2015年普通高等学校招生全国统一考试文数(新课标2卷)(word版)_图文

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标 2 卷)文
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分
1.已知集合 A ? ?x | ?1? x ? 2? , B ? ?x | 0 ? x ? 3? ,则 A B ? A. ??1,3? B. ??1,0? C. ?0, 2? D. ?2,3?
【答案】A
考点:集合运算.
2.若为 a 实数,且 2 ? ai ? 3 ? i ,则 a ? 1? i
A. ?4 B. ?3 C. 3 D. 4
【答案】D 【解析】
试题分析:由 2 ? ai ? ?1? i??3? i? ? 2 ? 4i ? a ? 4 ,故选 D.
考点:复数运算. 3.根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量(单位:万吨)柱形图,以下 结论中不正确的是
A.逐年比较,2008 年减少二氧化碳排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 【答案】 D 【解析】 试题分析:2006 年以来,我国二氧化碳排放量与年份负相关,故选 D

考点:柱形图
4.已知 a ? ?0, ?1? , b ? ??1, 2? ,则 (2a ? b) a ?
A. ?1 B. 0 C.1 D. 2
【答案】B

考点:向量数量积

5.设 Sn 是等差数列{an} 的前 n 项和,若 a1 ? a3 ? a5 ? 3 ,则 S5 ? A. 5 B. 7 C. 9 D.11
【答案】A 【解析】

试题解析:

a1

?

a3

?

a5

?

3a3

?

3

?

a3

?1,

S5

?

5?a1 ?
2

a5

?

?

5a3

?

5.

考点:等差数列

6.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图, 则截去部分体积与剩余部分体积的比值为

A. 1 B. 1 C. 1 D. 1

8

7

6

5

【答案 】C

【解析】
试题分析:截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的 1 6
考点:三视图

7.已知三点 A(1, 0), B(0, 3), C(2, 3) ,则 ?ABC 外接圆的圆心到原点的距离为

A. 5

B. 21

C. 2 5

D. 4

3

3

3

3

【答案】B

考点:直线与圆的方程
8.右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执
行该程序框图,若输入的 a, b 分别为 14,18,则输出的 a 为( ) A.0 B.2 C.4 D. 1 4
【答案】B

【解析】 [来源:学科网]

试题分析:输出的 a 是 18,14 的最大公约数 2

考点:1. 更相减损术;2.程序框图.

9.已知等比数列{an} 满足 a1

?

1 4

, a3a5

?

4?a4

?1?

,则 a2

?

A.2 B.1 C. 1 D. 1

2

8

【答案】C[来源:学科网]

【解析】

试题分析: a42

? 4?a4

?1? ? a4

? 2 ,所以 q3

?

a4 a1

?8?

q

?

2

,故

a2

?

a1q

?

1 2

考点:等比数列

10.已知 A, B 是球 O 的球面上两点, ?AOB ? 90? , C 为该球面上的动点。若三棱锥
O ? ABC体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为 A、 36? B、 64? C、144? D、 256?
【答案】C

考点:球与几何体的切接.
11.如图,长方形的边,,是的中点,点沿着边,与运动,记,将动点到两点距离之和表示 为的函数,则的图像大致为

A. 【答案】B

B.

C.

D.

考点:函数图像

12.设函数 f (x) ? ln(1? | x |) ? 1 ,则使得 f (x) ? f (2x ?1) 成立的 x 的取值范围是 1? x2

A.

? ??

1 3

,1???

B.

? ??

??,

1 3

? ??

?1, ???

C.

? ??

?

1 3

,

1 3

? ??

D.

? ??

??,

?

1 3

? ??

? ??

1 3

,

??

? ??

【答案】A 【解析】

试题分析: f ? x? 是 偶函数,且在?0, ??? 是 增函数,所以

f ? x? ? f ?2x ?1? ? f ? x ? ? f ? 2x ?1 ? ? x ? 2x ?1 ? 1 ? x ? 1 .
3
考点:函数性质

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分

13.已知函数 f ? x? ? ax3 ? 2x 的图像过点(-1,4),则 a=



【答案】-2 【解析】

试题分析:由 f ??1? ? ?a ? 2 ? 4 ? a ? ?2 .

考点:函数解析式

? x? y?5?0

14.若 x,y 满足约束条件 ??2x ? y ?1 ? 0 ,则 z=2x+y 的最大值为



??x ? 2 y ?1 ? 0

【答案】8

考点:线性规划

? ? 15. 已 知 双 曲 线 过 点 4, 3 , 且 渐 近 线 方 程 为 y ? ? 1 x , 则 该 双 曲 线 的 标 准 方 程 2





【答案】 x2 ? y2 ? 1 4

【解析】

试题分析:根据双曲线渐近线方程为 y ? ? 1 x ,可设双曲线的方程为 x2 ? y2 ? m ,把

2

4

? ? 4, 3 代入得 m ?1.

考点:双曲线几何性质

16. 已 知 曲 线 y ? x ? ln x 在 点 ?1, 1? 处 的 切 线 与 曲 线 y ? ax2 ? ?a ? 2? x ?1 相 切 , 则

a=



【答案】2

【解析】

试题分析:曲线 y ? x ? ln x 在点 ?1,1? 处的切线斜率为 2,故切线方程为 y ? 2x ?1 ,与

y ? ax2 ? ?a ? 2? x ?1 联 立 得 ax2 ? ax ? 2 ? 0 , 显 然 a ? 0 , 所 以 由

? ? 4a2 ? 8a ? 0 ? a ? 2
考点:导数的几何意义. 三、解答题
17(本小题满分 12 分)△ABC 中 D 是 BC 上的点,AD 平分 ? PAC,BD=2DC. (I)求 sin ?B ;
sin ?C

(II)若 ?BAC ? 60 ,求 ?B .
18. (本小题满分 12 分)某公司为了了解用户对其产品的满意度,从 A ,B 两地区分别随机调查了 40 个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到 A 地区用户满 意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频率分布表.
(I)在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意 度评分的平均值及分散程度,(不要求计算出具体值,给出结论即可)
(II)根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级:

估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.
19. (本小题满分 12 分)如图,长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中 AB=16,BC=10, AA1 ? 8 ,点 E,F 分
别在 A1B1, D1C1 上, A1E ? D1F ? 4.过点 E,F 的平面? 与此长方体的面相交,交线围成一个正
方形.

(I)在图中画出这个正方形(不必说明画法与理由);
(II)求平面? 把该长方体分成的两部分体积的比值.

? ? 20.

(本小题满分 12

分)已知椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1?a

?b

?

0?

的离心率为

2 ,点 2

2,

2

在 C 上. (I)求 C 的方程; (II)直线 l 不经过原点 O,且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 中点为 M,证明: 直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率乘积为定值.

21. (本小题满分 12 分)已知 f ? x? ? ln x ? a?1? x?.

(I)讨论 f ? x? 的单调性;

(II)当 f ? x? 有最大值,且最大值为 2a ? 2 时,求 a 的取值范围.
请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题
号 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图 O 是等腰三角形 ABC 内一点,圆 O 与△ABC 的底边 BC 交于 M,N 两点,与底边上的高交于 点 G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点.

(I)证明 EF BC ;

(II)若 AG 等于圆 O 半径,且 AE ? MN ? 2 3 ,求四边形 EDCF 的面积.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系

xOy

中,曲线

C1

:

?x

? ?

y

? ?

t t

cos?, sin ? ,

(t 为参数,且 t ? 0

),其中 0 ? ? ? ? ,在以 O

为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 2sin?,C3 : ? ? 2 3 cos?.

(I)求 C2 与 C3 交点的直角坐标;

(II)若 C1 与 C2 相交于点 A, C1 与 C3 相交于点 B,求 AB 最大值.
24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式证明选讲

设 a,b,c, d 均为正数,且 a ? b ? c ? d .证明:

(I)若 ab ? cd ,则 a ? b ? c ? d ; (II) a ? b ? c ? d 是 a ? b ? c ? d 的充要条件.


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