2016




线性变换的基本性质

(一)线性变换的基本性质

1.理解数乘平面向量和平面向量的加法的概念,掌握线性变换的 基本性质1、性质2及定理1. 2.会利用线性变换的性质及定理进行相关的计算,会确定直线在 线性变换后的图形,并能解决简单的实际问题.

1

2

1.平面向量的性质 x (1)设向量 α= y 1 (2)设向量 α= 1 1 + 2 α+β= 1 + 2 . , = 2 , 规定实数与向量α 的乘积 λα= 2 , 规定向量α 与 β 的和

λx . λy

1

2

1 【做一做 1-1】 设向量 α= 1 解析:3α=3 3 答案: 6 2 = 3×2 3×1 2 = 6 , 则 3α= 3 . .

1

2

3 【做一做 1-2】 设向量 α= 4 则α+β= 3 解析:α+β= 8 答案: 10 4 + 6 . 5 = 4+6 3+5 = , =

5 , 6 8 . 10

1

2

2.线性变换的基本性质 (1)性质1. 设A是一个二阶矩阵,α,β是平面上的任意两个向量,λ是一个任意 实数,则 ①A(λα)=λAα, ②A(α+β)=Aα+Aβ. 名师点拨平面内的两个向量α,β满足数乘交换律和数乘对加法的 分配律,即λ1(λ2α)=λ2(λ1α)=(λ1λ2)α和λ(α+β)=λα+λβ,由此联想到矩阵 是否也有类似的性质,并加以证明,记忆时可类比联想记忆.

1

2

(2)性质2. 二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一 点). 名师点拨直线作为平面内的特殊图形,经过线性变换变成了直线, 特殊情况下变成一点. (3)定理1. 设A是一个二阶矩阵,α,β是平面上的任意两个向量,λ1,λ2是任意两 个实数,则A(λ1α+λ2β)=λ1Aα+λ2Aβ.

1

2

1 【做一做 2】 矩阵 2 2 变成的图形的方程为(
A.y=x+2 C.y=3x+2 B.y=2x+3 D.y=-x+2

0 对应的线性变换把直线 = + 1 )

1

2

解析:取直线上任意一点 P(x,y),求得在线性变换下的像 P'(x',y'), 再用 x',y'表示出 x,y,代入直线 y=x+2 即可.
1 0

设 P(x,y)为直线 y=x+2 上的任意一点,在矩阵
x' 对应的线性变换作用下的像为P'(x',y'),则 ' = , ' = 2 + . y' = 2 1 y 1 0 2 x 1 = 2x + y x ,



= ', 解得 代入y=x+2,得 y'-2x'=x'+2,即 y'=3x'+2,所以此 = '-2', 线性变换把直线 y=x+2 变成直线 y=3x+2. 答案:C

为什么线性变换把平面上的直线变成直线(或一点)? 剖析:设 P1,P2 为直线 l 上的两个定点,P 为 l 上的一个动点,如图 所示. 记 α1= 1 ,α2= 2 , = , 则1 ∥ 1 2 , 即存在实数λ,使1 = 1 2 . 即 γ-α1=λ(α2-α1),从而 γ=(1-λ)α1+λα2. 令 λ1=1-λ,λ2=λ,则 γ=λ1α1+λ2α2(其中 λ1,λ2 是实数, 且 λ1+λ2=1), 即任意一条直线 l 都可以表示为 γ=λ1α+λ2β(λ1,λ2∈R,且 λ1+λ2=1).

x' 设直线 l 在线性变换 =

x

y y' 的作用下变成γ'=A(λ1α+λ2β)=λ1Aα+λ2Aβ(λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1). (1)如果Aα≠Aβ,则由Aα和Aβ的终点确定直线l',即把直线l变为直 线l'. (2)如果Aα=Aβ,则γ'=(λ1+λ2)Aα=Aα,Aα的终点是平面上一个确 定的点.所以矩阵所对应的线性变换把平面上的直线变成直线或一 点.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型一 利用线性变换的性质及定理进行计算

【例 1】 已知旋转角为 3 的旋转变换对应的矩阵为A,α= 3 -1 , = 7 , 求Aα,A(2α+3β),A(-α+2β).

π

6 分析:根据性质 1 及定理 1 直接求解.

题型一

题型二

题型三

题型四

解:由题意,得 A=
1 2 3 2 3 2 1 2

1 2 3 2

-

∴Aα=

-

3

3 2 1 2

,
3-7 3 2 3 3+7 2 1

= 7 -1 = 6

,

Aβ=

1 2 3 2

-

3 2 1 2

- 2 -3 3 3 +3 2

.

题型一

题型二

题型三

题型四

∴A(2α+3β)=2Aα+3Aβ

3 3 - -9 3 -16 3 2 2 = + = , 3 3 3 3 +9 + 16 2 2 3 3+7
3-7 3 A(-α+2β)=-Aα+2Aβ=
7 3-3 2 3 3+7 - 2

-1-6 3 + - 3+6

-2- 2 = . 5 3 5 - 2 +2

5 5 3

反思本题是利用定理1解决的,也可先利用平面向量的性质进行 计算,再结合性质1求出结果.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型二

求直线在线性变换下的图形

1 【例 2】 直线 x+y=3 在矩阵

1

0 2 对应变换的作用下变成了什么图形, 并求其方程. 分析:根据矩阵与向量的乘法求解.

题型一

题型二

题型三

题型四

1

1

解:设(x,y)是直线 x+y=3 上任一点,在矩阵 0 对应变换的作用下变为点(x',y'),则 x+y x x' 1 1 有 y' = '- ', = '.
2 1 2 1

2

= 0 2 y

= 2y

' = + , .∴ 从而得 ' = 2.

代入直线x+y=3,得 x'-3=0. 1 1 对应变换的作用下变成了直线x=3. 0 2

∴直线 x+y=3 在矩阵

反思此题验证了线性变换把直线变成了直线.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型三
1 2

综合应用

【例 3】 直线 l 与直线 3x+5y=6 平行,且过点(3,-2),矩阵 A 对应 的切变变换是沿 y 轴方向平移 个单位长度, 求该切变变换将变成了什么图形, 并写出其方程.

分析:先由切变变换的概念写出A,根据直线的性质求出直线l的 方程,进而求出A将l变换后的图形其方程.

题型一

题型二

题型三

题型四

解:设直线 l 的方程为 3x+5y+c=0,把(3,-2)代入,得 c=1, 故直线 l 的方程为 3x+5y+1=0. 1 0 又切变变换对应的矩阵为 A= 1 , 令点P(x,y)是 l 上任 1 2 一点,在 A 对应的变换作用下的像为点 P'(x',y'), x x' ' = , = ', 1 0 1 1 有 = 1 ,∴ ∴ 1 ' = + . = - ' + '. 2 2 2 y y' 代入直线 3x+5y+1=0,得 3x'? ′ + 5′ + 1 = 0, 即x'+10y'+2=0. ∴在 A 对应的变换作用下直线 l 变为直线 x+10y+2=0.
5 2

题型一

题型二

题型三

题型四

题型四

易错辨析

0.8 0 【例 4】 已知直线 l 过点 A(1,0),B(0,2),在矩阵 0 1 对应的伸缩变换作用下变成了直线′, 判断直线′与直线 2 ? 5 ? 4 = 0 的位置关系.

题型一

题型二

题型三

题型四

错解:过 A(1,0),B(0,2)两点的直线 l 的方程为 即2x+y-2=0.设(x,y)为 l 上任意一点,在矩阵 0 对应的变换作用下的像为点(x',y'),则 x x' 0.8x' 0.8 0 有 y = 0 1 y' = y' ,

0.8 0

x+ 2

= 1,

1

题型一

题型二

题型三

题型四

0.8 错因分析:直线 l 上的任意一点(x,y)在矩阵 0 对应的变换作用下的像为点(x',y'),则它们的关系应为 x x' 0.8 0 = y' 0 1 y .

0

1

题型一

题型二

题型三

题型四

正解:过 A(1,0),B(0,2)两点的直线 l 的方程为 x+ 2 = 1, 即2x+y-2=0. 令(x,y)为直线 l 上任一点,在矩阵 0 对应的变换作用下的像为点(x',y'), x x' 0 .8 0 则有 y' = 0 1 y = y 0.8x . 1


0.8 0

题型一

题型二

题型三

题型四

5 ' = 0.8, ∴ ∴ = 4 ', ' = .
= ', 代入直线 2x+y-2=0,得
5 ′ + ′ ? 2 2

= 0, 即5x'+2y'-4=0. 对应的变换作用下l 变为直线

0 .8 0

∴在矩阵

0 1 l':5x+2y-4=0,它与直线 2x-5y-4=0 垂直.

1

2

3

4

5

3 1.已知 α= 1 -6 A. 2 解析:-2α=-2 1 答案:B B. -2 3 = -2 × 1 -6 C.
3 -2 1 2

, 则 ? 2α 等于(

)

D.

3 2 1 2

-2 × 3 =

-6 . -2

1

2

3

4

5

1 2 2.已知 A= 7 A. 1 B. 1 , = 0 1 11 5 C. 5 D.

3 , = 1 5

2 , 则A(α+β)等于 0 ( )

3

1

2

3

4

5

3+2 解析:∵α+β= 1+0 1 2 =

5 , 1 5 = 7 . 1

∴A(α+β)=
0 答案:A 1 1

1

2

3

4

5

3.已知 θ∈(0,π),α= 则 = 解析:∵α= 3, ∴ .

sin
3 2

3 2

, =

cos
3 6

, 且 = 3,

= 3cos,
1 . 2

sin =

又θ∈(0,π),

∴θ= 6.
答案:
π 6

π

1 4.直线 y=4x 在矩阵 0

1

2

3

4

5

1 2

0

所对应的变换作用下的图形的方程为 . 解析:设 P(x,y)是直线 y=4x 变换后的图形上的任意一点,则在直线 x x' 1 0 1 y=4x 上一定存在一点(x',y'),使得 = . 则有 0 2 y y' = ', = 1 注意到 y'=4x',则 y=2x,故直线 y=4x 在矩阵 0 对应的变换作用下变为直线y=2x. 答案:y=2x
' . 2

1 2

0

1

2

3

4

5

1

4

5.求直线 2x+3y-1=0 在矩阵 0 1 对应的变换作用下的图形的方程. 1 解:设 P(x,y)为直线 2x+3y-1=0 上的任意一点,它在矩阵 0 对应的变换作用下对应点为P'(x',y'), x' 则 y' = 0 1 y 1 4 x = y x + 4y , 1 4

1

2

3

4

5

' = + 4, = '-4', ∴ ∴ ' = . = '. 代入直线 2x+3y-1=0, 得 2(x'-4y')+3y'-1=0,即 2x'-5y'-1=0. 1 4

∴直线 2x+3y-1=0 在矩阵
0 1 对应的变换作用下的图形是一条直线,其方程为 2x-5y-1=0.


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