高中数学选修12第三章推理与证明1归纳与类


1.2
一、教学目标

类比推理

1.知识与技能: (1)结合已学过的数学实例,了解类比推理的含义; (2)能利用类比进行简单的推理; (3)体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作用。 2.方法与过程:递进的了解、体会类比推理的思维过程;体验类比法在探究活动中:类比 的性质相似性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论 就越可靠。 3.情感态度与价值观:体会类比法在数学发现中的基本作用:即通过类比,发现新问题、 新结论;通过类比,发现解决问题的新方法。培养分析问题的能力、学会解决问题的方法; 增强探索问题的信心、 收获论证成功的喜悦; 体验数学发现的乐趣、 领略数学方法的魅力! 同时培养学生学数学、用数学,完善数学的正确数学意识。 二、教学重点:了解类比推理的含义,能利用类比进行简单的推理。 教学难点:培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力。 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)复习:归纳推理的概念:根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事 物中每一个事物都具有这种属性。我们将这种推理方式称为归纳推理。 注意:利用归纳推理得出的结论不一定是正确的。 1.归纳推理的要点:由部分到整体、由个别到一般; 2.典型例子方法归纳。 (二)引入新课:据科学史上的记载,光波概念的提出者,荷兰物理学家、数学家赫 尔斯坦?惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较,发现它们具有一系列相同的性质:如直 线传播、有反射和干扰等。又已知声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态,由此, 惠更斯作出推理,光也可能有呈波动状态的属性,从而提出了光波这一科学概念。惠更斯 在这里运用的推理就是类比推理。 (三)例题探析 例 1:已知: “正三角形内一点到三边的距离之和是一个定值” ,将空间与平面进行类比, 空间中什么样的图形可以对应三角形?在对应图形中有与上述定理相应的结论吗? 解:将空间与平面类比,正三角形对应正四面体,三角形的边对应四面体的面。得到猜测: 正四面体内一点到四个面距离之和是一个定值。 例 2:根据平面几何的勾股定理,试类比地猜测出空间中相应的 结论。

解:平面中的直角三角形类比到空间就是直四面体。如图,在四面体 P-ABC 中,平面 PAB、 平面 PBC、平面 PCA 两两垂直 勾股定理:斜边长的平方等于两个直角边的平方和。 类比到空间就是:△ABC 面积的平方等于三个直角三角形面积的平方和。
2 2 2 2 即: S ? ABC ? S ?PAB ? S ?PBC ? S ?PCA

在上述各例的推理过程中,都有共同之处:由于两类不同对象具有某些类似的特征, 在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们把 这种推理过程称为类比推理。 注意:利用类比推理得出的结论不一定是正确的。归纳推理和类比推理是最常见的合 情推理。合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结 论(定义、公理、定理等) ,推测出某些结果的推理方式。 (四) 巩固练习: 练习 1 已知实数加法满足下列运算规律: (1) a ? b ? b ? a ; (2) ?a ? b? ? c ? a ? ?b ? c ? . 类比实数的加法运算律,列出实数的乘法与加法相似的运算律. 练习 2 我们已经学过了等差数列,是否想到过等和数列? (1)类比“等差数列”给出“等和数列”定义; (2)探索等和数列 ?an ? 的奇数项和偶数项有什么特点; 练习 3 若数列 ?an ? 是等差数列,且 bn ?
a1 ? a2 ? ... ? an , 则 ?bn ? 也是等差数列。类比上述性 n

质,相应地,数列 ?cn ? 是等比数列,且 cn ? 0 , dn ? ___________ ,则 ?dn ? 也是等比数列 (以上 n ? N * ) 练习 4 在 ?ABC 中,若 AC ? BC , AC ? b, BC ? a ,则 ?ABC 的外接圆半径 r ?
a 2 ? b2 ,将此 2

结论拓展到空间,可得出的正确结论是:在四面体 S ? ABC 中,若 SA、SB、SC 两两互相垂 直, SA ? a, SB ? b, SC ? c ,则四面体 S ? ABC 的外接球半径 R ? ( )

A.

a 2 ? b2 ? c2 2

B.

a 2 ? b2 ? c2 3

3

C.

a 3 ? b3 ? c 3 3

D. 3 abc

? ? 1 ? tan x ? 练习 5 类比解答(1)(2):(1)求证: tan ? x ? ? ? ; 4 ? 1 ? tan x ?

(2)设 x ? R, a 为非零常数,且 f ? x ? a ? ?
f ( x) 是周期函数吗?证明你的结论。

1 ? f ( x) , 试问: 1 ? f ( x)

(五)小结:由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据一类对象的其他 特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比推理。 注意:利用类比推理得出的结论不一定是正确的。归纳推理和类比推理是最常见的合 情推理。合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结 论(定义、公理、定理等) ,推测出某些结果的推理方式。 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归 纳、类比,然后提出猜想的推理,统称为合情推理。 (六)作业:1.课本 P57 练习:2.课本。P57 习题 3-1:4,5 五、教后反思:


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