广东省揭阳市第三中学高中数学选修2-2:1.5.3定积分的概念

揭阳第三中学教案表
课题 1.5.3 定积分的概念
知识与技能目标 通过求 曲边梯形的面积和变速直线运动的路程,了解定积分的背景; 能用定积分 的定义求简单的定积分;

课型

新授课

教学 目标

理解掌握定积分的几何意义; 过程与方法 借助于几何直观定积分的基本思想,理解定积分的概念; 情感态度与价值观 通过求曲边梯形的面积,进一步感受极限的思想,类比汽车行驶的路程。

重点 难点 教具

教学重点:定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义。 教学难点:定 积 分 的 概 念 、 定积分的几何意义。

课时
多媒体

[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

1

准备 教学过程与教学内容
教 学过程: 1.创设情景 复习:

安排 教学方法、教学手 段与学法、学情

1. 回忆前面曲边图形面积,变速运动的路程,变力做功等问题的解决方法,解决步 骤:分割→以直代曲→求和→取极限(逼近 2.对这四个步骤再以分析、理解、归纳,找出共同点. 2.新课讲授 (1) .定积分的概念 一般地,设函数 f ( x ) 在区间 [ a, b] 上连续,用分点

[来源:Z.xx.k.Com]

a ? x0 ? x1 ? x2 ?

? xi ?1 ? xi ?

? xn ? b
b?a ) ,在每个小区 n

将区间 [ a, b] 等分成 n 个小区间,每个小区间长度为 ?x ( ?x ?

间 ? xi ?1 , xi ? 上取一点 ?i ?i ? 1,2,

, n? ,作和式: Sn ? ? f (?i )?x ? ?
i ?1

n

b?a f (?i ) n i ?1
n

如果 ?x 无限接近于 0 (亦即 n ??? )时,上述和式 Sn 无限趋近于常数 S ,那么称该 常数 S 为函数 f ( x ) 在区间 [ a, b] 上的定积分。记为: S ?

?

b

a

f ( x)dx

其中 f ( x ) 成为被积函数, x 叫做积分变量, [ a, b] 为积分区间, b 积分上限, a 积分下 限。 说明: (1)定积分 称为

?

b

a

f ( x)dx 是一个常数,即 Sn 无限趋近的常数 S ( n ??? 时)

?

b

a

f ( x)dx ,而不是 Sn .

(2)用定义求定积分的一 般方法是: ①分割: n 等分区间 ?a , b? ; ②近似代替:取点 ?i ?? xi ?1 , xi ? ; ③求和:

?
i ?1

n

b?a f (?i ) ; n
b

④ 取极限:

?

a

f ( x)dx ? lim ? f ??i ?
n ?? i ?1

n

b?a n
t2 t1

(3)曲边图形面积: S ? 变力做功 W ?

?

b

a

f ? x ?dx ;变速运动路程 S ? ? v(t )dt ;

?

b

a

F (r )dr

(2) .定积分 的几何意义 如果在区间 [ a , b] 上函数连续且恒有 f ( x) ? 0 , 那么定积 分

?

b

a

, y ? 0 和曲线 f ( x)dx 表示由直线 x ? a , x ? b( a ? b )

y ? f ( x) 所围成的曲边梯形的面积。
说明:一般情况下,定积分

?

b

a

f ( x)dx 的几何意义是介于 x 轴、函数 f ( x) 的图形以

及直线 x ? a , x ? b 之间各部分面积的代数和,在 x 轴上方的面积取正号,在 x 轴下方的 面积去负号. 分析:一般的,设被积函数 y ? f ( x) ,若 y ? f ( x) 在 [ a, b] 上可取负值。

考察和式 f ? x1 ? ?x ? f ? x2 ? ?x ? 不妨设 f ( xi ), f ( xi ?1 ), 于是和式即为

? f (xi )?x ?

? f ? xn ? ?x

, f ( xn ) ? 0

f ? x1 ? ?x ? f ? x2 ? ?x ?
b a

? f (xi?1 )?x ?{[? f (xi )?x] ?

? [? f ? xn ? ?x]}

? ? f ( x)dx ? 阴影 A 的面积—阴影 B 的面积(即 x 轴上方面积减 x 轴下方的面积)
(3) .定积分的性质 根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质: 性质 1 性质 2 质) 性质 3

? 1dx ? b ? a
a

b

? kf ( x)dx ? k ?
a

b

b

a

f ( x)dx (其中 k 是不为 0 的常数 ) (定积分的线性性

?

b

a

[ f1 ( x) ? f 2 ( x)]dx ? ? f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx
a a

b

b

(定积分的线性性

质)性质 4

? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx
a a c

b

c

b

(其中a ? c ? b)

(定积分对积分区间的可加性) 性质 5 若 f ( x) ? 0, x ? ?a, b?,则 推论 1: f ( x) ? g ( x) , 推论 2:

?

b

a

f ( x)dx ? 0
b

?

b

a

f ( x)dx ?? g ( x)dx
a

?a ? b?

?

b

a

f ( x) dx ? ? g ( x)dx
a

b

?a ? b?

性质 6 设 M , m 为 f ( x) 在 ?a, b? 上的最大值、最小值,则

m(b ? a) ? ? f ( x)dx ? M (b ? a)
a

b

性 质 7 ( 中 值 定 理 ) 若 f ( x) ? ?a, b? , 则 至 少 有 一

? ? ?a, b? , 使

?

b

a

f ( x)dx ? f (? )(b ? a) .
证:由性质 6 知, m ? 使

1 b f ( x)dx ? M ,依介值定理,必有 ? ? ?a, b? , b ? a ?a
[来源:学科网]

b 1 b f ( x)dx ? f (? ) ,即 ? f ( x)dx ? f (? )(b ? a) 。 ? a b?a a

说明:

①推广: [ f1 ( x) ? f 2 ( x) ?
a

?
a

b

? f m ( x)]dx ? ? f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx ?
a a

b

b

? ? f m ( x)
a

b

②推广:

?

b

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ?
a c1

c1

c2

? ? f ( x)dx
ck

b

③性质解释:
y

性质 4 性质 1
y=1 M O a P y A C

B

O

a

b

x

N b x

S曲边梯形AMNB ? S曲边梯形AMPC ? S曲边梯形CPNB

例 1.计算定积分

?

2

1

( x ? 1)dx
5 。 2
y

分析:所求定积分即为如图阴影部分面积,面积为 即:

?

2

1

( x ? 1)dx ?

5 2

思考: 若改为计算定积分 呢?

?

2

?2

( x ? 1)dx

改变了积分上、 下限, 被积函数在 [?2, 2] 上 出现了负值如何解决呢?(后面解决的问 题) 练习 计算下列定积分 1.

o

1

2

x

? ?

5

0

(2 x ? 4)dx
5 0

解: 2.

?
1

(2 x ? 4)dx ? 9 ? 4 ? 5
x dx
1 1 x dx ? ? 1? 1 ? ?1?1 ? 1 2 2

?1

解:

?

1

?1

例 2.计算由两条抛物线 y 2 ? x 和 y ? x2 所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形 的面积,可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的 面积的差得到。 解: ?

? ?y ? x ? ?y ? x
2

? x ? 0及x ? 1 ,所以两曲线的交点为

(0,0) 、 (1,1) ,面积 S= ?

?

1

0
3

xdx ? ? x 2 dx ,所以
0
1

1

y ? x

1 ?2 3 x ? 1 S = ? ( x - x2 )dx ? ? x 2 ? ? =3 0 3 ?0 ?3

【点评】在直角坐标系下平面图形的 面积的四个步骤: 1. 作图象;2.求交点;3.用定积分表示所求的面积;4.微积 分基本定理求定积分。 巩固练习
[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

C y? x O D A
2

B

计算由曲线 y ? x3 ? 6x 和 y ? x2 所围成的图形的面积.

3.课堂小结
定 积 分 的 概 念 、 定 义 法 求 简 单 的 定 积 分 、 定积分的几何意义


[来源:Zxxk.Com]



教学 反思


相关文档

广东省揭阳市第三中学高中数学选修2-2:1-5-3定积分的概念 课件
第三中学高中数学选修2-2:1.5.3定积分的概念课件
第三中学高中数学选修2-2教案人教A版1.5.3定积分的概念教案
广东省揭阳市第三中学高中数学选修2-1:2-3双曲线定义与标准方程(1)
山东省泰安市肥城市第三中学高中数学 1.5.3 定积分的概念学案 新人教A版选修2-3
广东省揭阳市第三中学人教A版高中数学选修2-2:1-1-2 导数的概念 教案 精品
广东省揭阳市第三中学人教A版高中数学选修2-2:1-1-3导数的几何意义 课件
广东省揭阳市第三中学高中数学选修2-1:2-3-2双曲线的几何性质(1)
广东省揭阳市第三中学高中数学选修2-1:2-3-2双曲线的几何性质(2)
广东省揭阳市第三中学高中数学选修2-1教案:2-2课题椭圆的第二定义1 精品
电脑版