高一数学人教A版必修4课件:3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式_图文

第三章 三角恒等变换
§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

内容 索引

01 明目标
知重点

填要点 记疑点

02

03

探要点 究所然

当堂测 查疑缺

04

明目标、知重点

明目标、知重点
1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角 的正弦、余弦、正切公式. 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换, 并能灵活地将公式变形运用.
明目标、知重点

填要点·记疑点

2sin αcos α

cos2α-sin2α
2tan α 1-tan2α

2cos2α-1

1-2sin2α

明目标、知重点

cos α

sin α

1±sin 2α

1-cos 2α 2
2sin2α2

1+cos 2α 2
2cos2α2

明目标、知重点

探要点·究所然 情境导学
在教材3.1.2例4(2)中,若将题目改为cos 20°cos 70°+sin 20°sin 70°, 你还能利用诱导公式将70°换为20°吗?当然能换!换出的结果是 cos 20°sin 20°+sin 20°cos 20°=2sin 20°cos 20°.那么,利用我们已 经学习的公式,能否将2sin 20°cos 20°进一步化简呢?显然,利用 我们已经学习的两角和与差的正弦、余弦、正切公式已不能对 2sin 20°cos 20°做进一步的化简,这就使得我们有必要进一步扩展 三角函数公式的“阵营”,以便于我们解决类似的问题.
明目标、知重点

探究点一 二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导
思考1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示 2α的三角函数的公式.根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、 正切公式.你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗?试一试? 答 sin 2α=sin(α+α)=sin αcos α+cos αsin α=2sin αcos α; cos 2α=cos(α+α)=cos αcos α-sin αsin α=cos2α-sin2α; tan 2α=tan(α+α)=1-2tatnanα2α.
明目标、知重点

思考2 根据同角三角函数的基本关系式sin2α+cos2α=1,你能否 只用sin α或cos α表示cos 2α? 答 ∵cos 2α=cos2α-sin2α=cos2α-(1-cos2α) =2cos2α-1; 或cos 2α=cos2α-sin2α=(1-sin2α)-sin2α=1-2sin2α.
明目标、知重点

探究点二 余弦的二倍角公式的变形形式及应用
明目标、知重点

π

解析

∵f(x)=

3 2 sin

2x+12(2cos2x-1)



3 2 sin

2x+12cos

2x=sin???2x+π6???,

∴T=22π=π.

明目标、知重点

练习2:函数f(x)=cos 2x+4sin x的值域是 [-5,3] . 解析 f(x)=cos 2x+4sin x=1-2sin2x+4sin x =-2sin2x+4sin x+1=-2(sin x-1)2+3. 当sin x=1时,f(x)max=3; 当sin x=-1时,f(x)min=-5.
明目标、知重点

探究点三 三倍角公式的推导
思考 因为3α=2α+α,可以借助二倍角公式推导出三倍角公式. 请完成三倍角公式的证明: (1)sin 3α=3sin α-4sin3α; 答 证明如下: sin 3α=sin(2α+α)=sin 2αcos α+cos 2αsin α =2sin αcos2α+(1-2sin2α)sin α =2sin α(1-sin2α)+(1-2sin2α)sin α =2sin α-2sin3α+sin α-2sin3α=3sin α-4sin3α.
明目标、知重点

(2)cos 3α=4cos3α-3cos α. 答 cos 3α=cos(2α+α)=cos 2αcos α-sin 2αsin α =(2cos2α-1)cos α-2sin2αcos α =(2cos2α-1)cos α-2(1-cos2α)cos α =2cos3α-cos α-2cos α+2cos3α =4cos3α-3cos α.
明目标、知重点

例 1 已知 sin 2α=153,π4<α<π2,求 sin 4α,cos 4α,tan 4α 的值. 解 由π4<α<π2,得π2<2α<π. 又因为 sin 2α=153,cos 2α=- 1-sin22α

=-

1-???153???2=-1123.

于是sin 4α=2sin 2αcos 2α

明目标、知重点

=2×153×???-1123???=-112609; cos 4α=1-2sin22α=1-2×???153???2=111699; tan 4α=csoins 44αα=-111192609=-111290.
169
明目标、知重点

反思与感悟 解答此类题目一方面要注意角的倍数关系;另一 方面要注意函数名称的转化方法,同角三角函数关系及诱导公 式是常用方法.
明目标、知重点

跟踪训练1 求值:(1)cos 20°·cos 40°·cos 80°;



原式=2sin

20°·cos 20°·cos 40°·cos 2sin 20°

80°

=2sin

40°·cos 4sin

40°·cos 20°

80°

=2sin88s0in°·2c0o°s 80°

=s8isnin16200°°=18.

明目标、知重点

(2)tan 70°·cos 10°·( 3tan 20°-1).



原式=csoins

7700°°·cos

?
10°·?
?

sin 3cos

2200°°-1 ???

=csoins

7700°°·cos

?
10°·??
?

3sin 20°-cos 20°??

cos 20°

? ?

=csoins

20° 20°·cos

? 10°·2??
?

3 2 sin

20°-12cos cos 20°

20°?? ? ?

明目标、知重点

=2scions2100°°·(sin 20°cos 30°-cos 20°sin 30°)

2cos 10°·sin?-10°?



sin 20°

-sin 20° = sin 20° =-1.

明目标、知重点

例2 证明

3-4cos 2A+cos 4A

求证:

=tan4A.

3+4cos 2A+cos 4A

3-4cos 2A+2cos22A-1

∵左边= 3+4cos

2A+2cos22A-1

=????11+ -ccooss 22AA????2=???22csoins22AA???2=(tan2A)2

=tan4A=右边,

3-4cos 2A+cos 4A



=tan4A.

3+4cos 2A+cos 4A

明目标、知重点

反思与感悟 利用倍角公式证明三角恒等式,关键是 找到左、右两边式子中的倍角关系,先用倍角公式统 一角,再用同角三角函数基本关系式等完成证明.
明目标、知重点

1+sin 2θ-cos 2θ

跟踪训练 2

化简: 1+sin

2θ+cos

. 2θ

?1-cos 2θ?+sin 2θ 2sin2θ+2sin θcos θ



方法一

原式= ?1+cos

2θ?+sin

2θ=2cos2θ+2sin

θcos

θ

2sin θ?sin θ+cos θ? =
2cos θ?cos θ+sin θ?

=tan θ.

明目标、知重点

?sin θ+cos θ?2-?cos2θ-sin2θ?

方法二

原式= ?sin

θ+cos

θ?2+?cos2θ-sin2θ?

?sin θ+cos θ?[?sin θ+cos θ?-?cos θ-sin θ?] =
?sin θ+cos θ?[?sin θ+cos θ?+?cos θ-sin θ?] =22csoins θθ=tan θ.

明目标、知重点

例 3 在△ABC 中,cos A=45,tan B=2,求 tan(2A+2B)的值. 解 方法一 在△ABC 中,由 cos A=45,0<A<π,

得 sin A= 1-cos2A=

1-???45???2=35.

所以 tan A=csoins AA=35×54=34, tan 2A=1-2tatnanA2A=12-×???3434???2=274,
明目标、知重点

又tan B=2, 所以 tan 2B=1- 2tatnanB2B=12-×222=-43. 于是 tan(2A+2B)=1t-ant2anA+2Attaann22BB=1-227744×-???43-43???=14147.
明目标、知重点

方法二 在△ABC 中,由 cos A=45,0<A<π,

得 sin A= 1-cos2A=

1-???45???2=35.

所以 tan A=csoins AA=35×54=34. 又tan B=2,

明目标、知重点

所以 tan(A+B)=1t-antAan+AttaannBB=1-34+34×2 2=-121. 于是 tan(2A+2B)=tan[2(A+B)] =1-2tatann?A2?+A+B?B?=12-×??????--112211??????2=14147.
明目标、知重点

反思与感悟 倍角公式、和角公式本质上没有区别,可用不同 的思路去思考.解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间 的相互关系,并根据这种关系来选择公式.
明目标、知重点

跟踪训练 3 已知 sin???π4-x???=153,0<x<π4,求cocso???sπ4+2xx???的值.



原式=scions???π2???π4++2xx??????

=2sin???π4c+os???x4π???c+osx??????π4+x???=2sin???π4+x???.

明目标、知重点

∵sin???π4-x???=cos???π4+x???=153,且 0<x<π4,

∴π4+x∈???π4,π2???,

∴sin???π4+x???=

1-cos2???4π+x???=1123,

∴原式=2×1123=2143.

明目标、知重点

当堂测·查疑缺

1234

1.cos275°+cos215°+cos 75°cos 15°的值等于( C )

6

3

A. 2

B.2

5 C.4

D.1+

3 4

解析 原式=sin215°+cos215°+12sin 30°=1+14=54.

明目标、知重点

2.sin41π2-cos41π2等于( B )

A.-12

B.-

3 2

1

3

C.2

D. 2

解析 原式=???sin21π2+cos21π2???·???sin21π2-cos21π2???

=-???cos21π2-sin21π2???=-cos

π6=-

3 2.

明目标、知重点

1234

3.1-tatnan72.57°.5°=

1-

3 2

.

解析 原式=12·1-2tatnan72.75.°5°=12·tan 15°

=12tan(60°-45°)=12×1+3-13=1-

3 2.

明目标、知重点

1234

1234

4.设 sin 2α=-sin α,α∈???π2,π???,则 tan 2α 的值是

3.

解析 ∵sin 2α=-sin α,∴sin α(2cos α+1)=0,又 α∈???π2,π???,

∴sin α≠0,2cos α+1=0 即 cos α=-12,sin α= 23,tan α=- 3,

∴tan

2α=1-2tatnanα2α=1--?-2

3 3?2=

3.

明目标、知重点

呈重点、现规律
1.对“二倍角”应该有广义上的理解,如: 8α 是 4α 的二倍;6α 是 3α 的二倍;4α 是 2α 的二倍;3α 是32α 的二倍;α2是α4的二倍;α3是α6的二倍;2αn=22n·+α1(n∈N*).
明目标、知重点

2.二倍角的余弦公式的运用 在二倍角公式中,二倍角的余弦公式最为灵活多样,应用广泛.
1+cos 2α 二倍角的常用形式:①1+cos 2α=2cos2α,②cos2α= 2 ,
1-cos 2α ③1-cos 2α=2sin2α,④sin2α= 2 .
明目标、知重点


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