椭圆与双曲线学案题型归纳习题课_图文

发现椭圆与双曲线之美
-- --- 解题规律探索

费县二中 王平

多么漂亮的几何图形啊!

B

F1

椭圆
焦点位置 焦点在x轴上 B2 y 焦点在y轴上 A2 y ? A2 B1 ?x ? O A1? B2 ? x

双曲线
焦点在x轴上
B1

焦点在y轴上
A1 B1 B2 A2

图像 A1

?

?

B? 1
方程 a,b,c 关系 几何意义 范围

O

A1
B2

A2

x2 y2 y2 x2 x2 y2 y2 x2 ? 2 ?1 ? 2 ?1 2 ? 2 ?1 2 ? 2 ?1 2 2 a b a b a b a b a ?b?0 不要求a ? b ? 0 a 2 ? b2 ? c 2 , (a, b, c中a最大) c 2 ? a 2 ? b2 , (a, b, c中c最大)
MF1 ? MF2 ? 2a
?a ? x ? a ?b ? y ? b

MF1 ? MF2 ? 2a
x ? ? a或x ? a y ? ? a或y ? a x?R y?R

?b ? x ? b ?a ? y ? a

都关于x,y轴,原点对称;
对称性

即是轴对称图形也是中心对称图形 对称中心是椭圆的中心 对称中心是双曲线的中心

椭圆
焦点

双曲线
焦点在x轴上
B1 A1 A2 B1 A1 B2 A2

图 像 顶点 坐标 轴 线

焦点在x轴上 B2 y A1

?

焦点在y轴上 A2 ? y A2 B ?x 1
?

焦点在y轴上

?

(? a, 0) (0, ?b)

B? 1

O

(?b, 0) (0, ? a )

A1?

O

B ?2

x
B2

(?a, 0)

(0, ?a)

A1 A2 称为长轴,长轴的长 A1 A2 =2a A1 A2 称为实轴,实轴的长 A1 A2 =2a B1 B2 称为短轴,短轴的长 B1 B2 =2b A1 , A2 称为双曲线的两个实端点 B1 B2 称为虚轴,虚轴的长 B1 B2 =2b OA1 ,OA2 称为长半轴 长半轴的长 OA1 = OA2 =a OB1 ,OB2 称为短半轴 短半轴的长 OB1 = OB2 =b
B1 , B2 称为双曲线的两个虚端点 虚端点B1 , B2满足: A1 B1 ? A1 B2 ? A2 B1 ? A2 B2 ? c

c c 离 e ? , (0 ? e ? 1) e ? , (e ? 1) a a 心 率 e越大,椭圆越扁;e越小,椭圆越圆 e越大,张口越大;e越小,张口越小

★类型一:神秘的小眼睛
●归类原因:此类题目考查椭圆与双曲线的 定义,为求轨迹方程中的定义法。往往喜 欢和圆结合,设置内切、外切、过定点等 情景,偶尔也会用中垂线构造条件。那么, 这一类题目,在解答过程中有哪些技巧呢? ●题目分布:

P 尝3;P 9,11;P 11;P 16 120 121 131 137

★类型二:调皮的小鼻子
●归类原因:在椭圆与双曲线的焦点三角形 中,有很多量可以相互转化,第一定义、 余弦定理、面积公式、勾股定理的参与加 上求面积、求方程、求离心率、求渐近线 方程等问题的灵活设置,让焦点三角形这 个小鼻子可爱又淘气! ●题目分布:
求面积:P 尝3;P 11;P 10;P 7;P 15; 118 119 131 136 137 求方程:P 8;求离心率:P 2;求渐近线:P 6 131 134 136

★类型三:3缺1之艰难的寻找
●归类原因:面对完美的几何图形,你有没 有想过从代数的角度思考问题?很多时候 我们要去求的a,b,c三个量只需要找到三个 方程就可以了,有一个与生俱来的关系式, 题目中往往还会出现一个简单的条件,我 们所要做的,就是集中精力去寻找第三个 方程--- --●题目分布:

P 尝(2);P 12;P 11; 3 124 133 135

★类型四:幸福的邂逅之韦达定理
●归类原因:对一些较复杂的题目,方程的 建立或者参数的求解比较波折,我们理不 出头绪,一头雾水的乱闯,这时候,别忘 了大胆设坐标,联立方程得二次,韦达定 理找关系,如果你不小心见到了X1+X2, 算不算是一次幸福的邂逅呢? ●题目分布:

P 17;P 尝1(2);P 6 129 134 135

同学们比较头疼的计算细节
●在圆锥曲线部分,如果没有计算能力,所有的方法技巧都将化为乌
有,下面一些细节,你是怎么处理的?

P 10中:知三角形三边长为16,10,10,求三角形面积? 131 若用余弦定理求角,你被数值吓住了吧?还可以怎么算? P 7中:双曲线都到了b2 ? ac了,求e,竟然也有同学放弃了! 133 1 1 P 11中: 2 ? 2 ? 1也有同学解错了! 133 3b b 3 c怎样求e ? 4 2 3 2 ab 3 2 2 P 12中:双曲线e ? ,c ? a ? b , ? 联立解值。 132 2 2 3 2 a ?b P 尝2中:已知ab ? a 2 ? b 2 132


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