www.hg3164.com:2019年高中数学课件:第二章24242平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.ppt_图文

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2.4

读教材·填要点
课前预习·巧设计

第 二 章 平 面 向 量

平 面 向 量 的 数 量 积

2.4.2 平面向 量数量 积的坐 标表示 、模、 夹角

小问题·大思维

考点一
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考点二 考点三 解题高手
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[读教材·填要点]

1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ. 两个向量的数量积等于它们 对应坐标的乘积 的 数量积 和,即a· b= x1x2+y1y2 两个向 量垂直 a⊥b? x1x2+y1y2=0

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2.三个重要公式

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[小问题·大思维] 1.已知向量a=(x,y),与向量a共线的单位向量a0的坐
标是什么?
a 1 提示:∵a0=± =± 2 2(x,y), |a| x +y x y ∴a0=(- 2 2,- 2 2) x +y x +y x y 或 a0=( 2 2, 2 2). x +y x +y

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2.向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则向量a在向量b方向
上的投影怎样用a,b的坐标表示?
提示: 向量 a 在向量 b 方向上的投影为|a|cos θ(θ 为向 a· b 量 a 与 b 的夹角),而 cos θ= , |a||b| a· b x1x2+y1y2 ∴|a|cos θ= = 2 2 . |b| x2+y2

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[研一题] [例1] 已知向量a=(1,3),b=(2,5),c=(2,1),求: (1)2a· (b-a); (2)(a+2b)· c. [自主解答] 法一:(1)∵2a=2(1,3)=(2,6),

b-a=(2,5)-(1,3)=(1,2),
∴2a· (b-a)=(2,6)· (1,2) =2×1+6×2=14.
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(2)∵a+2b=(1,3)+2(2,5) =(1,3)+(4,10)=(5,13), ∴(a+2b)· c=(5,13)· (2,1) =5×2+13×1=23.

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法二:(1)2a· (b-a) =2a· b-2a2 =2(1×2+3×5)-2(1+9) =14.

(2)(a+2b)· c
=a· c+2b· c =1×2+3×1+2(2×2+5×1) =23.

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本例条件中“c=(2,1)”若变为“c=(2,k)”,且“(a- c)⊥b”,求k.
解:∵a=(1,3),c=(2,k), ∴a-c=(-1,3-k), 又(a-c)⊥b,∴-1×2+(3-k)×5=0, 13 ∴k= . 5

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[悟一法] 1.通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化,应

注意与函数、方程等知识的联系.
2.向量数量积的运算有两种思路:一种是向量式,另 一种是坐标式,两者相互补充.

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[通一类] 1.若向量a=(4,-3),|b|=1,且a· b=5,求向量b.
解:法一:设 b=(x,y),则由|b|=1 可得 x2+y2=1. 由 a· b=5,a=(4,-3),可得 4x-3y=5. 4 3 4 3 联立①②,解得 x= ,y=- ,故 b=( ,- ). 5 5 5 5 法二:由于 a=(4,-3),∴|a|=5,设 a 与 b 的夹角为 θ, a· b 则 cos θ= =1,∴θ=0° ,从而 a,b 同向且共线, |a||b| a 1 4 3 又|b|=1,∴b= = (4,-3)=( ,- ). |a| 5 5 5
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① ②

[研一题]
[例 2] 平面直角坐标系 xOy 中,O 是原点(如图).已知点 A(16,12)、B(-5,15). (1)求| OA |,| AB |; (2)求∠OAB. [自主解答] (1)由 OA =(16,12),

AB =(-5-16,15-12)=(-21,3),得
| OA |= 162+122=20, | AB |= ?-21?2+32=15 2.
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AO · AB (2)cos∠OAB=cos〈 AO , AB 〉= . | AO || AB |

其中 AO · AB =- OA · AB =-(16,12)· (-21,3) =-[16× (-21)+12× 3]=300. 300 2 故 cos∠OAB= = . 20×15 2 2 ∴∠OAB=45° .

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[悟一法]
利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤为: (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积. (2)利用|a|= x2+y2求两向量的模. (3)代入夹角公式求 cos θ,并根据 θ 的范围确定 θ 的值.

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[通一类]
2.已知 a,b 为平面向量,a=(4,3),2a+b=(3,18),则 a,b 的夹角 θ 的余弦值等于 8 A. 65 8 B.- 65 ( )

16 16 C. D.- 65 65 解析:b=(2a+b)-2a=(3,18)-(8,6)=(-5,12),
cos θ= a· b 16 = . |a||b| 65

答案:C
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[研一题]
[例 3] 已知△ABC 中,A(2,-1), B(3,2),C(-3,-1),BC 边上的高为 AD, 如图,求 D 点及 AD 的坐标.
[自主解答] 设 D(x,y), ∴ AD =(x-2,y+1),
BC =0, 又 BC =(-6,-3), AD ·

∴-6(x-2)-3(y+1)=0,即 2x+y=3.



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又 BD 与 BC 为共线向量, BD =(x-3,y-2),
BC =(-6,-3),

∴-3(x-3)+6(y-2)=0,即 x-2y=-1. 联立①②,解得 x=1,y=1. ∴D(1,1), AD =(-1,2).



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[悟一法]

利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂
直条件代数化.因此判定方法更加简捷、运算更直接,体现

了向量问题代数化的思想.

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[通一类] 3.设a=(m+1,-3),b=(1,m-1),若(a+b)⊥(a-b), 求m的值. 解:法一:∵a+b=(m+2,m-4),a-b=(m,-m-2),

又(a+b)⊥(a-b),∴(a+b)· (a-b)=0,
即(m+2,m-4)· (m,-m-2)=0. ∴m2+2m-m2+2m+8=0.∴m=-2. 法二:∵(a+b)⊥(a-b), ∴(a+b)· (a-b)=0,a2=b2,

则m2+2m+10=2+m2-2m,解得m=-2.
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已知向量 a=( 3,-1)和 b=(1, 3),若 a· c=b· c,试求 模为 2的向量 c 的坐标.

[解]

法一:设 c=(x,y),

则 a· c=( 3,-1)· (x,y)= 3x-y, b· c=(1, 3)· (x,y)=x+ 3y, 由
? ? 3x-y=x+ a· c=b· c 且|c|=2,得? 2 2 ? ?x +y =2,

3y,

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? ?x= 3+1, ? 2 解之得? 3-1 ? y= , ? 2 ?

? ?x=- 3+1, ? 2 或? 3-1 ? y=- , ? 2 ?

3+1 3-1 3+ 1 3-1 所以 c=( , )或 c=(- ,- ). 2 2 2 2

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法二:由于 a· b= 3×1+(-1)× 3=0,且|a|=|b|=2, 从而以 a,b 为邻边的平行四边形是正方形,且由于 a· c= b· c, 所以 c 与 a, b 的夹角相等, 从而 c 与正方形的对角线共线. 此 外,由于 |c|= 2,即其长度为正方形对角线长度 ( 2|b|= 2 2) 的一半, 3+ 1 3- 1 1 故 c= (a+b)=( , )或 2 2 2 3+1 3- 1 1 c=- (a+b)=(- ,- ). 2 2 2

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[点评]

解决向量数量积的坐标运算的问题,关键是

熟练掌握数量积的坐标运算公式,同时要熟练运用方程思 想,如本题解法一体现了这一方法;解法二是巧妙地利用

了几何意义,数形结合,可简化运算.

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