北京市昌平区2014-2015学年高三第一学期期末质量抽测数学(文)试题word版带解析

昌平区 2014-2015 学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷(文科)
2015.1

考生注意事项: 1.本试卷共 6 页,分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2.答题前,考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚.答题卡上第一部分(选择题)必须 用 2B 铅笔作答,第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答,作图时必须使用 2B 铅笔. 3.修改时,选择题用塑料橡皮擦干净,不得使用涂改液.请保持卡面整洁,不要折叠、折皱、 破损.不得在答题卡上作任何标记. 4.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作 答均不得分.

第Ⅰ卷(选择题
目要求的一项.)

共 40 分)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题

1. 已知集合 M ? {x ? 1}, N ? {x | x ? 0}, 则 M ? N 等于 A. x x ? 1 【答案】C 【解析】 故答案为:C 【考点】 【难度】 2.下列函数中,在区间(0, A. y ? cos x 【答案】A 【解析】 故答案为:A 【考点】 【难度】 3. 在 ?ABC 中, ?A ? 60? , AC ? 2, BC ? 3, ,则 ? B 等于 A. 120 【答案】D
文科试卷 1
?

?

?

B.

? x x ? 1?

C.

? x 0 ? x ? 1?

D. ?

π )上是减函数的是 2
B. y ? sin x C. y ? x
2

D. y ? 2 x ? 1

B.

90?

C.

60?

D. 45

?

【解析】 故答案为:D 【考点】 【难度】 4.某四棱锥的三视图如图所示,其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视 图是正方形,则该四棱锥的体积是 A. 8

8 3 C. 4 4 D. 3
B.

【答案】D 【解析】 故答案为:D 【考点】 【难度】 5. “ ? ? ? ”是“ sin ? ? sin ? ”的 A.充分不必要条件 【答案】A 【解析】 故答案为:A 【考点】 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

文科试卷

2

【难度】 6. 已知直线 m 和平面 α,β,则下列四个命题中正确的是 A. 若 ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? C. 若 ? / / ? , m / /? ,则 m / / ? B. 若 ? / / ? , m ? ? ,则 m ? ? D. 若 m / /? , m / / ? ,则 ? / / ?

【答案】B 【解析】 故答案为:B 【考点】 【难度】 7. 某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经历了 n 次涨停(每次上涨 10%),又经历了 n 次跌停(每次下跌 10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其它费用)是 A. 略有盈利 【答案】B 【解析】 故答案为:B 【考点】 【难度】 8. 已知数列 {an } 满足 3an?1 ? an ? 4 (n ? 1 ,n ? N* ), 且 a1 ? 9, 其前 n 项之和为 S n ,则满足不等式 B. 略有亏损 C.没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况

| S n ? n ? 6 |?
A.7 【答案】C 【解析】 故答案为:C 【考点】 【难度】

1 成立的 n 的最小值是 40
B.6 C.5 D.4

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) . 9. 计算: (1 ? i)(1 ? 2i) = .( i 为虚数单位)

【答案】 3 ? i 【解析】
文科试卷 3

故答案为: 3 ? i 【考点】 【难度】 10. 执行如图所示的程序框图,如果输入 ?2 ,那么输出的结果是 的结果是 . ,如果输入 4 ,那么输出

【答案】10 ; 4 【解析】 故答案为:10 ; 4 【考点】 【难度】

? x ? y ≤ 1, ? 11. 设 x , y 满足约束条件 ? y ≤ x, 则 z ? 2 x ? y 的最大值是 ? y ≥ 0, ?
【答案】 2 【解析】 故答案为: 2 【考点】 【难度】 12. 平面向量 a 与 b 的夹角为 60 , a ? (1, 0) , | b |= 2 ,则 | 2a - b | =
?

.

.

【答案】 2 【解析】
文科试卷 4

故答案为: 2 【考点】 【难度】 13. 双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1 的离心率是_________;若抛物线 y 2 ? 2mx 与双曲线 C 有相同的 3

焦点,则 m ? _____________. 【答案】 【解析】

2 3; ? 4 3

故答案为: 【考点】 【难度】

2 3; ? 4 3

14. 在下列函数① y ? 3x ?1 , ② y ? log3 x, ③ y ? x2 ? 1, ④ y ? sin x, ⑤ y ? cos( x ? 意的 x1 , x2 ? ( 0 , 1 ) ,则 f ? 序号) 【答案】① ③ 【解析】 故答案为:① ③ 【考点】 【难度】

? ) 中,满足“对任 6

? x1 ? x2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 恒成立”的函数是________.(填上所有正确的 ?? 2 ? 2 ?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? (I) 求函数 f ( x ) 的最小正周期; (II)当 x ? [0, ] 时,求函数 f ( x ) 的最大值及取得最大值时的 x 值. 【答案】见解析 【解析】 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ?

1 cos 2 x ? 1. 2

? 2

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 2
5

文科试卷

? ? sin(2 x ? ) ? 1 6 2? ? ?. 所以 T ? 2

(Ⅱ)因为 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 1 ,

? ? ?? ? 2x ? ? . 6 6 6 ? ? ? 所以当 2 x ? ? 即 x ? 时, 6 2 6
所以 函数 f ( x) 的最大值是 2. 【考点】 【难度】 16.(本小题满分 13 分)

? 6

0? x?

? , 2

有 20 名学生参加某次考试,成绩(单位:分)的频率 分布直方图如图所示: (I)求频率分布直方图中 m 的值; (Ⅱ) 分别求出成绩落在 [70,80),[80,90),[90,100]中的学 生人数; (III)从成绩在 [80,100] 的学生中任选 2 人,求所选学 生的成绩都落在 [80,90) 中的概率. 【答案】见解析 【解析】
O

频率 组距

6m 5m 4m 3m 2m

50

60

70

80

90

100

成绩(分)

解: (I)由题意 10 ? (2m ? 3m ? 4m ? 5m ? 6m) ? 1 , m ? 0.005 . (II)成绩落在 [70,80) 中的学生人数为 20 ? 10 ? 0.03 ? 6 , 成绩落在 [80,90) 中的学生人数 20 ? 10 ? 0.02 ? 4 成绩落在 [90,100] 中的学生人数 20 ? 10 ? 0.01 ? 2 . (III)设落在 [80,90) 中的学生为 a1 , a2 , a3 , a4 ,落在 [90,100] 中的学生为 b1 , b2 , 则 ?1 ? {a1a2 , a1a3 , a1a4 , a1b1 , a1b2 , a2a3 , a2a4 , a2b1 , a2b2 , a3a4 , a3b1 , a3b2 , a4b1 , a4b2 , b1b2 } , 基本事件个数为 n ? 15 , 设 A=“此 2 人的成绩都在 [80,90) ”,则事件 A 包含的基本事件数 m ? 6 , 所以事件 A 发生概率 P ( A) ? 【考点】

m 6 2 ? ? . n 15 5

文科试卷

6

【难度】 17.(本小题满分 13 分) 在等比数列 ?an ? 中, a2 ? 2, a5 ? 16 . (I)求等比数列 ?an ? 的通项公式; (II)若等差数列 ?bn ? 中, b1 ? a5 , b8 ? a2 ,求等差数列 ?bn ? 的前 n 项的和 Sn ,并求 Sn 的最大值. 【答案】见解析 【解析】 解: (I)在等比数列 ?an ? 中,设公比为 q , 因为 a2 ? 2, a5 ? 16 , 所以 ?

? a1q ? 2

?a1 ? 1 , 得 ? 4 ?q ? 2 ? a1q ? 16

所以 数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 2n?1 . (II)在等差数列 ?bn ? 中,设公差为 d . \因为 b1 ? a5 , b8 ? a2 ,

?b1 =a5 ? 16 ?b1 ? 16 ?b =16 , ? , ?1 , ? 所以 ?b8 ? a2 =2 ?b1 +7d =2 ? d = ? 2
方法一

S n ? b1n ?

n(n ? 1) d ? ? n 2 ? 17n , 2

当 n ? 8 或 9 时, Sn 最大值为 72. 方法二 由 bn ? 18 ? 2n ,当 bn ? 18 ? 2n ? 0 ,解得 n ? 9 ,即 a9 ? 0, a8 ? 2. 所以当 n ? 8 或 9 时, Sn 最大值为 72. 【考点】 【难度】 18. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,
P

文科试卷

7

D A O

C B

?DAC =90? , O 为 AC 的中点, PO ? 底面 ABCD .
(I)求证: AD ? 平面 PAC ; (II)在线段 PB 上是否存在一点 M ,使得 OM // 平面 PAD ?若存在,写出证明过程;若不存在, 请说明理由. 【答案】见解析 【解析】 证明: (I)在 ?ADC 中,

因为 ?DAC =90?,所以 AD ? AC.
又因为 PO ? 面ABCD , AD ? 平面ABCD 所以 PO ? AD . 又因为 PO ? AC =O,PC、AC ? 平面PAC , 所以 AD ? 平面PAC . (II)存在.当 M 为 PB 中点时, OM//平面PAD . 证明:设 PA、AD 的中点分别为 E、 F ,连结 OF、ME、EF ,

在?ACD中,O为AC 的中点,

P

1 所以 OF //CD,OF = CD . 2
在?PAB中,M 、E为PB、PA 的中点,
所以 ME //AB, ME =
ME //OF,ME =OF ,
E D F A O M C B

1 2

AB ,

所以 四边形 OMEF 是平行四边形, 所以 OM / / EF . 因为 OM ? 平面PAD , EF ? 平面PAD , 所以 OM / / 平面PAD . 【考点】 【难度】 19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e ? xe ?1.
x x

(I)求函数 f ( x ) 的最大值; (Ⅱ)设 g ( x) ? 【答案】见解析 【解析】 解: (Ⅰ) f ( x) ? ? xe ,
' x

f ( x) , 其中 x ? ?1, 且x ? 0 ,证明: g ( x) <1. x

文科试卷

8

当 x ? (??,0) 时,f ?(x)>0,f (x)单调递增; 当 x ? (0, ??) 时,f ?(x)<0,f (x)单调递减.

所以 f (x)的最大值为 f (0)=0. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 x ? 0 时, f ( x) ? 0, g ( x) ? 0 ? 1. 当 ?1 ? x ? 0 时, g ( x) ? 1 等价于 f ( x) ? x. 设 h( x) ? f ( x) ? x ,则 h' ( x) ? ? xe x ? 1 . 当 x ? (?1, 0) 时, 0 ? ? x ? 1,0 ? ex ? 1, 则 0 ? ? xe x ? 1, 从而当 x ? (?1, 0) 时, h' ( x) ? 0 , h( x) 在 (?1, 0) 单调递减. 当 x ? (?1, 0) 时, h( x) ? h(0) ? 0, 即 f ( x) ? x ? h(0) ? 0, 所以 f ( x) ? x , 故 g (x)<1. 综上,总有 g (x)<1 【考点】 【难度】 20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C:

y 2 x2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,其四个顶点组成的菱形的面积是 4 2 ,O 为 2 a b 2

坐标原点,若点 A 在直线 x ? 2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 OA ? OB . (I) 求椭圆 C 的方程; (II)求线段 AB 长度的最小值; (III)试判断直线 AB 与圆 x 【答案】见解析 【解析】
2

? y 2 ? 2 的位置关系,并证明你的结论.

文科试卷

9

? c 2 ?e ? ? 2 2 解: (I)由题意 ? a 2 ,解得 a ? 4, b ? 2 . ? 2ab ? 4 2 ?
故椭圆 C 的标准方程为

y 2 x2 ? ? 1. 4 2

(II)设点 A,B 的坐标分别为 (2, t ),( x0 , y0 ) ,其中 y0 ? 0 , 因为 OA ? OB ,所以 OA ? OB ? 0 ,即 2 x0 ? ty0 ? 0 , 解得 t ? ?

uur uu u r

2 x0 ,又 2x02 ? y02 ? 4 , y0

所以 | AB |2 ? ( x0 ? 2)2 ? ( y0 ? t )2 = ( x0 ? 2) ? ( y0 ?
2

2 x0 2 ) y0

= x0 ? y0 ?
2 2

4 x0 2 ?4 y0 2

= y0 ?
2

4 ? y0 2 2(4 ? y0 2 ) y02 8 = ? ? 4 ? ? 4(0 ? y02 ? 4) , 2 y0 2 2 y02

y02 8 因为 ? 2 ? 4(0 ? y02 ? 4) ,当且仅当 y0 2 ? 4 时等号成立,所以 | AB |2 ? 8 , 2 y0
故线段 AB 长度的最小值为 2 2 . (III)直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切. 证明如下: 设点 A,B 的坐标分别为 ( x0 , y0 ) , (2, t ) ,其中 y0 ? 0 . 因为 OA ? OB ,所以 OA ? OB ? 0 ,即 2 x0 ? ty0 ? 0 ,解得 t ? ?

??? ? ??? ?

2 x0 . y0

直线 AB 的方程为 y ? t ?

y0 ? t ( x ? 2) , x0 ? 2

即 ( y0 ? t ) x ? ( x0 ? 2) y ? 2 y0 ? tx0 ? 0 ,

文科试卷

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圆心 O 到直线 AB 的距离 d ?

tx0 ? 2 y0 ( y0 ? t ) 2 ? ( x0 ? 2) 2

,

由 y02 ? 2 x02 ? 4 , t ? ?

2 x0 , y0
4 ? y0 2 y0 y0 4 ? 8 y0 2 ? 16 2 y0 2

2 y0 ?
故 d?

2 x0 2 y0

4x 2 x0 2 ? y0 2 ? 02 ? 4 y0

?

? 2 ,

所以 直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切. 【考点】 【难度】

文科试卷

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