高考数学一轮复习第五章数列第4讲数列的求和配套课件理_图文

第4讲 数列的求和

考纲要求

考点分布

考情风向标

2013年新课标Ⅰ第17题(2)考查 裂项相消法数列求和; 2013年大纲第17题考查裂项相 消法数列求和; 1.掌握等差数列、 2014年新课标Ⅰ第17题(2)考查 等比数列的求和 错位相减法数列求和; 公式. 2016年北京第15题(2)考查分组 2.了解一般数列 法数列求和,山东第19题(2)考 求和的几种方法 查错位相减法数列求和; 2017年新课标Ⅰ第17题(2)考查 等比数列求和,新课标Ⅱ第15 题及新课标Ⅲ第17题(2)考查裂 项相消法数列求和

从近几年的高考试题来 看,对等差、等比数列 的求和,以考查公式为 主;对非等差、非等比 数列的求和,主要考查 分组法、裂项相消法、 错位相减法等.题型既 有选择题、填空题,又 有解答题,属较难题目

数列求和
等差数列 Sn = n?a1+an? 2 =na1+ n ?n - 1 ? 2 d 公式法 等比数列
Sn ?

分组求和

把一个数 列分成几 ?na1 , q ? 1 个可以直 ? n ? a1 ?1 ? q ? a1 ? an q ? 1 ? q ? 1 ? q , q ? 1.接求和的 ? 数列

裂项相消 有时把一个 数列的通项 公式分成两 项 差 的 形 式,相加过 程消去中间 项,只剩下 有限项再求 和

错位相减 适用于一 个等差数 列和一个 等比数列 对应项相 乘构成的 数列求和

1 1.数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 an= , 则 S5=( B ) n?n+1? A.1 1 C.6 5 B.6 1 D.30

1 1 1 1 1 2.数列 12,34,58,716,?,(2n-1)+2n,?的前 n 项和 Sn 等于( A ) 1 1 2 2 A.n +1-2n B.2n -n+1-2n 1 1 2 2 C.n +1- n-1 D.n -n+1-2n 2 1 解析:该数列的通项公式为 an=(2n-1)+2n, ?1 1 1? 2 则 Sn=[1+3+5+?+(2n-1)]+?2+22+?+2n?=n + ? ? 1 1-2n.

16 , 3.若数列{an}满足a1=1,an+1=2an(n∈N*),则a5=_____ 255 前 8 项的和 S8=________. (用数字作答)
4.数列{an}的通项公式为 an= ,若其前 n 项的和 n+ n+1 1

为10,则项数 n=_______. 120

考点 1 公式或分组法求和 例1:(2016年北京)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列, 且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (1)求{an}的通项公式;

(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和.

b3 9 解:(1)等比数列{bn}的公比 q=b =3=3, 2 b2 所以 b1= q =1,b4=b3q=27.
设等差数列{an}的公差为d. 因为a1=b1=1,a14=b4=27,

所以1+13d=27,即d=2.
所以an=2n-1(n=N*).

(2)由(1)知,an=2n-1,bn=3n-1. 因此cn=an+bn=2n-1+3n-1. 从而数列{cn}的前n项和

Sn=1+3+?+(2n-1)+1+3+?+3n-1
n?1+2n-1? 1-3n = + 2 1-3
n 3 -1 2 =n + 2 .

【规律方法】若一个数列是由等比数列和等差数列组成, 则求和时,可采用分组求和,即先分别求和,再将各部分合并.

【互动探究】 1.(2015年福建)在等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15. (1)求数列{an}的通项公式;

(2)设 bn= 2an ?2 +n,求 b1+b2+b3+?+b10 的值.

解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,
? ?a1+d=4, 由已知,得? ? ??a1+3d?+?a1+6d?=15, ? ?a1=3, 解得? ? ?d=1.

所以 an=a1+(n-1)d=n+2.

(2)由(1),可得bn=2n+n.
所以b1+b2+b3+?+b10 =(2+1)+(22+2)+(23+3)+?+(210+10) =(2+22+23+?+210)+(1+2+3+?+10)

2?1-210? ?1+10?×10 = + 2 1-2
=(211-2)+55

=211+53=2101.

考点 2 裂项相消法求和
例 2:(2017 年新课标Ⅲ)设数列{an}满足 a1+3a2+?+ (2n-1)an=2n. (1)求{an}的通项公式;
? ? an ? ? ? (2)求数列 2n+1? ? ? ? ?

的前 n 项和.

解:(1)因为a1+3a2+?+(2n-1)an=2n,

故当 n≥2 时 , a1 + 3a2? + (2n - 3)an - 1 = 2(n - 1) ,
两式相减,得(2n-1)an=2.

2 所以 an= (n≥2). 2n-1

又因题设可得 a1=2,满足上式, 2 所以{an} 的通项公式为 an= . 2n-1 (2)记
? ? an ? ? ? ?的前 ? ?2n+1? ?

n 项和为 Sn,

2 1 1 an 由(1)知, = = - . 2n+1 ?2n+1??2n-1? 2n-1 2n+1 1 1 1 1 1 1 2n 则 Sn=1-3+3-5+?+ - = . 2n-1 2n+1 2n+1

【规律方法】在应用裂项相消法时,要注意消项的规律具 有对称性,即前面剩多少项则后面也剩多少项.常见的拆项公
1 ? 1 1 1 1 1? ? 1 式: =n- ; = 2 ?2n-1-2n+1? ; ? n?n+1? n+1 ?2n-1??2n+1? ? ? 1 = n+1- n. n+ n+1

【互动探究】

2.(2017 年新课标Ⅱ)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, a3=3,
1 S4=10,则 ? =___________. k ?1 S k
n

解析:设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, ?a1+2d=3, ? ? ?a1=1, 依题意有? 解得? 4×3 ? ?d=1. 4a1+ 2 d=10, ? ?

n?n-1? n?n+1? 数列{an}的前 n 项和为 Sn=na1+ 2 d= 2 ,
?1 1 ? 1 2 ? ? - = = 2 ?, Sk k?k+1? ? ?k k+1? ? 1 1 1 1 1 1 1 ? 2n 1 ? ? 则 ? =2?1-2+2-3+3-4+?+n-n+1?= . n + 1 ? ? k ?1 S k
n

2n 答案: n+1

3.(2013 年新课标Ⅰ)已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S3=0,S5=-5. (1)求{an}的通项公式;
? ? 1 ? ? ? (2)求数列 a a ?的前 ? ? 2n-1 2n+1? ?

n 项和.

n?n-1? 解:(1)设{an}的公差为 d,则 Sn=na1+ 2 d.
? ?3a1+3d=0, 由已知可得? ? ?5a1+10d=-5, ? ?a1=1, 解得? ? ?d=-1.

故{an}的通项公式为 an=2-n.

1 1 (2)由(1)知, = a2n-1a2n+1 ?3-2n??1-2n? 1 ? 1? ? 1 =2?2n-3-2n-1? ?, ? ?
? ? 1 ? ? 从而数列?a a ?的前 ? 2n-1 2n+1? ? ?

n 项和为

1 1 1 1 1 ? 1? n ? 1 ? - + - +?+ - = . 2n-3 2n-1? 2? ?-1 1 1 3 ? 1-2n

考点 3 错位相减法求和 例3:(2017年天津)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn (n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3

=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.
(1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N*).

解:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比
为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12. 因为b1=2,所以q2+q-6=0. 又因为q>0,解得q=2.所以bn=2n. 由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8. ① 由S11=11b4,可得a1+5d=16. ② 联立①②,解得a1=1,d=3.由此可得an=3n-2.

所以{an}的通项公式为an=3n-2,
{bn}的通项公式为bn=2n.

(2)设数列{a2nbn}的前n项和为Tn,
由a2n=6n-2, 得Tn=4×2+10×22+16×23+?+(6n-2)×2n, 2Tn = 4×22 + 10×23 + 16×24 +?+ (6n - 8)×2n + (6n - 2)×2n+1, 上述两式相减,得-Tn =4×2+6×22+6×23+?+6×2n-(6n-2)×2n+1

12×?1-2n? = -4-(6n-2)×2n+1 1-2

=-(3n-4)2n+2-16. 所以Tn=(3n-4)2n+2+16. 所以数列{a2nbn}的前n项和为(3n-4)2n+2+16. 【规律方法】(1)一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn} 是等比数列,那么求数列{an· bn}的前n项和时,可采用错位相 减法,一般是和式两边同乘等比数列 {bn} 的公比,然后作差

求解 .(2) 在写出 “Sn” 与 “qSn” 的表达式时,应特别注意将两式
“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.

【互动探究】
4.(2014 年新课标Ⅰ)已知{an}是递增的等差数列,a2,a4 是 方程 x2-5x+6=0 的根. (1)求{an}的通项公式;
?an? (2)求数列?2n?的前 ? ?

n 项和.

解:(1)方程 x2-5x+6=0 的两根为 2,3, 由题意,得 a2=2,a4=3. 1 设数列{an}的公差为 d,则 a4-a2=2d.故 d=2. 3 从而 a1=2. 1 所以{an}的通项公式为 an=2n+1.
?an? (2)设?2n?的前 ? ?

an n+2 n 项和为 Sn,由(1)知,2n= n+1 . 2

n+1 n+2 3 4 则 Sn=22+23+?+ 2n + n+1 , 2

n+1 n+2 1 3 4 2Sn=23+24+?+ 2n+1 + 2n+2 . 两式相减,得 1 ? 1 3 ? ?1 ? n+2 S n= +?23+?+ n+1?- n+2 2 ? 2 2 4 ? 1 ? 3 1? ? ? n+2 =4+4?1-2n-1?- n+2 . 2 ? ? n+4 所以 Sn=2- n+1 . 2

思想与方法 ⊙放缩法在数列中的应用
例题:(2014 年广东)设各项均为正数的数列{an}的前 n 项
2 2 * 和为 Sn,且 Sn 满足 S2 n-(n +n-3)Sn-3(n +n)=0,n∈N .

(1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式; 1 1 (3)证明:对一切正整数 n,有 + +?+ a1?a1+1? a2?a2+1? 1 1 < . an?an+1? 3

(1)解:由 n=1,得 S2 1-(-1)S1-3×2=0, 即 S2 1+S1-6=0.∴(S1+3)(S1-2)=0. ∵S1>0,∴S1=2,S1=-3(舍去).∴a1=2.
2 2 (2)解:由 S2 n-(n +n-3)Sn-3(n +n)=0,

得(Sn+3)[Sn-(n2+n)]=0. ∵an>0(n∈N*),∴Sn>0.∴Sn+3>0. ∴Sn=n2+n. ∴当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n. 又 a1=2=2×1,∴an=2n(n∈N*).

(3)证明:当 k∈N*时, k 2 k 3 ? 1?? 3? k +2>k +2-16=?k-4??k+4?, ? ?? ?
2

1 1 ∴ = ak?ak+1? 2k?2k+1? 1 1 1 1 =4· ? 1?<4·? 1?? 3? ?k- ??k+ ? k?k+2? 4 4
? ? ? ?? ?

1 ? 1 ? 1 1 1? - ? 1 1 =4·? 1? ? = · 1? 4 ?k- ?k+1?- ?. 4? ?k- ?· ? ? ? 4 4 ?k+1?-4
? ?? ?

1 1 1 ∴ + +?+ a1?a1+1? a2?a2+1? an?an+1? 1 ? ? 1 1 ? ?? 1 1? ? 1- 1?+? 1- 1?+?+ < 4? ? 1-4 2-4? ?2-4 3-4? ? ? ? ?? 1 ? ? 1 ? 1 1- 1?= ? 1- 1? n-4 ?n+1?-4? 4?1-4 ?n+1?-4? ? ? ? 1 1 1 1 1 =3- < . 4n+3 3

【规律方法】本题要利用放缩技巧构造裂项相消法求和 .

本题的关键在于能否看出条件方程能十字相乘求出 Sn ,然后
利用an=Sn-Sn-1求an,请记住,他山之石,可以攻玉!

【互动探究】
5.已知点 Pn(an,bn)都在直线 l:y=2x+2 上,P1 为直线 l 与 x 轴的交点,数列{an}成等差数列,公差为 1(n∈N*). (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)若
? ?an,n为奇数, f(n)=? ? ?bn,n为偶数,

问是否存在 k∈N*,使得 f(k+

5)=2f(k)-2 成立?若存在, 求出 k 的值; 若不存在, 说明理由; 1 1 1 2 (3)求证:|P P |2+|P P |2+?+|P P |2<5(n≥2,n∈N*). 1 2 1 3 1 n

(1)解:由题意知,P1(-1,0),则 a1=-1,b1=0. ∴an=a1+(n-1)d=-1+n-1=n-2. ∴bn=2an+2=2n-2.
? ?n-2,n为奇数, (2)解:f(n)=? ? ?2n-2,n为偶数.

假设存在符合条件的 k: ①若 k 为偶数,则 k+5 为奇数. 有 f(k+5)=k+3,f(k)=2k-2. 若 f(k+5)=2f(k)-2,则 k+3=4k-6?k=3 与 k 为偶数矛 盾.不符舍去.

②若 k 为奇数,则 k+5 为偶数. 有 f(k+5)=2k+8,f(k)=k-2. ∴2k+8=2(k-2)-2,8≠-6,则这样的 k 也不存在. 综上所述,不存在符合条件的k∈N*,使得f(k+5)=2f(k) -2. (3)证明:∵Pn(n-2,2n-2),P1(-1,0),
∴|P1Pn|= 5(n-1)(n≥2). 1 1 1 ∴|P P |2+|P P |2+?+|P P |2 1 2 1 3 1 n

1 1 1 ? 1? ? =5?1+22+32+?+?n-1?2? ? ? ?
? 1 1 1 1? ? <5?1+1×2+2×3+?+?n-2??n-1?? ? ? ? ? 1 ? 1 ? 1? ? ? 1? ? 2 =5?1+1-n-1?=5?2-n-1?<5. ? ? ? ?


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