2017-2018学年天津市河西区高三(上)期末数学试卷(理科)
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2017-2018 学年天津市河西区高三（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． （5 分）已知集合 A={x|3x2﹣4x+1≤0}，B={x|y= A．[ ，+∞） B．[ ，1] C．[ ，1] D．[0，1] 2． （5 分）下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是（ A．y=﹣2x+1 B．y=x3 C．y=lgx D．y= 为纯虚数”的（ ） ） }，则 A∩B=（ ）
3． （5 分）设 a∈R，i 是虚数单位，则“a=1”是“ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4． （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 的值为（
）
A．2
B．﹣3 C．
D． ）
5． （5 分）已知 a＞b＞0，则下列命题成立的是（ A．sina＞sinb B．log2a＜log2b C．a
D． （ ）a＜（ ）b
6． （5 分）已知双曲线 C：
（a＞0，b＞0）与抛物线 y2=4
的准线相
交于 A、B 两点，双曲线的一条渐近线方程为 y=
，点 F 是抛物线的焦点，且
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△FAB 是正三角形，则双曲线 C 的方程为（ A． B．x2 C．
） D． ， =（ ，BC=2，点 E 为 AB 的 ）
7． （5 分）如图所示，在梯形 ABCD 中，∠B= 中点，若向量 在向量 上的投影为 ，则
A．﹣2 B．
C．0
D． ，若关于 x 的方程 ） D． 恰有
8． （5 分）已知函数
四个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是（ A． B． C．
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9． （5 分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200， 400，300，100 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品 中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 10． （5 分）已知 x，y 满足约束条件 ，则 z= 件．
的最大值是
．
11． （5 分）若正四棱锥 P﹣ABCD 内接于球 O，且底面 ABCD 过球心 O，设正四 棱锥 P﹣ABCD 的高为 1，则该正四棱锥的体积为 12． （5 分）已知 x＞1，且 x﹣y=1，则 的最小值是 ． ．
13． （5 分）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，设 S 为△ABC 的 面积，S= （a2+b2﹣c2） ，则角 C= ．
14． （5 分）若函数 f（x）=alnx﹣x 在区间（1，2）上单调递增，则实数 a 的取值
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范围是
．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤. 15． （13 分）已知函数 f（x）=Asin（ωx+φ） （A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0，x∈R） 的部分图象如图所示． （Ⅰ）求函数 f（x）的解析式； （Ⅱ）求函数 f（x）在区间[﹣2π，0]上的最大值和最小值．
16． （13 分）甲、乙两人按如下规则进行射击比赛，双方对同一目标轮流射击， 若一方未击中，另一方可继续射击，甲先射，直到有人命中目标或两人总射击次 数达 4 次为止．若甲击中目标的概率为 ，乙击中目标的概率为 ． （Ⅰ）求甲在他第二次射击时击中目标的概率； （Ⅱ）求比赛停止时，甲、乙两人射击总次数 X 的分布列和期望． 17． （13 分）如图，在空间几何体 ABCDPQ 中，底面 ABCD 是直角梯形，AB⊥AD， AD∥BC，四边形 APQD 为矩形，且平面 APQD⊥平面 ABCD，PA=AB=BC=2，AD=4， 点 M 为 AB 中点． （Ⅰ）求证：AC⊥平面 CDQ； （Ⅱ）求直线 QC 与平面 PCD 所成角的正弦值； （Ⅲ）已知点 H 在线段 PA 上，使得 MH∥平面 PCD，求 的值．
18． （13 分）已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn=
+
．
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（1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足 bn=an+2﹣an+ Tn＜2n+ ． + =1（a＞b＞0）过点（2，0） ，且椭圆 C 的离心 ，且数列{bn}的前 n 项和为 Tn，求证：
19． （14 分）已知椭圆 C： 率为 ． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）若动点 P 在直线 x=﹣1 上，过 P 作直线交椭圆 C 于 M，N 两点，且 P 为线 段 MN 中点，再过 P：作直线 l⊥MN．求直线 l 是否恒过定点，如果是则求出该 定点的坐标，不是请说明理由． 20． （14 分）已知函数 f（x）=x3﹣ax2+10． （Ⅰ）若 a=1 时，求函数 y=f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）在区间[1，2]内至少存在一个实数 x，使得 f（x）＜0 成立，求实数 a 的 取值范围．
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2017-2018 学年天津市河西区高三 （上） 期末数学试卷 （理 科）
参考答案与试题解析
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． （5 分）已知集合 A={x|3x2﹣4x+1≤0}，B={x|y= A．[ ，+∞） B．[ ，1] C．[ ，1] D．[0，1] 【解答】解：∵集合 A={x|3x2﹣4x+1≤0}={x| B={x|y= ∴A∩B={x| 故选：B． }={x|x≥ }， }=[ ]． }， }，则 A∩B=（ ）
2． （5 分）下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是（ A．y=﹣2x+1 B．y=x3 C．y=lgx D．y=
）
【解答】解：函数 y=﹣2x+1，则 y′=﹣2，在定义域上单调递减； 数 y=x3，则 y′=3x2≥0 恒成立，在定义域上单调递增； 函数 y=lgx，则 y′= 函数 y= ，则 y′=﹣ 域上不是单调函数； 故选：D． ＞0 恒成立，在定义域上单调递增； ，在（﹣∞，0）和（0，+∞）上均为减函数，但在定义
3． （5 分）设 a∈R，i 是虚数单位，则“a=1”是“ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
为纯虚数”的（
）
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【解答】解：∵ ∴“
=
，
为纯虚数”?“a=±1”， 为纯虚数”的充分不必要条件，
故“a=1”是“ 故选：A．
4． （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 的值为（
）
A．2
B．﹣3 C．
D．
【解答】解：模拟程序的运行，可得 k=1，S=2 满足条件 k≤2018，执行循环体，S=﹣3，k=2 满足条件 k≤2018，执行循环体，S=﹣ ，k=3 满足条件 k≤2018，执行循环体，S= ，k=4 满足条件 k≤2018，执行循环体，S=2，k=5 … 观察规律可知，S 的取值周期为 4，由于 2018=504×4+2，可得： 满足条件 k≤2018，执行循环体，S=﹣3，k=2018 满足条件 k≤2018，执行循环体，S=﹣ ，k=2019
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此时，不满足条件 k≤2018，退出循环，输出 S 的值为﹣ ． 故选：C．
5． （5 分）已知 a＞b＞0，则下列命题成立的是（ A．sina＞sinb B．log2a＜log2b C．a
）
D． （ ）a＜（ ）b
【解答】解：由 a＞b＞0， y=sinx 在（0，+∞）不具单调性，则 sina＞sinb 错误； y=log2x 在（0，+∞）单调递增，则 log2a＞log2b，B 错误； 由于 y=x 在（0，+∞）单调递增，可得 a ＞b ，则 C 错误；
由于 y=（ ）x 在（0，+∞）单调递减，可得（ ）a＜（ ）b，则 D 正确． 故选：D．
6． （5 分）已知双曲线 C：
（a＞0，b＞0）与抛物线 y2=4
的准线相
交于 A、B 两点，双曲线的一条渐近线方程为 y= △FAB 是正三角形，则双曲线 C 的方程为（ A． B．x2 C． x 的焦点为 F（ ） D．
，点 F 是抛物线的焦点，且
【解答】解：抛物线 y2=4 ∵△FAB 为正三角形， ∴|AB|=4， 将（﹣ ，2）代入双曲线
，0） ，其准线方程为 x=﹣
，
可得 x，∴ ，
，
∵双曲线的一条渐近线方程是 y= ∴a=1，b= ， ．
∴双曲线 C2 的方程为 x2
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故选：B．
7． （5 分）如图所示，在梯形 ABCD 中，∠B= 中点，若向量 在向量 上的投影为 ，则
， =（
，BC=2，点 E 为 AB 的 ）
A．﹣2 B．
C．0
D．
【解答】解：以 B 为原点，BC 为 x 轴，AB 为 y 轴建系如图，
∵
，BC=2，∴
，B（0，0） ，C（2，0） ，D 的纵坐标为 ，若向量 在向量 上的投影为
， ，设向量
∵点 E 为 AB 的中点，∴ 与向量 的夹角为 θ，所以
，过 D 作 DF⊥BC，垂足为 F，在 ，所以 ，所以 ，所以 ． ，所以
Rt △ DFC 中 ， ， 故选：A．
8． （5 分）已知函数
，若关于 x 的方程 ）
恰有
四个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是（
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.
A．
B．
C．
D． ，若关于 x 的方程 恰有
【解答】解：∵函数 四个不相等的实数根， ∴f（x）的图象和直线 y=kx﹣ 有 4 个交点．
做出函数 f（x）的图象，如图，故点（1，0）在直线 y=kx﹣ 的下方， ∴k?1﹣ ＞0，解得 k＞ ． 再根据当直线 y=kx﹣ 和 y=lnx 相切时，设切点横坐标为 m，
则 k=
= ，∴m=
，此时，k= =
，f（x）的图象和直线 y=kx﹣ 有 3
个交点，不满足条件， 故要求的 k 的范围是（ ， 故选：D． ） ，
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9． （5 分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200， 400，300，100 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品 中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 18 件．
【解答】解：产品总数为 200+400+300+100=1000 件，而抽取 60 件进行检验， 抽样比例为 = ，
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则应从丙种型号的产品中抽取 300× 故答案为：18
=18 件，
10． （5 分）已知 x，y 满足约束条件
，则 z=
的最大值是
．
【解答】解：画出 x，y 满足约束条件
的平面区域，
如图示： 由 z= ，解得：A（3，4） ， 的几何意义是可行域内的点与（0，﹣1）连线的斜率的一半，由题意可知
可行域的 A 与（0，﹣1）连线的斜率最大． ∴z= 的最大值是： ，
故答案为： ．
11． （5 分）若正四棱锥 P﹣ABCD 内接于球 O，且底面 ABCD 过球心 O，设正四 棱锥 P﹣ABCD 的高为 1，则该正四棱锥的体积为 ．
【解答】解：∵正四棱锥 P﹣ABCD 内接于球 O，且底面 ABCD 过球心 O， 正四棱锥 P﹣ABCD 的高为 1， ∴PO=AO=CO=1，
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设正方形 ABCD 的边长为 a，则 2a2=4，解得 a= ∴该正四棱锥的体积： V= 故答案为： ． = = ．
，
12． （5 分）已知 x＞1，且 x﹣y=1，则
的最小值是
3
．
【解答】解：根据题意，若 x﹣y=1，则 y=x﹣1， 则 即 =x+ =（x﹣1）+ +1≥2 +1=3，
的最小值是 3；
故答案为：3．
13． （5 分）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，设 S 为△ABC 的 面积，S= （a2+b2﹣c2） ，则角 C= ． ，则 a2+b2﹣c2=2abcosC，
【解答】解：由余弦定理可知：cosC= 由 S= absinC， ∴ ×2abcosC= absinC，则 tanC= ，
由 0＜C＜π， 则 C= ，
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故答案为：
．
14． （5 分）若函数 f（x）=alnx﹣x 在区间（1，2）上单调递增，则实数 a 的取值 范围是 [2，+∞） ．
【解答】解：∵f（x）=alnx﹣x，∴f′（x）= ﹣1． 又∵f（x）在（1，2）上单调递增， ∴ ﹣1≥0 在 x∈（1，2）上恒成立， ∴a≥xmax=2，∴a∈[2，+∞） ． 故答案为：[2，+∞）
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤. 15． （13 分）已知函数 f（x）=Asin（ωx+φ） （A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0，x∈R） 的部分图象如图所示． （Ⅰ）求函数 f（x）的解析式； （Ⅱ）求函数 f（x）在区间[﹣2π，0]上的最大值和最小值．
【解答】解： （Ⅰ）由图象得 A=1， 再把点（ ，﹣1）代入可得 sin（
=π﹣
，∴ω= ． +φ=2kπ﹣ ） ． ，﹣ ]， ，
+φ）=﹣1，
结合 π＜φ＜0，可得 φ=﹣
，∴f（x）=sin（ x﹣ ﹣ ∈[﹣
（Ⅱ）解：在区间[﹣2π，0]上， 故当 当 ﹣ ﹣ =﹣ =﹣
时，函数 f（x）取得最大值为 1； 时，函数 f（x）取得最小值为﹣ ．
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16． （13 分）甲、乙两人按如下规则进行射击比赛，双方对同一目标轮流射击， 若一方未击中，另一方可继续射击，甲先射，直到有人命中目标或两人总射击次 数达 4 次为止．若甲击中目标的概率为 ，乙击中目标的概率为 ． （Ⅰ）求甲在他第二次射击时击中目标的概率； （Ⅱ）求比赛停止时，甲、乙两人射击总次数 X 的分布列和期望． 【解答】 （本小题满分 13 分） 解： （Ⅰ）设甲在他第二次射击时击中目标为事件 A， 则 P（A）=（1﹣ ） （1﹣ ） = ．…（4 分）
（Ⅱ）由题意 X 的可能取值为 1，2，3，4， P（X=1）= ， P（X=2）= P（X=3）= P（X=4）= = ， = ， ，…（8 分）
所以随机变量 X 的分布列为： X P 所以 E（X）= +4× = ．…（13 分） 1 2 3 4
17． （13 分）如图，在空间几何体 ABCDPQ 中，底面 ABCD 是直角梯形，AB⊥AD， AD∥BC，四边形 APQD 为矩形，且平面 APQD⊥平面 ABCD，PA=AB=BC=2，AD=4， 点 M 为 AB 中点． （Ⅰ）求证：AC⊥平面 CDQ； （Ⅱ）求直线 QC 与平面 PCD 所成角的正弦值； （Ⅲ）已知点 H 在线段 PA 上，使得 MH∥平面 PCD，求 的值．
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【解答】 （本小题满分 13 分） 证明： （Ⅰ）因为四边形 APQD 为矩形，且平面 APQD⊥平面 ABCD， 所以 AP⊥平面 ABCD，…（1 分） 以 A 为原点，以 AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐 标系， 由题意得，A（0，0，0） ，B（2，0，0） ，C（2，2，0） ，D（0，4，0） ，P（0，0， 2） ， Q（0，4，2） ，M（1，0，1） ， 则 =（2，2，0） ，设平面 CDQ 的一个法向量 =（x，y，z） ，…（2 分） =（2，﹣2，0） ， 由 因为 =（0，0，2） ，
，取 x=1，得 =（1，1，0） ，…（3 分） ∥ ，所以 AC⊥平面 CDQ．…（4 分） =（2，﹣2，﹣2） ，…（5 分）
解： （Ⅱ）
设平面 PCD 的一个法向量 =（a，b，c） ， =（2，2，﹣2） ， 由 =（0，4，﹣2） ， ，取 b=1，得 =（1，1，2） ，…（6 分）
设直线 QC 与平面 PCD 所成角为 θ， 则 sinθ=|cos＜ ， ＞|= = = ，
所以直线 QC 与平面 PCD 所成角的正弦值为 （Ⅲ）设
．…（8 分）
=λ（0≤λ≤1） ，则 H（0，0，2λ） ，…（9 分）
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=（1，0，﹣2λ） ， =（1，1，2） ，…（10 分） 因为 MH∥平面 PCD， 所以 所以 ? =0，即 1×1+0×1+（﹣2λ）×2=0，解得 的值为 ．…（13 分） ，
18． （13 分）已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn= （1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足 bn=an+2﹣an+ Tn＜2n+ ． + ，
+
．
，且数列{bn}的前 n 项和为 Tn，求证：
【解答】 （1）解：∵Sn= ∴n=1 时，a1=S1=2； n≥2 时，an=Sn﹣Sn﹣1= ∴an=n+1． （2）证明：bn=an+2﹣an+ ∴ Tn=2n+ =2n+ 数 列 + +
﹣
=n+1．
=2+ {bn} + 的 +…+ 前
=2+ n + 项
， 和 为
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.
＜2n+
， ．
∴Tn＜2n+
19． （14 分）已知椭圆 C： 率为 ． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
+
=1（a＞b＞0）过点（2，0） ，且椭圆 C 的离心
（Ⅱ）若动点 P 在直线 x=﹣1 上，过 P 作直线交椭圆 C 于 M，N 两点，且 P 为线 段 MN 中点，再过 P：作直线 l⊥MN．求直线 l 是否恒过定点，如果是则求出该 定点的坐标，不是请说明理由． 【解答】解： （Ⅰ）因为点（2，0）在椭圆 C 上， 所以 ，所以 a2=4， （1 分） ，即 ， （2 分）
因为椭圆 C 的离心率为 ，所以 解得 b2=3， 所以椭圆 C 的方程为 （Ⅱ）设 P（﹣1，y0） ，
． （4 分） ，
①当直线 MN 的斜率存在时，设直线 MN 的方程为 y﹣y0=k（x+1） ， M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 由 得 所以 ， ， ，
因为 P 为 MN 中点，所以
，即
．
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所以
， （8 分）
因为直线 l⊥MN，所以
，
所以直线 l 的方程为
，
即
，显然直线 l 恒过定点
． （10 分）
②当直线 MN 的斜率不存在时，直线 MN 的方程为 x=﹣1， 此时直线 l 为 x 轴，也过点 综上所述直线 l 恒过定点 ． ． （12 分）
20． （14 分）已知函数 f（x）=x3﹣ax2+10． （Ⅰ）若 a=1 时，求函数 y=f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）在区间[1，2]内至少存在一个实数 x，使得 f（x）＜0 成立，求实数 a 的 取值范围． 【解答】解： （Ⅰ） ：当 a=1 时，f′（x）=3x2﹣2x， 由 f′（x）＞0，得 x＜0 或 x＞ ， 所以函数 y=f（x）的单调递增区间（﹣∞，0）和（ ，+∞） ， （Ⅱ）解法一：f′（x）=3x2﹣2x=3x（x﹣ a） 当 a≤1，即 a≤ 时，f′（x）≥0 在[1，2]上恒成立，f（x）在[1，2]上为增函 数， 故 f（x）min=f（1）=11﹣a， 所以 11﹣a＜0，a≥11，这与 a≤ 矛盾． 当 1＜ a＜2，即 ＜a＜3 时， 若 1≤x＜ a，则 f′（x）＜0；
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.
若 a＜x≤2，则 f′（x）＞0， 所以当 x= a 时，f（x）取得最小值， 因此 f（ a）＜0，即 可得 a＞3 a3﹣ a3+10=﹣ a3+10＜0，
，这与 ＜a＜3 矛盾．
当 a≥2，即 a≥3 时，f′（x）＜0 在在[1，2]上恒成立，f（x）在[1，2]上为减 函数， 所以 f（x）min=f（2）=18﹣4a，所以 18﹣4a＜0，解得 a＞ ，满足 a≥3， 综上所述，实数 a 的取值范围是（ ，+∞） ， 解法二：因为区间[1，2]内至少存在一个实数 x，使得 f（x）＜0 成立， 所以 a＞ 设 g（x）=x+ g′（x）=1﹣ =x+ ， ，
因为 1≤x≤2， 所以 g′（x）＜0 所以 g（x）在[1，2]上是减函数． 所以 g（x）min=g（2）= ， 所以 a＞ ， 实数 a 的取值范围是（ ，+∞） ，
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