高考数学一轮复习 第13章 空间向量与立体几何13.2空间向量在立体几何中的应用教学案 苏教版

13.2 空间向量在立体几何中的应用 考纲要求 1.理解直线的方向向量与平面的法向量. 2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. 3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理). 4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解 向量方法在研究立体几何问题中的应用. 1.直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量:直线 l 上的向量 e(e≠0)以及与 e 共线的非零向量叫做直线 l 的 方向向量. (2)平面的法向量:如果表示非零向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面 α ,那么称向 量 n 垂直于平面 α ,记作 n⊥α .此时,我们把向量 n 叫做平面 α 的法向量. 注意: (1)一条直线的方向向量与一个平面的法向量都有无穷多个, 它们都是共线向量. (2)直线的方向向量与平面的法向量是用来刻画直线和平面的“方向”的.在判断和证 明线、面关系及求空间角中有着重要作用.因此要深刻理解这两个概念. 2.利用空间向量判定线面关系的方法 我们通常利用直线的方向向量和平面的法向量判定线面关系. 设空间两条直线 l1,l2 的方向向量分别为 e1,e2,两个平面 α 1,α 2 的法向量分别为 n1, n2,则有下表: 平行 垂直 l1 与 l2 ______ ______ l1 与 α 1 ______ ______ α 1与 α 2 ______ ______ 3.两条异面直线所成的角 (1)定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间任意一点 O,作直线 a′∥a,b′∥b,我 们把直线 a′与 b′所成的____________叫做异面直线 a,b 所成的角. (2)范围:两异面直线所成角 θ 的取值范围是________. (3)向量求法:设两异面直线 a,b 所成的角为 θ ,且其方向向量为 a,b,其夹角为 φ , |a·b| 则有 cos θ =|cos φ |= . |a||b| 4.直线与平面所成的角 (1)定义 ①平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的______, 叫做这条直线与这个平面所 成的角. ②一条直线垂直于平面, 我们说它们所成的角是______; 一条直线与平面平行或在平面 内,我们说它们所成的角是______的角. (2)范围:直线和平面所成角 θ 的取值范围是________. (3)向量求法:设直线 l 的方向向量为 a,平面的法向量为 n,直线与平面所成的角为 |a·n| θ ,a 与 n 的夹角为 φ ,则有 sin θ =|cos φ |= . |a||n| 5.二面角 (1)二面角的取值范围为[0,π ]. (2)二面角的向量求法: ①若 AB,CD 分别是二面角 α lβ 的两个面内与棱 l 垂直的异面直线,则二面角的大小 → → 就是向量AB与CD的夹角(如图甲所示). ②设 n1,n2 分别是二面角 α lβ 的两个面 α ,β 的法向量,则向量 n1 与 n2 的夹角(或 其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图乙、丙所示). 1.直线 l 过点 A(1,-1,2)和 B(x,y,0),l 的方向向量为 a=(1,-2,3),则 x+y= __________. 2.已知 AB =(2,2,1), AC =(4,5,3),则平面 ABC 的单位法向量是__________. 3.P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点, AB =(2,-1,-4), AD =(4,2,0), AP =(-1,2,-1),对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③ AP 是平面 ABCD 的法向量;④ AP ∥ → B D .其中正确的是__________. 4.如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M,N 分别是 CD,CC1 的中点,则异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是________. 1 5.已知向量 m,n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量、法向量,若 cos〈m,n〉=- , 2 则 l 与 α 所成的角为________. 1.利用空间向量处理平行问题有哪些常用方法? 提示:(1)线线平行 证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量. (2)线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有: ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直; ②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量; ③利用共面向量定理,即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示. (3)面面平行 ①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量); ②转化为线面平行、线线平行问题. 2.利用空间向量处理垂直问题有哪些常用方法? 提示:(1)线线垂直 证明两条直线垂直,只需证明两直线的方向向量垂直,即 a⊥b?a·b=0(a,b 均为非 零向量). (2)线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有: ①证明直线的方向向量与平面的法向量平行; ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题. (3)面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直; ②转化为线面垂直、线线垂直问题. 3.利用空间向量处理立体几何中角的问题有哪些常用方法? 提示: 在立体几何中, 涉及的角有异面直线所成的角、 直线与平面所成的角、 二面角等. 关 a·b 于角的计算,均可归结为两个向量的夹角.对于空间向量 a,b,有 cos〈a,b〉= , |a||b| 利用这一结论,我们可以较方便地处理立体几何中的角的问题. (1)线线角:要求两条异面直线所成的角,可先求两条异面直线的方向向量的数量积, 要求两向量的数量积, 可以求得两向量的坐标, 也可以把所求向量用一组已知模和夹角的基 向量表示出来进行求解. (2)线面角:直线 l 与平面 α 的夹角为 θ ,直线 l 的方向向量 l 与平面 α 的法向量 n π? π |l·n| ? 的夹角为 β ,则 θ = -β ?或θ =β -

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