m=0 有实数根的概率 P(A); (2)在区间[0,4]上随机取两个数 m,n,求关于 x 的一元二次方程 x2- nx+m=0 有实数根的概率 P(B). 解:方程 x2- nx+m=0 有实数根, 则 Δ=n-4m≥0, (1)由于 m,n∈[0,4],且 m,n 是整数, 因此列举可得 m,n 可能的取值共有 25 组.
?m=0 ? ?m=0 ? ?m=0 ? ?m=0 ? ?m=0 ? ?m=1 ? 又满足 n-4m≥0 的 m,n 的取值有? ,? ,? ,? ,? ,? ,共 6 组. ?n=0 ? ?n=1 ? ?n=2 ? ?n=3 ? ?n=4 ? ?n=4 ?

6 因此,原方程有实数根的概率为 P(A)= . 25

? ?0≤m≤4 (2)由于? 对应的区域(如图中正方形区域所示)面积为 16, ?0≤n≤4 ?

1 而 n-4m≥0(m, n∈[0, 4])表示的区域(如图中阴影部分所示)面积为 × 2 S阴影 1 因此,原方程有实数根的概率为 P(B)= = . S正方形 8

1×4=2.

22.(本小题满分 12 分)城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费,太少又难以满足乘客的需求,为此, 某市公交公司在某站台 60 名候车乘客中随机抽取 15 人,将他们的候车时间作为样本分成 5 组,如下表所示(单 位:min): 组别 一 二 三 四 五 (1)求这 15 名乘客的平均候车时间; (2)估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 min 的人数; (3)若从上表第三、四组的 6 人中选 2 人做进一步调查,求抽到的 2 人恰好来自不同组的概率. 1 1 解:(1) ×(2.5×2+7.5×6+12.5×4+17.5×2+22.5×1)= ×157.5=10.5, 15 15 故这 15 名乘客的平均候车时间为 10.5 min. 2+6 8 (2)由频率估计概率,可知侯车时间少于 10 min 的概率为 = , 15 15 故这 60 名乘客中候车时间少于 10 min 的人数约为 60× 8 =32. 15 候车时间 [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25] 人数 2 6 4 2 1

(3)记第三组的 4 名乘客为 a1,a2,a3, a4, 第四组的 2 名乘客为 b1,b2.从 6 人中选 2 人的所有可能情况为(a1, a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,b1),(a3,b2), (a4,b1),(a4,b2),(b1,b2),共 15 种,其中 2 人恰好来自不同组的情况为(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2), (a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),共 8 种, 8 故所求概率为 . 15


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