2-3 公式法(1) 一元二次方程的解法


九年级数学(上)第二章 一元二次方程
3.公式法(1) 一元二次方程解法

回顾与复习 1

配方法

?我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法 (solving by completing the square) 用配方法解一元二次方程的方法的

助手:

?平方根的意义: 如果x2=a,那么x= ? a . ?完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.

回顾与复习 2

配方法

用配方法解一元二次方程的步骤: ?1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项 系数); ?2.移项:把常数项移到方程的右边; ?3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的 平方; ?4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; ?5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; ?6.求解:解一元一次方程; ?7.定解:写出原方程的解.

心动
2

不如行动

公式法将从这里诞生
2x2-9x+8=0 吗?

? 你能用配方法解方程

9 解 : x ? x ? 4 ? 0. ?1.化1:把二次项系数化为1; 2 ?2.移项:把常数项移到方程的右边; 9 2 x ? x ? ?4. 2 2 2 9 ?9? ?9? ?3.配方:方程两边都加上一次项 2 x ? x ? ? ? ? ? ? ? 4. 系数绝对值一半的平方; 2 2? 4 ? ? 4 ? ? 9 ? 17 ?4.变形:方程左分解因式, ?x? ? ? . 4 ? 16 ? 右边合并同类; 9 17 x? ?? . ?5.开方:根据平方根意义, 4 4 方程两边开平方; 9 17 ?x ? ? . ?6.求解:解一元一次方程; 4 4 9 ? 17 9 ? 17 ?7.定解:写出原方程的解. ? x1 ? ; x2 ? . 4 4

心动
2

不如行动

公式法是这样生产的
ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?

? 你能用配方法解方程

b c 解 : x ? x ? ? 0. ?1.化1:把二次项系数化为1; a a b c 2 x ? x?? . ?2.移项:把常数项移到方程的右边; a a2 2 b ? b ? ? b ? c ?3.配方:方程两边都加上一次项 2 x ? x ? ? ? ? ? ? ? . 系数绝对值一半的平方; a ? 2a ? ? 2a ? a 2 b ? b 2 ? 4ac ? ?4.变形:方程左分解因式, . ?x? ? ? 2 2a ? 4a ? 右边合并同类; 当b 2 ? 4ac ? 0时,
b b ? 4ac x? ?? . 2a 2a 2 ? b ? b ? 4ac 2 ?x ? . b ? 4ac ? 0 .
2

?

?

?5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方; ?6.求解:解一元一次方程; ?7.定解:写出原方程的解.

心动

不如行动

公式法
ax2+bx+c=0(a≠0)

? 一般地,对于一元二次方程
当b 2 ? 4ac ? 0时, 它的根是 :

? b ? b 2 ? 4ac 2 ?x ? . b ? 4ac ? 0 . 2a

?

?

?上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. ?用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 (solving by formular). ?老师提示: ?用公式法解一元二次方程的前提是: ?1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). ?2.b2-4ac≥0.

心动

不如行动

公式法是这样生产的

? 你能用公式法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解: ? a ? 2, b ? ?9, c ? 8. ?1.变形:化已知方程为一般形式;
b 2 ? 4ac ? ?? 9? ? 4 ? 2 ? 8 ? 17 ? 0.
2

? b ? b ? 4ac ?x ? 2a ? ?? 9? ? 17 ? 2? 2 9 ? 17 ? . 4
2

?2.确定系数:用a,b,c写出各项系 数; ?3.计算: b2-4ac的值;

?4.代入:把有关数值代入公 式计算;
?5.定根:写出原方程的根.

9 ? 17 9 ? 17 ? x1 ? ; x2 ? . 4 4

学习是件很愉快的事
? b ? b ? 4αc x? 2α
2

例 1 解方程:x2-7x-18=0

解:这里 a=1, b= -7, c= -18.
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,

7 ? 121 7 ? 11 ?x ? ? , 2?1 2
即:x1=9, x2= -2.

动脑筋

? b ? b2 ? 4αc x? 2α

例 2 解方程:

x ? 3 ? 2 3x
2

解:化简为一般式:x2

? 2 3x ? 3 ? 0

这里 a=1, b= ? 2 3 , c= 3. ∵b2 - 4ac=(? 2 3)2 - 4×1×3=0,

2 3? 0 2 3 ?x ? ? ? 3, 2?1 2
即:x1= x2=

3

想一想

? b ? b2 ? 4αc x? 2α

例 3 解方程:(x-2)(1-3x)=6 解:去括号:x-2-3x2+6x=6 化简为一般式:-3x2+7x-8=0 3x2-7x+8=0 这里 a=3, b= -7, c= 8.

∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×3×8=49 - 96= - 47< 0,
∴原方程没有实数根.

我最棒

,用公式法解下列方程
? 参考答案:

?1?.x1 ? ?2; x2 ? 4. ?1). 2x2+x-6=0; ?2?.x1 ? ?2 ? 6; x2 ? ?2 ? 6. ?2). x2+4x=2; 6 ?3?.x1 ? 2; x2 ? ? . ?3). 5x2 - 4x – 12 = 0 ; 5 3 ?4?.x1 ? x2 ? ? . ?4). 4x2+4x+10 =1-8x ; 2 2 ?5?.x1 ? 3 ? 2 2; x2 ? 3 ? 2 2. ?5). x -6x+1=0 ; 3 2 ?6). 2x -x=6 ; ?6?.x1 ? 2; x2 ? ? . 12 2 ?7 ?.x1 ? x2 ? ? . ?7). 4x - 3x - 1=x - 2; 2 9 ? 73 9 ? 73 ?8). 3x(x-3)=2(x-1)(x+1); ?8?.x1 ? ; x2 ? . 2 1 2 ?9). 9x2+6x+1 =0 ; ?9?.x1 ? x2 ? ? . 3 3 1 ?10). 16x2+8x=3 ; ?10?.x1 ? ; x2 ? ? .
4 4

我最棒

,会用公式法解应用题!

? 一个直角三角形三边的长为三个连续偶数,求这个三角 形的三边长.
解 : 设这三个连续偶数中间的一个为x, 根据题意得
x 2 ? ?x ? 2? ? ?x ? 2? .
2 2

B

即x 2 ? 8 x ? 0. 解这个方程, 得 x1 ? 8, x2 ? 0(不合题意, 舍去).
A C

? x ? 2 ? 6, x ? 2 ? 10.
答 : 三角形的三条边长分别为6,8,10.

我最棒
?解下列方程:

,解题大师——规范正确!
? 参考答案:

?(1). x2-2x-8=0;
?(2). 9x2+6x=8;

?1?.x1 ? ?2; x2 ? 4.
2 4 ?2?.x1 ? ; x2 ? ? . 3 3 3 ?3?.x1 ? 1; x2 ? . 2 3 ?4?. y1 ? y2 ? . 3

?(3). (2x-1)(x-2) =-1;

?4?.3 y

2

? 1 ? 2 3 y.

小结
? ? ?

拓展

回味无穷

? ? ? ? ? ? ?
?

列方程解应用题的一般步骤: 一审;二设;三列;四解;五验;六答. 用配方法解一元二次方程的一般步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系 数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式:
? b ? b 2 ? 4ac 2 ?x ? . b ? 4ac ? 0 . 2a

?

?

独立 作业

知识的升华
1、P66习题2.6 1,2题;

祝你成功!

独立 作业
?根据题意,列出方程:

知识的升华

?1.《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广六尺八寸, 两相去适一丈.问户高,广各几何.”
?大意是说:已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈, 那么门的高和宽各是多少? ?解:设门的高为 x 尺,根据题意得 2 10 x x 2 ? ?x ? 6.8? ? 102.
2+13.6x-9953.76=0. ? 2x ?即 ?解这个方程,得 ?x1 =9.6;

x-6.8

?x2 =-2.8(不合题意,舍去). 答:门的高是9.6尺,宽是2.8尺. ?∴x-6.8=2.8.

独立 作业

知识的升华
2? 6 2? 6 ?1?.x1 ? ; x2 ? . 2 2 1 ?2?.x1 ? 2; x2 ? ? . 3 11 ? 13 11 ? 13 ?3?.x1 ? ; x2 ? . 6 6

? 2. 用公式法解下列方程. ?参考答案:

?1). 2x2-4x-1=0; ?2). 5+2=3x2 ; ?3). (x-2)(3x-5) =1;

下课了!

结束寄语

?

?

配方法和公式法是解一元二次 方程重要方法,要作为一种基本 技能来掌握. 一元二次方程也是刻画现实世 界的有效数学模型.


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