2.2.1-3换底公式及对数运算上课用_图文

第三课时

换底公式及对数运算的应用

复习回顾
1.对数运算有哪三条基本性质? (1)log a M ? log a N ? log a ( M ? N ) M log a M ? log a N ? log a (2 ) N n (3 ) log a M ? n log a M 2.对数运算有哪三个常用结论? (1)负数和零没有对数 (2)log a a ? 1 log a 1 ? 0 x (3) log a N log a = x
.

a

?N

a

基础训练
1.计算 1 0 ?1? log a 2 ? log a ? _________ 2 1 ? 2 ? log 3 12 ? log 3 4 ? ________

2 ? 3? log 2 ? log 2 16 ? ? __________
2 5 4 -1 ? 4 ? 2lg ? lg ? lg ? ______ 5 6 3 1-a ? 5 ? lg 2 ? a,lg 5 ? __________

2.已知 b ? 2a ? 1 ? 1 ? 2a ? 4 则 log

ab 2

问题引入

1.已知lg2=0.3010, lg3=0.4771,求lg6.

2.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求log23

知识探究(一):对数的换底公式

换底公式 log b ? log c b a
证明:设 loga b ? x,
x

(a ? 0,且a ? 1; c ? 0,且c ? 1; b ? 0)

log c a

b?a ,
x

? logc b ? logc a , ? logc b ? x logc a,
log c b log b c ?x? 即证得 log a b ? log c a log c a 这个公式叫做对数的换底公式

由对数的定义可以得:

从对数的定义可以知道,任意不等于 1 的正数都可作为对数的底。数学史上,人 们经过大量的努力,制作了常用对数表、 自然数表,只要通过查表就能求出任意正 数的常用对数或自然对数。这样,如果能 将其他底的对数转换为以10或e为底的对数, 就能方便地求出任意不为1的正数为底的对 数 。 ( 链 接 对 数 表 )

lg b ?1? log a b ? lg a

ln b ? 2? loga b ? ln a

思考:现在你能利用换底公式计算他们了吗?

1.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求log23

2.通过查表可得任何一个正数的常用对数 18 利用换底公式如何求 的值? log1.01 13

知识探究(二):换底公式的变式

log c b 换底公式: log a b ? log c a
n 变式 ?1? log am b ? log a b m
n

log a n b ? log a b
n
n

log m a

m b ? log a b n

知识探究(二):换底公式的变式

? 2? loga b ? l ogb a ? 1,
1 log a b ? log b a

loga b ? logb c ? loga c
log a b ? logb c ? logc a ? 1

典例剖析

例1 利用对数的换底公式计算:
(1) l o g9 27

(2)log 8 9 ? log 27 32
(3) log2 3 ? log3 7 ? log4 2 ? log7 4 变式训练:课本68页 第4题 (4) ? log9 5 ? log3 5? ? ? log 25 3 ? log125 9 ?

典例剖析

例2

lg3 ? b, 求 log6 10 已知lg 2 ? a,
第 4 题⑵、⑶
第 3 题⑴

练习:课本74页 课本 82 页

b 例3 已知log 18 9 ? a, 18

求 log 36 45. ? 5,
第 3 题⑵

练习: 课本 82 页

1 1 例4:若2 ? 5 ? 10, 则 ? = __________ a b
a b

典例剖析

1 提示: log a b ? log b a

例2 20世纪30年代,里克特制订了一种表明 地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量 地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记 录的地震曲线的振幅就越. 这就是我们常说 的里氏震级M,其计算公式为M=lgA-lgA0. 其中A是被测地震的最大振幅,A0是“标准 地震”的振幅(使用标准振幅是为了修正测 震仪距实际震中的距离造成的偏差). (1)假设在一次地震中,一个距离震中100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此 时标准地震的振幅是0.001,计算这次地震 的震级(精确到0.1);

例2 20世纪30年代,里克特制订了一种表明 地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量 地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记 录的地震曲线的振幅就越. 这就是我们常说 的里氏震级M,其计算公式为M=lgA-lgA0. 其中A是被测地震的最大振幅,A0是“标准 地震”的振幅(使用标准振幅是为了修正测 震仪距实际震中的距离造成的偏差). (2)5级地震给人的震感已比较明显,计算 7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅 的多少倍(精确到1).

例3 生物机体内碳14的“半衰期”为 5730年,湖南长沙马王堆汉墓女尸出 土时碳14的残余量约占原始含量的 76.7%,试推算马王堆古墓的年代.

积、商、幂的对数运算法则: 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有: loga (MN) ? loga M ? loga N (1) M loga ? loga M ? loga N (2) N loga M n ? nloga M(n ? R) (3) logc b 重要公式: loga b ? (a, c ? (0,1) ? (1,??),b ? 0) logc a n n log am b ? log a b a, b ? (0,1) ? (1,??) m loga b ? logb a ? 1

作业: 1.课本74页 习题2.2A组: 6,12. 2.《3导》练习二十


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