抽象函数问题(讲义习题)


抽象函数问题
抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式,只是给出一些特殊关系式的函数,它是中 学数学中的一个难点,因为抽象,学生解题时思维常常受阻,思路难以展开。 一. 求某些特殊值 这类抽象函数一般给出定义域,某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法” , 即在其定义域内令变量取某特殊值而获解,关键是抽象问题具体化。 例1 值。 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: f ( x) ? f (4 ? x) 且 f (2 ? x) ? f ( x ? 2) ? 0 ,求 f (2000) 的

例2

已知函数 f ( x ) 对任意实数 x,y 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且当 x ? 0 时,

f ( x) ? 0,f ( ?1) ? ?2 ,求 f ( x ) 在 [ ?2,1] 上的值域。

二. 求参数范围 这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中,关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增 减性,去掉“ f ”符号,转化为代数不等式组求解,但要特别注意函数定义域的作用。 例 3 已 知 f ( x ) 是 定 义 在 ( ?1,1 ) 上 的 偶 函 数 , 且 在 ( 0 , 1 ) 上 为 增 函 数 , 满 足

f (a ? 2) ? f (4 ? a 2 ) ? 0 ,试确定 a 的取值范围。

1

例 4

已知 f ( x ) 是定义在 ( ??,1] 上的减函数,若 f (m2 ? sin x) ? f (m ? 1 ? cos2 x) 对 x ?R 恒

成立,求实数 m 的取值范围。

三. 解不等式 这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值,再通过函数的单调性去掉函数 符号“ f ” ,转化为代数不等式求解。 例 5 已知函数 f ( x ) 对任意 x,y ? R 有 f ( x) ? f ( y) ? 2 ? f ( x ? y) ,当 x ? 0 时, f ( x ) ? 2 ,

f (3) ? 5 ,求不等式 f (a 2 ? 2a ? 2) ? 3 的解集。

四. 证明某些问题 例6 设 f ( x ) 定义在 R 上且对任意的 x 有 f ( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2) , 求证:f ( x ) 是周期函数,

并找出它的一个周期。

2

例7

已知 f ( x ) 对一切 x,y ,满足 f (0) ? 0,f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且当 x ? 0 时, f ( x ) ? 1,

求证: (1) x ? 0时, 0 ? f ( x) ? 1; (2) f ( x ) 在 R 上为减函数。

五. 综合问题求解 抽象函数的综合问题一般难度较大,常涉及到多个知识点,抽象思维程度要求较高,解题 时需把握好如下三点:一是注意函数定义域的应用,二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“ f ” 前的“负号” ,三是利用函数单调性去掉函数符号“ f ” 。 例 8 设 函 数 y ? f ( x) 定 义 在 R 上 , 当 x ? 0 时 , f ( x ) ? 1 , 且 对 任 意 m,n , 有

f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ,当 m ? n 时 f (m) ? f (n) 。

(1)证明 f (0) ? 1 ; (2)证明: f ( x ) 在 R 上是增函数; (3)设 A ? ( x,y )| f ( x 2 ) ? f ( y 2 ) ? f (1)

?

?

B ? {( x,y) | f (ax ? by ? c) ? 1,a,b,c ? R,a ? 0} , A ? B ? ? , a,b,c 满足的条件。 若 求

3

课后巩固练习
3? ? 1. 若函数 f (2 x ? 1) 的定义域为 ? ?1, ? ,则函数 f (log2 x) 的定义域为( 2? ? ?1 ? A. ? , 2 ? ?2 ? ?1 ? B. ? , 2 ? ?2 ? ?1 C. ? , 4 ?2 ? 2? ? ?1 D. ? , 4 ?2 ? 2? ?

)

2. 若 f (n ? 1) ? f (n) ? 1(n ? N * ),且f(1)=2,则f(100)的值是( ) A.102 B.99 C.101 D.100 )

3. 定义 R 上的函数 f ( x) 满足: f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), 且f (9) ? 8, 则f ( 3) ? ( A. 2 B.2 C.4 D.6

4. 定义在区间(-1,1)上的减函数 f ( x) 满足: f (? x) ? ? f ( x) 。若 f (1 ? a) ? f (1 ? a2 ) ? 0 恒成 立,则实数 a 的取值范围是___________________. 5. 已知函数 f ( x) 是定义在(-∞,3]上的减函数,已知 f (a2 ? sin x) ? f (a ? 1 ? cos2 x) 对 x ? R 恒 成立,求实数 a 的取值范围。

6.定义在 R 上的函数 y=f(x),f(0)≠0,当 x>0 时,f(x)>1,且对任意的 a、b∈R,有 f(a+b)=f(a)f(b), (1) (2) 求证:f(0)=1; 求证:对任意的 x∈R,恒有 f(x)>0;

(3)证明:f(x)是 R 上的增函数; (4)若 f(x)·f(2x-x2)>1,求 x 的取值范围。

1 1 7.已知函数 f ( x) 的定义域为 R,对任意实数 m, n 都有 f ( m ? n) ? f ( m) ? f ( n) ? ,且 f ( ) ? 0 ,当 2 2 1 x ? 时, f ( x) >0. 2

(1)求 f (1) ; (2)求和 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ... ? f (n) (n ? N * ) ; (3)判断函数 f ( x) 的单调性,并证明.

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