高中数学第一章集合与函数概念1.1集合1.1.1集合的含义与表示第2课时集合的表示课件新人教A版必修1_图文

第一章

集合与函数概念

第2课时 集合的表示

学习目标:1.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法,感受集合语 言的意义和作用.(重点)2.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合.(重点、 难点)

[自 主 预 习· 探 新 知]
1.列举法

花括号“ {}” ”括起来表示集合的方法叫做列 一一列举出来, 把集合的元素一一列举 并用花括号“ {}
举法. 2.描述法

共同特征 表示集合的方法称为描述法.一般形式为 A = 用集合所含元素的 共同特征
{x∈I|p},其中 x 叫做代表元素,I 是代表元素 x 的取值范围,p 是各元素的共 同特征.

思考:(1)不等式 x-2<3 的解集中的元素有什么共同特征? (2)如何用描述法表示不等式 x-2<3 的解集? [提示] (1)元素的共同特征为 x∈R,且 x<5.

(2){x|x<5,x∈R}.

[基础自测] 1.思考辨析 (1)由 1,1,2,3 组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}.( (2)集合{(1,2)}中的元素是 1 和 2.( ) ) (3)集合 A={x|x-1=0}与集合 B={1}表示同一个集合.( )

[答案] (1)× (2)× (3)√

2.方程 x2=4 的解集用列举法表示为( A.{(-2,2)} C.{-2} D.{2}

)

B.{-2,2}

B [由 x2=4 得 x=± 2,故用列举法可表示为{-2,2}.]

3.用描述法表示函数 y=3x+1 图象上的所有点的是( A.{x|y=3x+1} C.{(x,y)|y=3x+1} B.{y|y=3x+1} D.{y=3x+1}

) 【导学号:37102022】

C [该集合是点集,故可表示为{(x,y)|y=3x+1},选 C.] 4.不等式 4x-5<7 的解集为________. {x|4x-5<7} [用描述法可表示为{x|4x-5<7}.]

[合 作 探 究· 攻 重 难]
用列举法表示集合
用列举法表示下列给定的集合: (1)不大于 10 的非负偶数组成的集合 A. (2)小于 8 的质数组成的集合 B. (3)方程 2x2-x-3=0 的实数根组成的集合 C. (4)一次函数 y=x+3 与 y=-2x+6 的图象的交点组成的集合 D.

[解]

(1)不大于 10 的非负偶数有 0,2,4,6,8,10,所以 A={0,2,4,6,8,10}.

(2)小于 8 的质数有 2,3,5,7, 所以 B={2,3,5,7}.
? 3? 3 ? ? ? (3)方程 2x -x-3=0 的实数根为-1, .所以 C=?-1,2? . ? 2 ? ?
2

? ?y=x+3, (4)由? ? ?y=-2x+6,

? ?x=1, 得? ? ?y=4.

所以一次函数 y=x+3 与 y=-2x+6 的交点为(1,4), 所以 D={(1,4)}.

[规律方法] 用列举法表示集合的?个步骤? ???求出集合的元素?? ???把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次?? ???用花括号括起来?? 提醒:二元方程组的解集,函数的图象点形成的集合都是点的集合,一定要写 成实数对的形式,元素与元素之间用“,”隔开.如{?2,3?,?5,-1?}.

[跟踪训练] 1.用列举法表示下列集合:
? ?x+y=2, (1)方程组? ? ?x-y=0

的解集;

(2)A={(x,y)|x+y=3,x∈N,y∈N}. 【导学号:37102023】

[解]

? ?x+y=2, (1)由? ? ?x-y=0,

? ?x=1, 解得? ? ?y=1,

故该方程组的解集为{(1,1)}. (2)因为 x∈N,y∈N,x+y=3,
? ?x=0, 所以? ? ?y=3 ? ?x=1, 或? ? ?y=2 ? ?x=2, 或? ? ?y=1 ? ?x=3, 或? ? ?y=0.

故 A={(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)}.

用描述法表示集合
用描述法表示下列集合: (1)比 1 大又比 10 小的实数的集合; (2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合; (3)被 3 除余数等于 1 的正整数组成的集合.

[解]

(1){x∈R|1<x<10}.

(2)集合的代表元素是点,用描述法可表示为{(x,y)|x<0,且 y>0}. (3){x|x=3n+1,n∈N}.

[规律方法] 描述法表示集合的?个步骤?

[跟踪训练] 2.用描述法表示下列集合:

(1)函数 y=-2x2+x 图象上的所有点组成的集合; (2)不等式 2x-3<5 的解组成的集合; (3)如图 111 中阴影部分的点(含边界)的集合; (4)3 和 4 的所有正的公倍数构成的集合.
图 111

【导学号:37102024】

[解]

(1)函数 y=-2x2+x 的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x,y)|y=-

2x2+x}. (2)不等式 2x-3<5 的解组成的集合可表示为{x|2x-3<5},即{x|x<4}. 3 1 (3)图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为{(x,y)|-1≤x≤ ,- ≤y≤1, 2 2 xy≥0}. (4)3 和 4 的最小公倍数是 12,因此 3 和 4 的所有正的公倍数构成的集合是{x|x =12n,n∈N*}.

集合表示方法的综合应用
[探究问题] 1.下面三个集合: ①{x|y=x2+1};②{y|y=x2+1};③{(x,y)|y=x2+1}. (1)它们各自的含义是什么? (2)它们是不是相同的集合?

提示:(1)集合①{x|y=x2+1}的代表元素是 x,满足条件 y=x2+1 中的 x∈R, 所以实质上{x|y=x2+1}=R; 集合②的代表元素是 y,满足条件 y=x2+1 的 y 的取值范围是 y≥1,所以实质 上{y|y=x2+1}={y|y≥1}; 集合③{(x,y)|y=x2+1}的代表元素是(x,y),可以认为是满足 y=x2+1 的数对 (x,y)的集合,也可以认为是坐标平面内的点(x,y)构成的集合,且这些点的坐 标满足 y=x2+1,所以{(x,y)|y=x2+1}={P|P 是抛物线 y=x2+1 上的点}. (2)由(1)中三个集合各自的含义知,它们是不同的集合.

2.设集合 A={x|ax2+x+1=0}. (1)构成集合 A 的元素是什么? (2)方程 ax2+x+1=0 是关于 x 的一元二次方程吗,为什么? 提示:(1)构成集合 A 的元素是方程 ax2+x+1=0 的根. (2)不一定.当 a=0 时,方程是关于 x 的一元一次方程;当 a≠0 时,方程是关 于 x 的一元二次方程.

集合 A={x|kx2-8x+16=0},若集合 A 中只有一个元素,求实数 k 的 值组成的集合. 思路探究: A中只有一个元素 等价转化 ――→ 方程kx2-8x+16=0只有一解 分类讨论 ――→ 求实数k的值

[解]

(1)当 k=0 时,方程 kx2-8x+16=0 变为-8x+16=0,解得 x=2,满足

题意; (2)当 k≠0 时,要使集合 A={x|kx2-8x+16=0}中只有一个元素,则方程 kx2 -8x+16=0 只有一个实数根,所以 Δ=64-64k=0,解得 k=1,此时集合 A ={4},满足题意. 综上所述,k=0 或 k=1,故实数 k 的值组成的集合为{0,1}.

母题探究: 1.(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”其他 条件不变,求实数 k 的值组成的集合.
2 2 解]] 由题意可知,方程 由题意可知,方程 kx kx -8 8x x + 16 = 0 有两个不等实根. 有两个不等实根. [[解 - + 16 = 0

故 故Δ Δ= =64 64- -64 64k k>0 >0,即 ,即 k k<1. <1.

所以实数 k k 组成的集合为 组成的集合为{ {k k|k |k<1} <1} . 所以实数 .

2.(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”,其他条 件不变,求实数 k 的取值范围.
2 [解] 由题意可知,方程 kx2-8x+16=0 至少有一个实数根.

①当 k=0 时,由-8x+16=0 得 x=2,合题意;
2 ②当 k≠0 时, 要使方程 kx2-8x+16=0 至少有一个实数根, 则 Δ=64-64k≤0,

即 k≥1.
综合①②可知,实数 k 的取值集合为{k|k=0 或 k≥1}.

[规律方法] 1.若已知集合是用描述法给出的, 读懂集合的代表元素及其属性是 解题的关键,如例 3 中集合 A 中的元素就是所给方程的根,由此便把集合的元 素个数问题转化为方程的根的个数问题. 2.在学习过程中要注意数学素养的培养,如本例中用到了等价转化思想和分类 讨论的思想.

[当 堂 达 标· 固 双 基]
1.不等式 x-3<2 且 x∈N*的解集用列举法可表示为( A.{0,1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5} B.{1,2,3,4} D.{1,2,3,4,5} ) 【导学号:37102025】

B [由 x-3<2 可知 x<5,又 x∈N*,故 x 可以为 1,2,3,4,故选 B.]

2.若集合 A={(1,2),(3,4)},则集合 A 中元素的个数是( A.1 C.3 B.2 D.4

)

B [集合 A 中有两个元素:(1,2),(3,4).] 3.如果 A={x|x>-1},那么( )
【导学号:37102026】 A.-2∈A C.-3∈A B.{0}∈A D.0∈A

D [∵0>-1,故 0∈A,选 D.]

4. 设集合 A={x|x2-3x+a=0}, 若 4∈A, 则集合 A 用列举法表示为________.

{-1,4} [∵4∈A,∴16-12+a=0,∴a=-4, ∴A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}.]

5.用适当的方法表示下列集合:
? ?2x-3y=14, (1)方程组? ? ?3x+2y=8

的解集;

(2)所有的正方形; (3)抛物线 y=x2 上的所有点组成的集合. 【导学号:37102027】

[解]

? ?2x-3y=14, (1)解方程组? ? ?3x+2y=8,

? ?x=4, 得? ? ?y=-2,

故解集为{(4,-2)}. (2)集合用描述法表示为{x|x 是正方形},简写为{正方形}. (3)集合用描述法表示为{(x,y)|y=x2}.

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