2012年高考大题突破训练——三角函数答案

6. 解: (1) f ( x) ? cos(? ) ? sin(? ? ) ? sin

2? ? 4? 1 2 ? x ? 3 (2)由 ? 2k? ? ? ? ? ? 2k? , k ? Z , 2 2 4 2 ? 5 得 ? 4k? ? x ? ? ? 4k? , k ? Z 。 2 2

x 2

x 2

x x x ? ? cos ? 2 sin ( ? ) 2 2 2 4
………… 4 分

? f ( x) 的周期 T ?

又 x ?[ 0 , ? ) , 令 k ? 0 ,得

?

5 7? 3 ? x ? ? ;令 k ? ?1,得 ? ? x ? ? ? (舍去) 2 2 2 2

∴ f ( x) 在 [ 0 , ? ) 上的减区间是 [ (3)由 f (? ) ?

?

2

,? )。

………… 8 分

2 10 ? ? 2 10 ,得 sin ? cos ? , 2 2 5 5

∴ 1 ? sin ? ? 又? ? ( 0 ,

8 3 ,∴ sin ? ? 5 5
9 4 ? , 25 5

?
2

) ,∴ cos? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ?

3 sin ? 3 2 tan? 4 ? 24 , ∴ tan? ? ? ,∴ tan 2? ? ? 2 9 cos? 4 7 1 ? tan ? 1? 16 24 ? ?1 tan 2? ? tan 31 ? 4 ? 7 ∴ tan(2? ? ) ? ?? 。 ? 24 17 4 1 ? tan 2? tan 1? 4 7 1 ? cos 2 x sin 2 x 7.解: (1)将原函数化简为: f ( x) ? ………2 分 ? 3 2 2 2?
=

3 1 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2

= sin(2 x ?

?
6

)?

1 2

………4 分



1 3 f ( x) 的最小正周期为 ? ,值域为 [ ? , ] 2 2
?
12 )? 1 2

………6 分

(2) y ? g ( x) ? f ( x ?

………8 分

= sin ?2( x ?

? ?

?
12

)?

??

1 1 ? ? ? 6? 2 2

= sin 2 x ? 1 ?? ? 8.解(1)∵ m ? n ? 1 ∴ ?1, 3 ? ? cos A, sin A ? ? 1 即 3 sin A ? cos A ? 1

?

?

? 3 1? , ?? 1 ? ∴ 2 ? sin A ? ? cos A ? A? ? ? , ? ? ? ? 1 sin ? 2 2 6? 2 ? ? ?
∵0 ? A ? ?,? ∴ A? ∴A?

?
6

? A?

?
6

?

?

?
3

6

?

?
6

5? 6



(2)由题知

1 ? sin 2 B (sin B ? cos B)2 sin B ? cos B 1 ? tan B ? ? ? ? 3, cos 2 B ? sin 2 B cos 2 B ? sin 2 B cos B ? sin B 1 ? tan B
2 2

9.解:﹙Ⅰ﹚ f ( x ) ? m ? n ? 2 3 sin x cos x ? cos x ? sin x …………… 1 分

? 3 s i nx2 ?

co x s 2 ……………………… 3 分

?2 sinx (2 ?

?
6

)

………………………4 分 …………………………6 分

∴ T ? ? , f ( x) ?[?2, 2]

﹙Ⅱ﹚由 f ( ) ? 2 ,有 f ( ) ? 2sin( A ? ∴ sin( A ?

A 2

?
6

A 2

?
6

) ? 2,

) ? 1.

∵ 0 ? A ? ? ,∴ A ?
2 2

?
6

?
2

?
2

,即 A ?

?
3

.
2

………………………9 分
2

由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A 及 a ? bc ,∴ (b ? c) ? 0 . ∴ b ? c, ∴ B ? C ?

?
3

.∴ ?ABC 为等边三角形.

10.解: (1)因为 m ? ?sin A, cos A?, n ? ?cos B, sin B ?, m ? n ? sin 2C 所以 sin A cos B ? cos A sin B ?

3 …………2 分 2

即 sin( A ? B) ?

3 …………3 分 2

所以 sin C ?

3 …………4 分 2

又因为 ?C 是锐角三角形内角,所以 ?C ? (2)因为 c ? ab …………8 分
2

?
3

…………6 分

又 CA ? CB ? 18

所以
2

ab cosC ? 18 …………10 分
所以 c ? 6 …………12 分

所以 ab ? 36 即 c ? 36 11.解: (1)∵ ∴

?? m?(sin B ? ,1

? ? cB o s, 且与向量 ) n ? (1,0) 所成角为 , 3


sin B 2 ? 2 c oB s

?

1 2



B 1 cos ? , 2 2

又 0 ? ? ? ? ,∴ (2)由(1)可得:

B ? 2 ? ? ,即 B ? ? , A ? C ? 。 2 3 3 3

∴ sin A ? sin C ? sin A ? sin( ∵

?

1 3 ? cos A ? sin( A ? ) ? A) ? sin A ? 2 2 3 3

0? A?
s i nA (?

?
3





?
3

?A?

?

2? ? , 3 3



?
3

? )

3 ( 2

, 1 ]∴ 当 sin A ? sin C =1 时,A= ,
3

? 6

∴AB=2,

则 S ?ABC ?

? ? ? a ? (cos ? , sin ? ) b ? (cos ? , sin ? ) 12.解:(Ⅰ) , , ? ? ? a ? b ? ? cos ? ? cos ? , sin ? ? sin ? ? .

? ? 2 5 ? a ?b ? 5 ,

?

? cos ? ? cos ? ? ? ? sin ? ? sin ? ?
2

2

?

2 5 5 ,

2 ? 2cos ?? ? ? ? ?

4 5,

?c o ? s? ? ? ? ?

3 5.

? 0 ? ? ? , ? ? ? ? 0, ? 0 ? ? ? ? ? ? 2 2 (2) , ? cos ?? ? ? ? ? 3 4 ? sin ?? ? ? ? ? . 5, 5 ?s i n ? ?? 5 13 , ? cos ? ? 12 13 ,

?

?

? sin ? ? sin ? ??? ? ? ? ? ? ? ?

?s i n s? ?? ? ?? c o?

?s? ?? ?c o

s?i n

4 12 3 ? 5 ? 33 ? ? ? ?? ? ? ? 5 13 5 ? 13 ? 65
13.解: (1)从图知,函数的最大值为 1 ,则 A ? 1 函数 f ( x) 的周期为 T ? 4 ? ( 又x?? ……1 分

?
6

? 2? ,则 ? ? 2 , ……3 分 ? ) ? ? , 而T ? 12 6 ?

?

时, y ? 0 ,∴ sin(2 ? (?

?

6

) ? ?) ? 0 , 而 ?

?

∴函数 f ( x) 的表达式为 f ( x) ? sin(2 x ? (2)由 f ( A) ? f ( A ?

?
3

2

?? ?

?

2

,则 ? ?

?

3



)

…… 6 分

24 ? ? 24 得: sin(2 A ? ) ? sin(2 A ? ) ? 3 25 3 3 25 24 49 2 化简得: sin 2 A ? , ∴ (sin A ? cos A) ? 1 ? sin 2 A ? …… 9 分 25 25 24 由于 0 ? A ? ? ,则 0 ? 2 A ? 2? ,但 sin 2 A ? ? 0 ,则 0 ? 2 A ? ? ,即 A 为锐角, 25 7 从而 sin A ? cos A ? 0 因此 sin A ? cos A ? . …… 12 分 5 )?
14.(1 ? f ( x) ? sin(?2x ? ) ? 1 ? 1 ? sin(2x ? )
6 6

?

?

?

(2)

?

1 1 ? a ? 或 a=1 2 2

15.(1) ? =

1 2

(2) 由题设知- +

1 2

3 3 ?1 +a= 3 故 a= 2 2

?x ? ? ) 16.解: (Ⅰ)f(x)= 3 sin(?x ? ? ) ? cos(
= 2?

? 3 ? 1 sin(?x ? ? ) ? cos( ?x ? ? ) ? 2 ? 2 ?

=2sin( ?x ? ? -

π ) 6

因为 f(x)为偶函数, 所以 对 x∈R,f(-x)=f(x)恒成立,

π π )=sin( ?x ? ? - ). 6 6 π π π π 即-sin ?x cos( ? - )+cos ?x sin( ? - )=sin ?x cos( ? - )+cos ?x sin( ? - ), 6 6 6 6 π π 整理得 sin ?x cos( ? - )=0.因为 ? >0,且 x∈R,所以 cos( ? - )=0. 6 6 π π π 又因为 0< ? <π ,故 ? - = .所以 f(x)=2sin( ?x + )=2cos ?x . 6 2 2
因此 sin(- ?x ? ? -

2?
由题意得

?

? 2?

?
2

,   所以  ? =2.



f(x)=2cos2x.

f ( ) ? 2 cos ? 2. 8 4 ? ? (Ⅱ)将 f(x)的图象向右平移个 个单位后,得到 f ( x ? ) 的图象,再将所得图象横坐标 6 6
因为 伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到 f (

?

?

?

? ) 的图象. 4 6

?

所以    g ( x) ? f (

?

? ? ? ? ? ? ? ? ) ? 2 cos?2( ? )? ? 2 cos f ( ? ). 4 6 2 3 ? 4 6 ?

当 即

2kπ ≤

?
2

?

?
3

≤2 kπ + π

(k∈Z),

4kπ +≤

2? 8? ≤x≤4kπ + (k∈Z)时,g(x)单调递减. 3 3
2? 8? ? ? ?4k? ? 3 ,4k? ? 3 ? ? ?
(k∈Z)

因此 g(x)的单调递减区间为


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