【竞赛试题】2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷

【竞赛试题】2018 全国高中数学联赛安徽省初赛试卷 (考试时间:2018 年 6 月 30 日上午 9:00) 一、填空题(每题 8 分,共 64 分,结果须化简) 1、设三个复数 1, i, z 在复平面上对应的三点共线,且|z|=5,则 z= 2、设 n 是正整数,且满足 n5=438427732293,则 n= 3、函数 f(x) =sin(2x) + sin(3x) + sin(4x)的最小正周期= 4.设点 P,Q 分别在函数 y=2x 和 y=log2x 的图象上,则|PQ|的最小 值= 5、从 1,2,…,10 中随机抽取三个各不相同的数字,其样本方差 s2≤1 的概率= 6、在边长为 I 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 内部有一小球,该小球与正方体的对角线段 AC1 相切,则小球半径的最大值= 7、设 H 是△ABC 的垂心,且 3HA ? 4HB ? 5HC ? 0 ,则 cos∠AHB= 8、把 1,2,…,n2 按照顺时针螺旋方式排成 n 行 n 列的表格 Tn,第一行是 1,2,…,n. ?1 2 3 ? ? 例如: T3 ? ? · ? 8 9 4 ? 设 2018 在 T100 的第 i 行第 j 列,则(i,j)= ? ?7 6 5 ? ? 二、解答题(第 9-10 题每题 21 分,第 11-12 题每题 22 分,共 86 分) 9、如图所示,设 ABCD 是矩形,点 E, F 分别是线段 AD, BC 的中点,点 G 在线段 EF 上,点 D, H 关于线段 AG 的垂直平分线 L 对称.求证:∠HAB=3∠GAB. 10、 设 O 是坐标原点, 双曲线 C:上动点 M 处的切线交 C 的两条渐近线于 A,B 两点。 (1) 减 B 两点:`(1)求证:△AOB 的面积 S 是定值。 (2)求△AOB 的外心 P 的轨迹方程. 1 11、 (1)求证:对于任意实数 x,y,z 都有: x 2 ? 2 y 2 ? 3z 2 ? 3 ? xy ? yz ? zx ? . (2)是否存在实数 k> 3 ,使得对于任意实数 x.y,z 下式恒成立? x2 ? 2 y2 ? 3z 2 ? k ? xy ? yz ? zx ? ,试证明你的结论. 12.在正 2018 边形的每两个顶点之间均连一条线段,并把每条线段染成红色或蓝色. 求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数. 2 2018 全国高中数学联赛安徽省初赛试卷 考试时间:2019 年 6 月 30 日上午 9:00 1.设三个复数 1,i, z 在复平面上对应的三点共线,且 z ? 5 ,则 z ? 4-3i, ?3 ? 4i . 2.设 n 是正整数,且满足 n5 ? 438427732293 ,则 n ? 213 . 3.函数 f ? x ? ? sin 2x ? sin3x ? sin 4x 的最小正周期= 2? . 4. 设 点 P, Q 分 别 在 函 数 y ? 2x 和 y ? log2 x 的 图 象 上 , 则 PQ 的 最 小 值 = 1 ? ln ? ln 2 ? ln 2 2. 1 . 15 6、在边长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 内部有一小球,该小球与正方体的对角线段 5、从 1, 2, ???,10 中随机抽取三个各不相同的数字,其样本方差 s 2 ? 1 的概率= 4? 6 . 5 AC1 相切,则小球半径的最大值= 6 . 6 8、把 1, 2, ???, n2 按照顺时针螺旋方式排成 n 行 n 列的表格 Tn ,第一行是 1, 2, ???, n .例如: 7、设 H 是 ?ABC 的垂心,且 3HA ? 4HB ? 5HC ? 0 ,则 cos ?AHB ? ? ?1 2 3 ? ? T3 ? ? ? 8 9 4 ? 设 2018 在 T100 的第 i 行第 j 列,则 ? i, j ? ? ?34,95? . ? ?7 6 5 ? ? 9、如图所示,设 ABCD 是矩形,点 E , F 分别是线段 AD, BC 的中点,点 G 在线段 EF 上,点 D, H 关于线段 AG 的垂直平分线 L 对称.求证: ?HAB ? 3?GAB . 3 10、设 O 是坐标原点,双曲线 C : x2 y 2 ? ? 1 上动点 M 处的切线交 C 的两条渐近线于 a 2 b2 A, B 两点. (1)求证: ?ABC 的面积 S 是定值; (2)求 ?AOB 的外心 P 的轨迹方程. 11.(1)求证:对于任意实数 x, y, z 都有: x2 ? 2 y 2 ? 3z 2 ? 3 ? xy ? yz ? zx ? .. (2)是否存在实数 k ? 3 ,使得对于任意实数 x, y, z 下式恒成立? x2 ? 2 y2 ? 3z 2 ? k ? xy ? yz ? zx ? 试证明你的结论. 4 标答: 12.在正 2018 边形的每两个顶点之间均连一条线段,并把每条线段染成红色或蓝色. 求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数. 5

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