北京市海淀区2012年高考二模数学理科试题及答案

海淀区高三年级第二学期期末练习

数 学(理科)
2012.05 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. (1)若 sin ? co s ? < 0 ,则角 ? 是 (A)第一或第二象限角 (C)第三或第四象限角
0

(B)第二或第三象限角 (D)第二或第四象限角

(2)已知命题 p : ? x 0 ? R , 2 x ? 1 .则 ? p 是 (A) ? x 0 ? R , 2 x ? 1
0

(B) ? x 0 ? R , 2 x ? 1
0

(C) ? x 0 ? R , 2 x ? 1
0

(D) ? x 0 ? R , 2 x ? 1
0

(3)直线 ?

?x ? 1? t ?y ?1? t
? 4

( t 为参数)的倾斜角的大小为
? 4 ? 2 3? 4

(A) ?

(B)

(C)

(D)

ì ? ? ? x - y 1, ? ? (4)若整数 x , y 满足 ? x + y 1, 则 2 x + y 的最大值是 í ? ? 3 ? ? y? , ? ? 2 ?

(A) 1

(B) 5
2 2

(C) 2

(D) 3

(5)已知点 F1 , F2 是椭圆 x + 2 y = 2 的两个焦点,点 P 是该椭圆上的一个动点,那么
???? ???? ? P F1 + P F2 的最小值是

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 2 2

(6)为了得到函数 y = log 2

x - 1 的图象,可将函数 y = log 2 x 的图象上所有的点的
1 2 1 2

(A)纵坐标缩短到原来的 (B)纵坐标缩短到原来的

倍,横坐标不变,再向右平移 1 个单位长度 倍,横坐标不变,再向左平移 1 个单位长度

(C)横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向左平移 1 个单位长度

(D)横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向右平移 1 个单位长度 (7)某几何体的主视图与俯视图如图所示,左视图与主视图相同,且图中的 四边形都是边长为 2 的正方形,两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是 (A)
20 3

主视图

(B)

4 3

(C) 6

(D) 4
俯视图

(8) P ( x , y ) 是曲线 C : y = 点

1 x

( x > 0 ) 上的一个动点, 曲线 C 在点 P 处的切线与 x 轴、y

轴分别交于 A , B 两点,点 O 是坐标原点. 给出三个命题:① PA = PB ;② ? OAB 的周长 有最小值 4 + 2 2 ;③曲线 C 上存在两点 M , N ,使得 ? O M N 为等腰直角三角形.其中真 命题的个数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)0

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上. (9)在面积为 1 的正方形 A B C D 内部随机取一点 P ,则 ? P A B 的面积大于等于 是_________. (10)已知 ( x ? 1) 10 ? a1 ? a 2 x ? a 3 x 2 ? ? ? a 11 x 10 . 若数列 a1 , a 2 , a 3 , ? , a k (1 # k 是一个单调递增数列,则 k 的最大值是 (11)在 ? A B C 中,若 ? A . .
11, k Z)
1 4

的概率

1 2 0 , c = 5 , ? A B C 的面积为 5 3 ,则 a =

(12)如图, ? O 的直径 A B 与弦 C D 交于点 P ,
7 5 , P D = 5, A P = 1 ,则 ? D C B =______.

D

CP =

A C

O P

B

(13)某同学为研究函数 f ( x ) =

1+ x +

2

1 + (1 - x ) (0 # x

2

1) 的性质,构造了如图

所示的两个 边长为 1 的正方形 A B C D 和 B E F C ,点 P 是边 B C 上的一个动点,设 C P = x ,则 AP + PF = f ( x ) . 请你参考这 些信息,推知函数 f ( x ) 的图象的对称轴是
g ( x ) = 4 f ( x ) - 9 的零点的个数是
D C P F

;函数

.

A

B

E

(14) 曲线 C 是平面内到定点 A (1, 0) 的距离与到定直线 x = - 1 的距离之和为 3 的动点 P 的 轨迹. 则曲线 C 与 y 轴交点的坐标是 的最小值 d ( a ) = . ;又已知点 B ( a ,1) ( a 为常数) ,那么 PB + PA

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分) 已知公差不为0的等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , S 3 = a 4 + 6 ,且 a1 , a 4 , a1 3 成等 比数列. (Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {
1 Sn } 的前 n 项和公式.

(16)(本小题满分 14 分) 如图所示, P A ^ 平面 A B C ,点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上,
? CBA 30
P

,P A = A B = 2 , E 为线段 PB 的中点,点 M 在 ? B 上, 点 A
C A M

E

且OM ∥ AC . (Ⅰ)求证:平面 M O E ∥平面 PAC; (Ⅱ)求证:平面 PAC ^ 平面 P C B ; (Ⅲ)设二面角 M ? B P ? C 的大小为 ? ,求 co s ? 的值.

B O

[来源:学科网 ZXXK]

(17)(本小题满分 13 分) 某公司准备将 100 万元资金投入代理销售业务,现有 A,B 两个项目可供选择: (1)投资 A 项目一年后获得的利润 X1(万元)的概率分布列如下表所示: X1 P 11 a 12 0.4 17 b

且 X1 的数学期望 E(X1)=12; (2)投资 B 项目一年后获得的利润 X2(万元)与 B 项目产品价格的调整有关, B 项目产品价格 根据销售情况在 4 月和 8 月决定是否需要调整, 两次调整相互独立且在 4 月和 8 月进行价格 调整的概率分别为 p(0< p <1)和 1?p. 经专家测算评估:B 项目产品价格一年内调整次数 X(次) 与 X2 的关系如下表所示: X(次) X2(万元) (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)求 X2 的分布列; (Ⅲ)若 E(X1)< E(X2),则选择投资 B 项目,求此时 p 的取值范围. 0 4.12 1 11.76 2 20.40

(18)(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

且点 ( ? 1, ? 1( a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1, 0) ,

2 2

) 在椭圆 C 上.

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)已知动直线 l 过点 F ,且与椭圆 C 交于 A , B 两点.试问 x 轴上是否存在定点 Q ,使 得QA ?QB ? ?
??? ??? ? ? 7 16

恒成立?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

(19)(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? a ln ( x ? a ) ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 ? 1 ? a ? 2(ln 2 ? 1) ,求证:函数 f ( x ) 只有一个零点 x 0 ,且 a ? 1 ? x 0 ? a ? 2 ; (Ⅲ)当 a ? ?
4 5
1 2 x ? x(a ? 0) .
2

时,记函数 f ( x ) 的零点为 x 0 ,若对任意 x1 , x 2 ? [0, x 0 ] 且 x 2 ? x1 ? 1, 都有

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? m 成立,求实数 m 的最大值.

(本题可参考数据: ln 2 ? 0 .7 , ln

9 4

? 0 .8, ln

9 5

? 0 .5 9 )

(20)(本小题满分 13 分) 将 一 个 正 整 数 n 表 示 为 a1 + a 2 + ? + a p ( p
N *) 的 形 式 , 其 中 a i ? N * ,

且 记所有这样的表示法的种数为 f (n )(如 4=4, 4=1+3, i = 1, 2, ? , p , a 1 ? a 2 ? ? ? a p , 4=2+2,4=1+1+2,4=1+1+1+1,故 f ( 4 ) ? 5 ). (Ⅰ)写出 f ( 3), f ( 5 ) 的值,并说明理由; (Ⅱ)对任意正整数 n ,比较 f ( n ? 1) 与 [ f ( n ) ? f ( n ? 2 )] 的大小,并给出证明;
2 1

(Ⅲ)当正整数 n ? 6 时,求证: f ( n ) ? 4 n ? 13 .

海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学(理科) 2012.05
(6) A (7) A (8) C

参考答案及评分标准
一. 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 (1) D (2) A (3) D (4) B (5) C

二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. (9)
1 2

(10)6

(11) 6 1

(12) 4 5 °

(13) x =

1 2

;2

(14) (0, ±

ì ? a 2 - 2a + 2 , a ? 1.4 或 a 1, ? ? ? 3 ) ; í a + 4, - 1.4 < a ? 1, ? ? 2 - a, - 1 < a < 1. ? ? ? ?

注: (13)(14)题第一空3分;第二空2分. 、 三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设等差数列 {a n } 的公差为 d ? 0 . 因为 S 3 = a 4 + 6 , 所以 3 a1 +
3 创2 2 d = a1 + 3 d + 6 .



??????????????3 分

因为 a1 , a 4 , a13 成等比数列,
2 所以 a1 ( a1 + 1 2 d ) = ( a1 + 3 d ) .



??????????????5 分 ??????????????6 分 ??????????????7 分

由①,②可得: a1 = 3, d = 2 . 所以 a n = 2 n + 1 . (Ⅱ)由 a n = 2 n + 1 可知: S n =
(3 + 2 n + 1) 2 n

= n + 2n .

2

??????????????9 分 所以
1 Sn = 1 n ( n + 2) = 1 1 1 ( ). 2 n n+ 2

??????????????11 分

所以

1 S1

+

1 S2

+

1 S3

+ ?+

1 S n- 1

+

1 Sn

=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( + + + ?+ + ) 2 1 3 2 4 3 5 n- 1 n+ 1 n n+ 2
2

1 1 1 1 1 3n + 5n = ( + )= . 2 1 2 n+ 1 n+ 2 4( n + 1)( n + 2)
1 Sn

所以数列 {

} 的前 n 项和为

3n + 5n 4( n + 1)( n + 2)

2

. ??????????????13 分

(16)(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为点 E 为线段 PB 的中点,点 O 为线段 A B 的中点, 所以 O E ∥ P A . ??????????????1 分
[来源:学科网]

因为 P A ? 平面 P A C , O E ? 平面 P A C , 所以 O E ∥平面 PAC. 因为 O M ∥ A C , 因为 A C ? 平面 P A C , OM ? 平面 P A C , 所以 O M ∥平面 PAC. ????? ?????????3 分 ??????????????2 分

因为 O E ? 平面 M O E , O M ? 平面 M O E , OE ? OM = O ,
所以 平面 M O E ∥平面 PAC. ???????????????5 分

(Ⅱ)证明:因为 点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上, 所以 ? A C B
9 0 ,即 B C ? A C .
P z

因为 P A ^ 平面 A B C , B C ? 平面 A B C , 所以 P A ? B C . 因为 ?7 分 平 面 PAC ,

AC ? 平 面 PAC , PA ?

E C D A x M B O y

PA ? AC = A ,

所以 B C ^ 平面 P A C . 因为 B C ? 平面 P B C , 所以 平面 PAC ^ 平面 P C B .

?9 分

(Ⅲ)解:如图,以 C 为原点, C A 所在的直线为 x 轴, C B 所在的直线为 y 轴,建立空间 直角坐标系 C ? xyz .因为 ? C B A 所以 C B = 2 cos 30 ?
30

, PA = AB = 2 ,

3 , AC = 1.

延长 M O 交 C B 于点 D . 因为 O M ∥ A C , 所以 M D ^ C B , M D = 1 +
1 2 = 3 2 ,CD = 1 2
3 2

CB =

3 2
3 2

.

所以 P (1, 0, 2) , C (0, 0, 0) , B (0, 3 , 0 ) , M ( ,
??? ? ??? ?

, 0) .

所以 C P = (1, 0, 2 ) , C B = (0, 3 , 0) . 设平面 P C B 的法向量 m = ( x , y , z ) .
??? ? ì m ?C P ? 因为 ? ??? ? í ? m ?C B ? ? 0, 0.

? 所以 ? í

ì ( x , y , z ) ?(1, 0, 2) ? ( x , y , z ) ?(0, 3 , 0) ? ?

0, 0,

即? í
? ? ?

ì x + 2 z = 0, ? 3 y = 0.

令 z = 1 ,则 x = - 2, y = 0 .所以 m = (- 2, 0,1) .

??????12 分

同理可求平面 P M B 的一个法向量 n ? 1, 3 ,1 . ????13 分 所以 cos m , n ? (17)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意得:
? a ? 0.4 ? b ? 1, ? 解得: a = 0.5, b = 0.1 . ?????3 分 ?11a ? 12 ? 0.4 ? 17 b ? 12.

?

?

m ?n m ?n

??

1 5

.

所以 co s ? =

1 5

.

??14 分

(Ⅱ)X2 的可能取值为 4.12,11.76, 20.40 .
P ? X 2 ? 4.12 ? ? (1 ? p ) ?1 ? (1 ? p ) ? ? p (1 ? p )


2 2

P ? X 2 ? 11.76 ? ? p ?1 ? (1 ? p ) ? ? (1 ? p )(1 ? p ) ? p ? (1 ? p ) P ? X 2 ? 20.40 ? ? p (1 ? p )



.

所以 X2 的分布列为: X2 P (Ⅲ)由(Ⅱ)可得: E ? X 4.12 p (1?p) 11.76
2 2

20.40

p +(1?p) p (1?p) ??????????????9 分
2 2 p ) ? 11.76 ? p ? (1 ? p ) ? ? 20.40 p (1 ? p ) ? ?

2

? ? 4.12 p (1 ?
2

? ? p ? p ? 11.76
2

. ????11 分

因为 E(X1)< E(X2),所以 12 < - p + p + 11.76 . 所 以 0 .< p< 4
0 . .当 选 择 投 资 6

B 项 目 时 , p 的 取 值 范 围 是

? 0.4, 0.6 ? .???????13 分

(18)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意知: c = 1 . 根据椭圆的定义得: 2 a =
(- 1 - 1) + (
2

2 2

) +

2

2 2

,即 a =

2.

??????????????3 分 所以 b 2 = 2 - 1 = 1 .
x
2

所以 椭圆 C 的标准方程为

? y ? 1.
2

??????????????4 分
7 16

2

(Ⅱ)假设在 x 轴上存在点 Q ( m , 0) ,使得 Q A ? Q B ? ? 当直线 l 的斜率为 0 时, A ( 2 , 0), B ( ? 2 , 0) . 则 ( 2 - m , 0 ) ?( 解得 m =
5 4 2 - m , 0) = 7 16

??? ??? ? ?

恒成立.

. ??????????????6 分

.
2 2

当直线 l 的斜率不存在时, A (1,

), B (1, ?

2 2

).

由于 (1 +

5 4

,

2 2
5 4

) ?(1

5 4

,-

2 2

)?
7 16

7 16

,所以 m ?

5 4

.

下面证明 m =

时, Q A ? Q B ? ?

??? ??? ? ?

恒成立. ??????????????8 分

??? ??? ? ? 7 显然 直线 l 的斜率为 0 时, Q A ? Q B ? ? . 16

当直线 l 的斜率不为 0 时, 设直线 l 的方程为:x = ty + 1 ,A ( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) .
ì x2 ? 2 ? + y = 1, 2 2 ? 由í 2 可得: ( t + 2) y + 2 ty - 1 = 0 . ? ? x = ty + 1 ? ?

显然 ? > 0 .
ì 2t ? ? y1 + y 2 = , ? 2 ? t + 2 ? í ? 1 ? y y = . ? 1 2 2 ? t + 2 ? ?

??????????????10 分

因为 x1 = ty1 + 1 , x 2 = ty 2 + 1 , 所以 ( x1 5 4 , y 1 ) ?( x 2 5 4 , y 2 ) = ( ty1 ) + y1 y 2 4 1 1 2 = ( t + 1) y1 y 2 t ( y1 + y 2 ) + 4 16 4
2

1

)( ty 2 -

1

= - ( t + 1)

1 t + 2
2

+

1

t

2t
2

+

1 16

4 t + 2
1 16
7 16

=
5

- 2t - 2 + t 2( t + 2)
2

2

2

+

= -

7 16

.

综上所述:在 x 轴上存在点 Q ( , 0) ,使得 Q A ? Q B ? ?
4

??? ??? ? ?

恒成立.

??????????????13 分 (19)(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解: f ( x ) 的定义域为 ( a , ?? ) .
a x?a ? x ? ( a ? 1) x
2

f '( x ) ?

? x ?1 ?

x?a

.

??????????????1 分

令 f '( x ) ? 0 , x ? 0 或 x ? a +1 . 当 ? 1 ? a ? 0 时, a +1 ? 0 ,函数 f ( x ) 与 f '( x ) 随 x 的变化情况如下表:
x

( a , 0)
?

0

(0, a ? 1)

a ?1

( a ? 1, ?? )
?

f ( x) f '( x ) ?

0 极小值
?

?

0 极大值
?

所以, 函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, a + 1) , 单调递减区间是 ( a , 0) 和 ( a + 1, + ??????????????3 分 当 a = - 1 时, f '( x ) ?
?x
2

).

x ?1

? 0 . 所以,函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (- 1, +

).

??????????????4 分 当 a ? ? 1 时, a +1 ? 0 ,函数 f ( x ) 与 f '( x ) 随 x 的变化情况如下表:
x

( a , a ? 1)
?

a ?1

[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

( a ? 1, 0)
?

0 0

(0, ?? )
?

f ( x)

0

f '( x )
[来源:学,科,网]

?

极小值

?

极大值

?
).

所以, 函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ( a + 1, 0) , 单调递减区间是 ( a , a + 1) 和 (0, + ??????????????5 分

(Ⅱ)证明:当 ? 1 ? a ? 2(ln 2 ? 1) ? 0 时,由(Ⅰ)知, f ( x ) 的极小值为 f (0) ,极大值 为 f ( a ? 1) . 因为 f (0) ? a ln( ? a ) ? 0 ,f ( a ? 1) ? ? 在 ( a + 1, +
) 上是减函数,
1 2 ( a ? 1) ? ( a ? 1) ?
2

1 2

(1 ? a ) ? 0 , f ( x ) 且
2

所以 f ( x ) 至多有一个零点. 又因为 f ( a ? 2 ) ? a ln 2 ?
1 2 a ?a ??
2

??????????????7 分
1 2 a [ a ? 2 (ln 2 ? 1)] ? 0 ,

所以 函数 f ( x ) 只有一个零点 x 0 ,且 a ? 1 ? x 0 ? a ? 2 . ??????????????9 分 (Ⅲ)解:因为 ? 1 ? ? 所以
4 5 ? 2 (ln 2 ? 1) ,

对 任 意 x1 , x 2 ? [0, x 0 ] 且 x 2 ? x1 ? 1, 由 ( Ⅱ ) 可 知 : x1 ? [ 0 a ? ,

1, )

x 2 ? ( a ? 1, x 0 ] ,且 x 2 ? 1 .

??????????????10 分
) 上是减函数,

因为 函数 f ( x ) 在 [0, a + 1) 上是增函数,在 ( a + 1, + 所以 f ( x1 ) ? f (0) , f ( x 2 ) ? f (1) . 所以 f ( x1 ) - f ( x 2 ) ? f (0) 当a ? ?
4 5

??????????????11 分

f (1) .
a a ?1 )? 1 2

时, f (0 ) ? f (1) ? a ln (

=

4 5

ln

9 4

?

1 2

>0.

所以 f ( x1 ) - f ( x 2 ) ? f (0) 所以

f (1) > 0 .

??????????????13 分
4 5 ln 9 4 4 5 ? 1 2 ln 9 4 ? 1 2

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) 的最小值为 f (0 ) ? f (1) ?

. .

所以 使得 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? m 恒成立的 m 的最大值为

??????????????14 分

(20)(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为 3=3,3=1+2,3=1+1+1,所以 f ( 3 ) ? 3 . 因 为 5=5,5=2+3,5=1+4,5=1+1+3,5=1+2+2,5=1+1+1+2,5=1+1+1+1+1, 所以 f ( 5 ) ? 7 . (Ⅱ)结论是 f ( n ? 1) ?
1 2 [ f ( n ) ? f ( n ? 2 )] .

??????????????3 分

证明如下:由结论知,只需证 f ( n ? 1) ? f ( n ) ? f ( n ? 2 ) ? f ( n ? 1). 因为 n ? 1 ? 2 , n ? 1 的一个表示法中 a1 = 1 的 a 1 去掉, 把 就可得到一个 n 的表示法; 反之,在 n 的一个表示法前面添加一个“1+” ,就得到一个 n + 1 的表示法,即 n ? 1 的表示 法中 a1 = 1 的表示法种数等于 n 的表示法种数, 所 以 f ( n ? 1) ? f ( n ) 表 示 的 是 n ? 1 的 表 示 法 中 a1 ? 1 的 表 示 法 数 ,
f ( n ? 2 ) ? f ( n ? 1) 是 n + 2 的表示法中 a1 ? 1 的表示法数.

同样,把一个 a1 ? 1 的 n ? 1 的表示法中的 a p 加上 1, 就可得到一个 a1 ? 1 的 n + 2 的表示法,这样就构造了从 a1 ? 1 的 n ? 1 的表示法到 a1 ? 1 的 n ? 2 的表示法的一个对应. 所以有 f ( n ? 1) ? f ( n ) ? f ( n ? 2 ) ? f ( n ? 1). ??????????????9 分 (Ⅲ)由第(Ⅱ)问可知: 当正整数 m ? 6 时, f ( m ) - f ( m - 1) ? f ( m 又 f ( 6 ) ? 11 , f ( 5 ) ? 7 , 所以 f ( m ) - f ( m - 1)
1) - f ( m - 2) 吵?
4.

f (6) - f (5) .

*

对于*式,分别取 m 为 6 ,7 , ? , n ,将所得等式相加得 f ( n ) ? f ( 5 ) ? 4 ( n ? 5 ) . 即 f ( n ) ? 4 n ? 13 . ??????????????13 分


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